Анотація. Інтегрування погано зумовлених функцій, наближення неперервних недиференційовних функцій гладкими функціями вимагають нового підходу до розв’язування цих проблемних задач. У роботі пропонується загальний підхід до розв’язання цих проблемних задач на основі інтерполяційних позіномів довільної гладкості. Одній і тій же сітковій функції   ставиться сім’я позіномів за рахунок комбінації вузлів сітки і параметра  :  ,   (або   якщо множник задається у формі ),  ,  ,   многочлен Лагранжа, що дозволяє для різних досліджуваних задач, додаткових умов, класів інтерполюючих функцій вибирати найкраще  наближення (на відміну від поліноміального єдиного наближення  ). Коефіцієнти многочлена Лагранжа і параметри  ,   позіноміального доданка визначаються однозначно з умов інтерполяції на сітці з   вузлів, якщо сіткова функція належить класу   – -их різниць одного знаку. В теорії катастроф і теорії хаосу однією з основних задач є гладка заміна змінних, яка дозволяє аналізувати математичну модель на стійкість. Значення параметра   є характеристикою, яка визначає на скільки гладка функція – многочлен  , може бути прийнятливою для відображення   (якщо  відрізняється від  незначно і не прийнятливою, якщо  відрізняється на багато. Параметр   визначає ступінь ризику моделі до зовнішніх впливів). Для інтегрування гладких функцій запропонований новий підхід побудови квадратурних формул відкритого (без крайніх меж) і закритого (з межами проміжка інтегрування) типів лише на основі оптимальних пар симетричних вузлів. Це дає змогу застосувати квадратурні формули обчислення або дослідження збіжності невласних інтегралів. Вибираючи сітки з оптимальними вузлами можна будувати адаптивні квадратурні формули найвищої точності для неперервних недиференційовних функцій. Інтерполяційні позіноми на відміну від інтерполяційних поліномів можна використовувати одночасно, як коректуючі та прогнозуючі характеристики поведінки функції, що є основою розв’язання багатьох практичних задач.

Abstract. Integration of poorly conditioned functions, the approximation of continuous non-differentiable functions by smooth functions, require a new approach to solving these problem problems. The paper proposes a general approach to solving these problem problems based on interpolation polynes of arbitrary smoothness. One and the same net function   the family of poses is put at the expense of a combination of nodes of a grid and a parameter  :  ,   (or   if the multiplier is given in the form  ),  ,  , Lagrange polynomial, which allows for the various problems studied, additional conditions, classes of interpolating functions to choose the best approximation (in contrast to the polynomial uniform approximation  ). The coefficients of the Lagrangian polynomial and the parameters, of the subordinate term are determined unambiguously from the conditions of interpolation on the grid with nodes if the net function belongs to a class    –  differences of one sign. In the theory of catastrophes and the theory of chaos, one of the main tasks is the smooth replacement of variables, which allows you to analyze the mathematical model for stability. The parameter   value is a characteristic that determines how smooth the function is  the polynomial , may be acceptable to display   (if  differs from  the insignificant and not acceptable, if  different for many. The parameter   determines the degree of risk of the model to external influences). To integrate smooth functions, a new approach is proposed for constructing quadrature formulas of open (without extreme bounds) and closed (with boundaries of the integration interval) types only on the basis of optimal pairs of symmetric nodes. This enables the use of quadrature computational formulas or the study of the convergence of improper integrals. When selecting meshes with optimal nodes, we can construct adaptive quadrature formulas of the highest accuracy for continuous non-differentiable functions. Interpolation zeros, unlike interpolation polynomials, can be used simultaneously as corrective and predictive features of the behavior of the function, which is the basis of solving many practical problems.

