У статті подано різні наукові підходи, погляди на фундаментальні та прикладні дослідження у галузі педагогіки за останній рік, аналіз стану вітчизняної науки, пропонуються шляхи вирішення кризових явищ у науці.
Формулювання проблеми. Вказано на умови вітчизняного ринку та європейські виклики щодо актуальності досліджень. Акцент робиться на міждисциплінарних дослідженнях в галузі педагогіки, але мову треба вести про трансдисциплінарність у науці, якій присвячуються міжнародні та всеукраїнські наукові форуми.
Матеріали і методи. Автор використовує теоретичний аналіз та систематизацію науково-педагогічної та довідкової літератури (протоколи НАНУ за 2019 рік) з проблем фундаментальних та прикладних досліджень у педагогіці; узагальнення педагогічного досвіду викладачів закладів вищої освіти та науковців. Результатом стало відстоювання автором думки, що викликам часу, практичному вирішенню мають відповідати дослідження щодо фахової підготовки й національно-патріотичного виховання фахівців для нових професій. Аналіз якості, особливостей педагогічних досліджень за останні роки, виявлення кризових, дослідницьких проблем, скерування уваги на актуальні питання в науковій царині, прикладний характер досліджень як практичне вирішення освітянських проблем – ось неповний перелік питань, які потребують вирішення на рівні Міністерства освіти й Національної академії наук.
Результати. У статті теоретично обґрунтовуються найбільш ефективні заходи щодо активізації наукових досліджень. Напрями сучасних конференцій можуть бути поштовхом для розробки нових ідей фундаментальних і прикладних досліджень: вивчення інноваційних методів навчання майбутніх вчителів; STEAM-освіта при підготовці вчителів; STEAM-освіта в початковій школі; Е-середовище сучасного університету; цифрова компетентність вчителя; цифрові технології у педагогічній освіті; цифрові технології у сучасній вищій школі; комп’ютинг та основи програмування в початковій школі; цифровий профіль вчителя Нової української школи; віртуальна та доповнена реальність в освіті тощо.
Висновки. Автор пропонує спонукати українські ЗВО, науково-педагогічних працівників до наукових досліджень, які б відповідали викликам часу, практичному вирішенню питань щодо фахової підготовки й національно-патріотичного виховання фахівців для нових професій. Майбутній фахівець повинен мати такі характеристики, як уміння вчитися упродовж життя, бути гнучким і здатним адаптуватися до викликів ринку праці, відповідальним за свої рішення й життя. Бути особистістю понад усе, яка вміє себе мотивувати на розвиток.

Abstract. The article presents various scientific approaches, views on basic and applied research in the field of pedagogy over the past year, analysis of the state of national science, and suggests ways of solving crisis phenomena in science.
Formulation of the problem. The conditions of the domestic market and European challenges regarding the relevance of the research are indicated. The focus is on interdisciplinary research in the field of pedagogy, but the transdisciplinarity in science, dedicated to international and all-Ukrainian scientific forums, needs to be addressed.
Materials and methods. The author uses theoretical analysis and systematization of scientific pedagogical and reference literature (NASU protocols for 2019) on the problems of basic and applied research in pedagogy; generalization of pedagogical experience of teachers of higher education institutions and scientists.The author uses comparisons, synthesis, analysis, generalization, study and synthesis of the scientific experience of scientists in order to achieve their goal. The result was the author's assertion that the challenges of time, practical solutions should be answered by research on the professional training and national-patriotic education of specialists for new professions. Analysis of quality, features of pedagogical research in recent years, identification of crisis, research problems, attention on topical issues in the scientific field, the applied nature of research as a practical solution to educational problems - here is an incomplete list of issues that need to be addressed at the level of the Ministry of Education and the National Academy of Sciences
Results. The article theoretically substantiates the most effective measures to activate scientific research. The trends of contemporary conferences can be an impetus for the development of new ideas for basic and applied research: learning innovative teaching methods for future teachers;STEAM education in teacher training; STEAM education in primary school; E-environment of the modern university; digital competence of the teacher; digital technologies in pedagogical education; digital technologies in modern higher education; elementary school computer and programming; digital profile of the teacher of the New Ukrainian School; virtual and augmented reality in education and more.
Conclusions. The author proposes to encourage Ukrainian higher education, scientific- pedagogical staff to new scientific research that would meet the challenges of the time, practical solutions to the issues of professional training and national-patriotic education of specialists for new professions. The future specialist should have such characteristics as: the ability to learn throughout life, be flexible and able to adapt to the challenges of the job market, responsible for their decisions and lives. To be a person above all who can motivate himself for development.

Formulation of the problem. The article deals with the concepts: tradition and innovation; historical analysis of their interaction in the field of education is conducted. In any era, traditions were reworked, rethought, and applied to their own ends and only those that were in harmony with the style and culture of society were preserved. Some elements of the old traditional system have survived, adapting to new circumstances, changing their functions or joining the new system as elements. It can’t be spoken of traditions as something solid and unchanging; in fact, there is a continuous process of changing and transforming some traditions and dying of others, transforming some innovations into traditions. This is the basic logic behind the interaction between tradition and innovation. Thus, the concepts of "tradition" and "innovation" are dialectically interrelated. Tradition exists as a basis for innovation, and innovation is the basis for the tradition origin.
Materials and Methods. Solving the highlighted aim, a set of methods of scientific research adequate to them were used, theoretical: a comparative analysis of innovative culture in the mainstream development of the modern society; a systematic analysis of innovative culture as an integrative personality quality of the future manager of the educational institution. The article analyzes the theoretical foundations of the concepts of "tradition - innovation" as two sides of the educational process. The traditions analysis and innovations has been carried out based on the approaches considered to these concepts, taking into account development over time, depending on the particular circumstances of the society's development.
Results. The concepts of "tradition" and "innovation" are dialectically interrelated. Tradition exists as a basis for innovation, and innovation is the basis for the origin of tradition. The article reveals the essence of innovative culture and its place and significance in the modern society development. The interrelation between person’s innovative culture and the innovative culture of society is analyzed and the main development tasks of effective innovative culture are highlighted.
Conclusions. The category "innovative culture" is one of the corporate culture directions of the general secondary education institution. The essence definition and the category content" person’s innovative culture" is offered, its main tasks in providing an innovative favorable environment are defined. The article attempts to answer the question of what should be the process of pedagogical support of innovative activity of future heads of secondary educational institutions, in order to effectively influence the innovative practice results taking into account its peculiarities.

Анотація. У статті розглядаються поняття: традиція та інновація; проводиться історичний аналіз їх взаємодії в галузі освіти.
Формулювання проблеми. У будь-яку епоху традиції переробляли, переосмислювали та застосовували до власних цілей, зберігалося лише те, що відповідало укладу та культурі суспільства в даний період. Деякі елементи старої традиційної системи виживали, пристосовуючись до нових обставин, змінюючи свої функції або входячи в нову систему в якості елементів. Не можна говорити про традиції як про щось міцне та незмінне, насправді навколо йде безперервний процес зміни і перетворення одних традицій та відмирання інших, перетворення деяких інновацій в традиції. В цьому і полягає основна логіка взаємодії традицій та інновацій. Таким чином, поняття «традиція» та «інновація» діалектично взаємопов'язані. Традиція існує як база для інновацій, а інновація є основою для зародження традиції. У статті проаналізовано теоретичні основи понять «традиції - інновації» як дві сторони освітнього процесу.
Матеріали і методи. Аналіз традицій та інновацій проведено, виходячи з розглянутих підходів до цих понять з урахуванням розвитку в часі, в залежності від конкретних обставин розвитку суспільства. Таким чином, поняття «традиція» і «інновація» діалектично взаємопов'язані.
Результати. Традиція існує як база для інновації, а інновація є основою для зародження традиції. У статті розкрито сутність інноваційної культури та її місце і значення в розвитку сучасного суспільства. Проаналізовано взаємозв'язок інноваційної культури особистості та інноваційної культури суспільства та виділено основні завдання розвитку ефективної інноваційної культури. Визначено підходи до інтерпретації сутності категорії «інноваційна культура» як одного з напрямків корпоративної культури закладу загальної середньої освіти. Запропоновано визначення сутності і змісту категорії «інноваційна культура особистості», визначено основні її завдання у забезпеченні інноваційно сприятливого клімату середовища.
Висновки. У статті зроблено спробу відповісти на питання, яким повинен бути процес педагогічного супроводу інноваційної діяльності майбутніх керівників закладів середньої освіти, щоб ефективно впливати на результати інноваційної практики з урахуванням її особливостей.