Анотація. Стаття присвячена використання інтернет-технологій в навчальному процесі, їх перевагам і недолікам при підготовці майбутніх учителів фізики. Продемонстровані можливості платформи Moodle в навчальному процесі з дисципліна Механіка та розміщення матеріалів для дистанційних олімпіад. Показано, що інтернет-технології дозволяють підготувати компетентного фахівця, що відповідає сучасним вимогам ринку праці; відкривають можливість роботи з іншомовними ресурсами і науковими доробками світової науки.

Abstract. The article is devoted to the use of Internet technologies in the educational process, their advantages and disadvantages in the preparation of future teachers of Physics. Demonstrated The possibilities of the Moodle platform in the educational process of the discipline of Mechanics and the placement of materials for distance competitions. It is shown that Internet technologies allow to prepare a competent specialist who meets the modern requirements of the labor market; open the opportunity to work with foreign language resources and scientific developments of world science.

Анотація. Автор розглядає особливості проектування як складової  професійної діяльності педагога, а також важливого його компонента – інтерактивних технологій навчання. Зроблений висновок про необхідність пошуку закономірностей процесу проектування мети і змісту навчання, навчально-методичного, інформаційного і програмного забезпечення.

Abstract. The author considers system development as a part of educator’s activity as well as its main components – interactive educational technology. As a conclusion it is necessary to search for the specific rules to follow while designing the objectives, educational content academic, methodic, informative and programming facilities.

Анотація. У статті наведено результати педагогічного експерименту, пов’язаного з впровадженням моделі формування готовності майбутніх учителів фізичної культури до інноваційної професійної діяльності. Готовність майбутнього вчителя фізичної культури до інноваційної професійної діяльності є складним інтегрованим особистісним утворенням, сутність якого становить сукупність взаємопов’язаних складових. У статті описано методики визначення рівнів готовності за розробленими критеріями. Наведено методики розрахунку результатів за одержаними даними та її візуалізовані моделі. Проведено якісний аналіз одержаних результатів з позитивним висновком про ефективність авторської моделі. Під час визначення рівнів готовності майбутнього вчителя фізичної культури до інноваційної професійної діяльності слід спиратися на такі показники,  як обсяг знань (предметний критерій), рівень гімнастичної підготовленості та виконання організаційних дій (практичний критерій), рівень мотивації та самоаналізу майбутніх учителів фізичної культури (психологічний критерій). Запропонована класифікація рівнів готовності майбутніх учителів фізичної культури до інноваційної професійної діяльності містить чотири сходинки: інтуїтивний, репродуктивний, усвідомлений та творчий. На основі кількісних і якісних показників було проведено порівняльний аналіз одержаних проміжних і кінцевих результатів педагогічного експерименту. Достовірність результатів дослідження забезпечувалася використанням статистичних методів опрацювання результатів дослідницької роботи (критерії Стьюдента та Пірсона). Проведений аналіз результатів формувального етапу експерименту в контрольних та експериментальних групах свідчить про результативність упровадження в процес підготовки майбутніх вчителів фізичної культури науково обґрунтованої моделі управління цим процесом, навчальних і методичних посібників, практичних рекомендацій, розроблених автором дослідження, що дозволяє студентам ефективно застосовувати інноваційні технології у майбутній професійній діяльності.

Abstract. The article presents the results of a pedagogical experiment related to the implementation of a model for preparing future readers of physical culture for innovative professional activities. The readiness of the future teacher of physical culture to innovate professional activities is a complex integrated personality entity, the essence of which is a set of interconnected components. The article describes the methods of determining the readiness levels for the developed criteria. The methods of calculation of results on the received data and its visualized models are resulted. The qualitative analysis of the obtained results with a positive conclusion about the effectiveness of the author's model is carried out. When determining the readiness levels of the future teacher of physical culture for innovation professional activity, it is necessary to rely on such indicators as the amount of knowledge (subject criterion), the level of gymnastic readiness and performance of organizational actions (practical criterion), the level of motivation and self-examination of future teachers of physical culture (psychological criterion). The proposed classification of the readiness levels of future teachers of physical culture for innovation professional activity contains four steps: intuitive, reproductive, conscious and creative. On the basis of quantitative and qualitative indicators, a comparative analysis of the obtained intermediate and final results of the pedagogical experiment was conducted. Reliability of the results of the study was ensured by the use of statistical methods for processing the results of research work (criteria Student and Pearson). The analysis of the results of the forming stage of the experiment in the control and experimental groups testifies to the effectiveness of the introduction of the scientifically grounded model of management of this future process of physical education teachers, educational and methodological manuals, practical recommendations developed by the author of the study, which allows students to effectively apply innovative technologies in the future professional activity.