Формулювання проблеми. На сучасному етапі в умовах розбудови національної системи освіти в нашій країні для вирішення кардинальних завдань професійної підготовки та розвитку вчителів математики актуальним є вивчення інновацій у професійній підготовці майбутніх учителів математики у світовому просторі.
Методи дослідження. Мета дослідження зумовила вибір взаємопов’язаних методів, зокрема, теоретичні: теоретичний аналіз наукової літератури та нормативних документів, синтез, порівняння, узагальнення та систематизація отриманих даних; емпіричні: педагогічне спостереження, аналіз досвіду роботи тощо.
Результати дослідження. Інновації в освіті мають ознаки унікального суспільного механізму, який забезпечує соціальний розвиток, моделює майбутній суспільний устрій, діапазон зв’язків між людиною і природою, суспільством, іншими людьми. Інновації у професійній підготовці майбутніх учителів математики у світовому просторі повинні розглядатися у відповідності до напрямків удосконалення шкільної математичної освіти.
Висновки. Узагальнюючи аналіз досвіду підготовки до інноваційної педагогічної діяльності майбутніх вчителів математики за кордоном зазначимо, що до основних його напрямків доцільно віднести: введення до навчального плану підготовки спеціальних навчальних дисциплін; створення умов для розвитку дослідницьких здібностей і креативних якостей особистості студентів; формулювання у стандартах освіти вимог до підготовки вчителя математики здатного здійснювати інноваційну педагогічну діяльність, зокрема засобами ІКТ. Перспективи впровадження елементів розглянутого досвіду вбачаємо у впровадженні новітніх інформаційних технологій у викладання математичних дисциплін, створенні спецкурсів «Системи комп’ютерної алгебри» та «Цифрові інструменти у професійній діяльності учителя математики».

Problem formulation. At the present stage in the development of the national education system in our country to solve the cardinal problems of training and development of math teachers is relevant to study innovations in the training of future math teachers in the world.
Research methods. The purpose of the study led to the choice of interrelated methods, in particular, theoretical: theoretical analysis of scientific literature and regulations, synthesis, comparison, generalization and systematization of the data; empirical: pedagogical observation, analysis of work experience, etc.
Research results. Innovations in education have the characteristics of a unique social mechanism that ensures social development, models the future social order, the range of links between human and nature, society and other people. Innovations in the professional training of future math teachers in the world should be considered in accordance with the areas of improvement of school mathematics education.
Conclusions. Summarizing the analysis of the experience of preparation for innovative pedagogical activity of future teachers of mathematics abroad, we note that its main areas should include: introduction to the curriculum for the preparation of special disciplines; creating conditions for the development of research abilities and creative personality traits of students; formulation in educational standards of requirements for the training of a mathematics teacher capable of carrying out innovative pedagogical activities, in particular by means of ICT. We see prospects for the introduction of elements of this experience in the introduction of new information technologies in the teaching of mathematical disciplines, the creation of special courses "Computer Algebra Systems" and "Digital tools in the professional activities of mathematics teachers."

Аннотация. В статье поднят вопрос междисциплинарности пространства знаний нелинейной архитектуры, среди которых выделены математические методы и модели. Предложены подходы включения современных математических знаний в образовательный процесс  путём внедрения интегративных технологий.
Формулирование проблемы. Работа направлена на устранение противоречий, связанных с несоответствием содержания математического образования студентов архитектурных специальностей требованиям современного архитектурного проектирования.
Материалы и методы. В работе использованы следующие методы: сбор, систематизация, классификация и обобщение информации относительно поставленной проблемы, сравнительный анализ разных педагогических подходов, синтез и анализ результатов собственной педагогической интегративной деятельности. 
Результаты.  В статье обосновано, что нелинейная архитектура носит междисциплинарный характер и в этом пространстве одну из ведущих ролей играют математические методы и модели. Среди основных методов выделены методы фрактального, геометрического и параметрического моделирования, причём указано на то, что во многих случаях области их применения пересекаются. Такой характер архитектурной деятельности обосновывает необходимость создания условий для приобретения студентами междисциплинарных знаний, соответствующих требованиям современного проектирования. Эту задачу предложено решать на основе  интегрированных технологий путём разработки и внедрения спецкурсов прикладной направленности. Опыт такой работы указывает на необходимость объединения усилий  математиков, архитекторов и IТ-специалистов. В качестве альтернативного пути решения поставленной задачи предлагается работа в рамках студенческого научного общества, причём указано на то, что опыт такой деятельности демонстрирует положительный результат.
Выводы. Внедрение интегративных форм обучения способствует приобретению междисциплинарных знаний, что способствует оптимизации образовательного процесса.