Анотація. Авторами статті запропоновано аналіз компетентностей, що мають бути сформовані у майбутніх учителів математики засобами сучасних інформаційно-комунікаційних технологій. Визначено, що до загальних (базових) компетентностей відносять: інформатичну, інформаційну, організаційно-методичну. Установлено, що під ІКТ-компетентністю майбутніх учителів математики розуміють їхню здатність до пошуку, оброблення й аналізу необхідної для розв’язування навчальних, наукових і професійних завдань інформації з різних джерел із дотриманням етичних та правових норм; навички використання інформаційно-комунікаційних, комп’ютерних технологій як інструменту набуття знань та умінь, а також презентації проблеми, задачі, відомих чи власних результатів тощо. Представлено програму електронного навчального курсу для підтримки реалізації проблеми дослідження. На прикладах стаціонарного програмного забезпечення, он-лайн сервісів та різнотипових подкастів продемонстровано застосування ІКТ в освітньому процесі. Узагальнено інформацію про освітні веб-ресурси, які доцільно застосовувати в освітньому процесі: 1) освітні веб-ресурси для аудиторної роботи з майбутніми учителями (хостинги для зберігання медіа файлів, системи створення й зберігання навчальних матеріалів, системи спільного створення різнотипових документів, орієнтовані на організацію спільної роботи з текстовими, табличними документами, презентаціями); 2)  освітні веб-ресурси для самостійної й позааудиторної роботи майбутніх учителів (веб-ресурси для організації проектної діяльності майбутніх учителів, системи дистанційного навчання,  системи віртуального спілкування, що включають значне різноманіття веб-технологій та веб-ресурсів, застосовуваних у самостійній та позааудиторній роботі); 3) освітні веб-ресурси для науково-дослідної роботи майбутніх учителів (інституційний депозитарій, електронна бібліотека, електронне періодичне наукове видання, освітня хмара).

Abstract. The analysis of competences that should be formed in the future teachers by the tools of modern information and communications technologies is presented by the authors. It is been determined that generic (core) competences include: informatics, informational, organizational and methodological competences.
It is established that under the ICT competence of future mathematics teachers they understand their ability to search, process and analyze necessary information for solving educational, scientific and professional tasks from different sources, observing ethical and legal norms. The skills of using informative and communicative, and also computer technologies as a tool for acquiring knowledge and skills, tasks and personal results have been given.
The program of electronic study course to support the realization of above-mentioned task is presented. The purpose of the program is to create a modern level of informational and computer culture, acquiring practical skills of application information technologies by teachers  in order to increase the efficiency of the educational process; students and their preparation for the pedagogically effective use of information technology training in further professional activities. The content of the program modules has been given. Module 1. Network technologies in math, module 2. Office technologies in math, module 3. Multimedia technologies. The author clarifies that in each specified group he pointed to the educational web resources that are the most frequently used in prospective teachers’ professional training but generally, their number is much higher. In addition, each of the named species is characterized by complex purpose and its using in the process of professional training of the teachers is not limited only by classroom, extracurricular or academic activities of the students. The author considers that this classification and methods of using educational Web resources in the educational process higher school, which are briefly characterized in the article, will produce a positive impact on the implementation of information and communication, including networking, technologies into the practice of prospective teachers’ professional training in the conditions of informatization of modern pedagogical universities educational environment.