Abstract. The article raised the issue of interdisciplinarity of the knowledge space of nonlinear architecture, among which mathematical methods and models are highlighted. The approaches to the inclusion of modern mathematical knowledge in the educational process through the introduction of integrative technologies are proposed.
Formulation of the problem. The work is aimed at eliminating the contradictions associated with the mismatch of the content of the mathematical education of students of architectural specialties with the requirements of modern architectural design.
Materials and methods. The following methods were used in the work: collection, systematization, classification and generalization of information regarding the problem posed, a comparative analysis of different pedagogical approaches, synthesis and analysis of the results of one's own pedagogical integrative activity.
Results. The article substantiates that nonlinear architecture is interdisciplinary in nature and in this space one of the leading roles is played by mathematical methods and models. Among the main methods, the methods of fractal, geometric and parametric modeling are highlighted, and it is indicated that in many cases their fields of application intersect. This nature of architectural activity justifies the need to create conditions for students to acquire interdisciplinary knowledge that meets the requirements of modern design. Authors propose to solve this problem on the basis of integrated technologies by developing and implementing special courses of applied orientation. The experience of such work indicates the necessity of combining the efforts of mathematicians, architects and IT specialists. As an alternative way to solve the problem, it is proposed to work within the framework of the student scientific society, and it is indicated that the experience of such activities demonstrates a positive result.
Conclusions. The introduction of integrative forms of learning contributes to the acquisition of interdisciplinary knowledge, which helps to optimize the educational process.

Анотація. Формулювання проблеми. В останні роки зростає інтерес математиків до об’єктів з нетривіальними метричними і топологічними властивостями. Одним із ефективних апаратів задання і дослідження таких об’єктів є використання систем зображення дійсних чисел. Також дійсне число є фундаментальним поняттям теорії чисел, неперервної математики та теорії ймовірностей. Сьогодні у математиці та її застосуваннях широко використовуються різні системи представлення та зображення дійсних чисел. Деякі з них мають скінченний алфавіт, а деякі – нескінченний. Але у більшості випадків дійсне число моделюється з числа натурального. Класичним підходом до зображення дробової частини дійсного числа є представлення числа у формі суми ряду з чисел, обернених до натуральних. Природньо виникає необхідність систематизувати, чітко виділити чи розробити рекурсивні алгоритми розкладів дійсного числа в ряди спеціальних видів.
Матеріали і методи. Проведено системний аналіз наукових джерел щодо представлення чисел деякими рядами спеціальних видів для визначення найбільш важливих напрямків. При дослідженні використовувались методи та засоби метричної теорії чисел, математичного аналізу та математичної логіки.
Результати. У результаті дослідження було систематизовано підхід до зображення чисел деякими рядами, чітко виділено рекурсивні кроки скінченного чи нескінченного алгоритму переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення чисел s-адичними рядами, рядом Енгеля, знакододатним та знакозмінним рядами Люрота, рядами Остроградського 1-го та 2-го видів. Дію кожного з алгоритмів було застосовано до одного і того ж самого раціонального числа з проміжку (0;1) і виявлено, що одне і те ж саме число може мати в різних системах скінченне або нескінченне періодичне зображення.
Висновки. Враховуючи самоподібну структуру деяких збіжних знакододатних чи знакозмінних рядів, вдається отримати чіткі рекурсивні кроки переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення за допомогою рядів.

Abstract. Formulation of the problem. In recent years, mathematicians have become increasingly interested in objects with non-trivial metric and topological properties. One of the most effective tools for assigning and researching such objects is a usage of the real numbers representation system. Also, the real number is a fundamental concept of number theory, continuous mathematics, and probability theory.  Nowadays, different systems of the real numbers representation are extensively used in mathematics. Some of them have a finite alphabet and some have an infinite. But in most cases a real number is modeled from the natural number. The classical approach to the representation of the fractional part of a real number is to represent a number in the form of number series sum inverted to natural.  In this regard, there is a need to systematize, clearly distinguish, or develop recursive algorithms for the real numbers distribution into series of special types.

Materials and methods. A systematic analysis of scientific sources on the numbers representation by some series of special types to determine the most important areas is carried out. Methods and means of metric number theory, mathematical analysis, and mathematical logic were applied in the study.

Results. The study systematized the approach to the numbers representation in some series, clearly distinguished the recursive steps of a finite or infinite algorithm for the transition from a decimal image of a real number to an image of numbers with s-adic series, Engel series, positive terms and alternate series of Lurots, Ostrogradskyi series of the 1st type and of the 2nd type. The action of each algorithm was applied to the same rational number from the interval (0; 1) and it was found that the same number can have a finite or infinite periodic representation in different systems.

Conclusions. Taking into account the self-similar structure of some converging positive or alternating series, it is possible to obtain clear recursive steps of the transition from a decimal representation of a real number to a representation using the series.