Voskoglou M.Gr. [mvosk@hol.gr]
Graduate Technological Educational Institute of Western Greece, Patras, Greece
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2016-v4-10/2016_4-10-Voskoglou_Scientific_journal_FMO.pdf

USE OF FUZZY NUMBERS FOR ASSESSING THE ACQUISITION
OF THE VAN-HIELE LEVELS IN GEOMETRY

Abstract. Voskoglou M.Gr. Use of Fuzzy Numbers for Assessing the Acquisition of the van-Hiele Levels in Geometry. It is generally accepted that students face many difficulties in constructing proofs of theorems and solutions of problems of the Euclidean Geometry. The van Hiele theory of geometric reasoning suggests that students can progress through five levels of increasing structural complexity. It has been also proved by other researchers that these levels are continuous characterized by transitions between the successive levels. This means that from the teacher’s point of view there exists fuzziness about the degree of student acquisition of each level, which suggests that principles of Fuzzy Logic could be used for the evaluation of student geometric reasoning skills. Here a combination of Triangular Fuzzy Numbers (TFNs) and of the Centre of Gravity (COG) deffuzzification technique is applied for evaluating the acquisition of the van Hielie levels by students. It is further shown that the use of the Yager index instead of the COG technique leads to the same assessment conclusions.  Other fizzy methods applied in earlier works are also discussed and an example on high school student acquisition of 3-dimensional geometrical concepts is presented illustrating our results.
Key words: van Hiele (vH) levels of geometric reasoning, fuzzy logic (FL), triangular fuzzy numbers (TFNs), centre of gravity (COG) defuzzification technique, Yager index.

Аннотация. Воскоглой М. Гр. Использование нечетких чисел для оценки усвоения уровней ван Хиеле в геометрии. Известно, что студенты сталкиваются со многими трудностями в построении доказательства теорем и решения задач евклидовой геометрии. Теория ван Хиеле из предполагает, что студенты проходят пять уровней возрастающей структурной сложности. Было доказано другими исследователями, что эти уровни характеризуются непрерывным переходами между последовательными уровнями. Естественно, существует некоторая нечеткость в представлении учителя о степени усвоения студентами каждого уровня, что свидетельствует о том, что принципы нечеткой логики можно было бы использовать для оценки студенческих геометрических навыков мышления. Комбинация методов треугольных нечетких чисел (TFNs) и Центра Тяжести (COG) применимы здесь для оценки. Показано, что использование индекса Яджера вместо метода COG приводит к тем же выводам. Представлены примеры иллюстрирующий наши результаты.
Ключевые слова: ван Хиеле уровни в геометрии, нечеткая логика, треугольные нечеткие числа, метод дефаззификации, индекс Ягер.

Анотація. Воскоглой М. Гр. Використання нечітких чисел для оцінки засвоєння рівнів ван Хіеле в геометрії. Відомо, що студенти стикаються з багатьма труднощами в побудові доведення теорем та розв'язання задач евклідової геометрії. Теорія ван Хіеле з передбачає, що студенти проходять п'ять рівнів зростаючої структурної складності. Було доведено іншими дослідниками, що ці рівні характеризуються безперервним переходами між послідовними рівнями. Природно, існує деяка нечіткість у поданні вчителя про ступінь засвоєння студентами кожного рівня, що свідчить про те, що принципи нечіткої логіки можна було б використовувати для оцінки студентських геометричних навичок мислення. Комбінація методів трикутних нечітких чисел (TFNs) і Центру Ваги (COG) застосовні тут для оцінки. Показано, що використання індексу Яджера замість методу COG призводить до тих самих висновків. Представлені приклади ілюструє наші результати.
Ключові слова: ван Хіеле рівні в геометрії, нечітка логіка, трикутні нечіткі числа, метод дефаззіфікації, індекс Ягер.

References

1. Burger, W.P. & Shaughnessy, J.M. (1986), Characterization of the vam Hiele Levels of Development in Geometry, Journal for Research in Mathematics Education, 17, 31-48.
2. Freudenthal, H. (1973), Mathematics as an Educational Task, D. Reidel, Dordrecht.
3. Fuys, D., Geddes, D. & Tischler, R. (1988), The van Hiele Model of Thinking in Geometry among Adolescents, Journal for Research in Mathematics Education, Monograph 3, NCTM, Reston, VA, USA.
4. Gutierrez, A., Jaine, A. & Fortuny, J.K. (1991), An Alternative Paradigm to Evaluate the Acquisition of the van Hiele Levels, Journal for Research in Mathematics Education, 22, 237-251.
5. Kemeny, J.G. & Snell, J.L. ((1976), Finite Markov Chains, Springer, New York.
6. Perdikaris, S.C. (1996), A Systems Framework for Fuzzy Sets in the van Hiele Theory of Geometric Reasoning, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 27(2), 273-278.
7. Perdikaris, S.C. (2011), Using Fuzzy Sets to Determine the Continuity of the van Hiele Levels, Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education, 6(3), 81-86.
8. Perdikaris, S.C. (2012), Using Possibilities to Compare the Intelligence of Student Groups in the van Hiele Level Theory, Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education, 7(1), 27-36.
9. Ruziyeva, A. & Dempe, S. (2013), Yager Ranking in Fuzzy Bi-level Optimization, Artificial Intelligence Research, 2(1), 55-58.
10. Subbotin, I.Ya., Badkoobehi, H. & Bilotckii, N.N. (2004), Application of fuzzy logic to learning assessment, Didactics of Mathematics: Problems and Investigations, 22, 38-41.
11. Subbotin, I.Ya. & Voskoglou, M.Gr. (2016), An Application of the Generalized Rectangular Model to Critical Thinking Assessment, American Journal of Educational Research, 4(5), 397-403.
12. van Hiele, P.M. & van Hiele-Geldov, D. (1958), Report on Methods of Initiation into Geometry, edited by H. Freudenthal, J.B. Wolters, Groningen, The Netherlands, pp. 67-80.
13. van Hiele, P.M. (1986), Structure and Insight, Academic Press, New York.
14. Voskoglou, M. Gr. (2011), Stochastic and Fuzzy Models in Mathematics Education, Artificial Intelligence and Management, Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, Germany.
15. Voskoglou, M. Gr. (2012), A Study on Fuzzy Systems, American Journal of Computational and Applied Mathematics, 2(5), 232-240.
16. Voskoglou, M.Gr. (2016), Fuzzy Numbers as an Assessment Tool in the APOS/ACE Instructional Treatment for Mathematics, Physical and Mathematical Education (Scientific journal), 1(7), 29-37
17. Wilson, M. (1990), Measuring a van Hiele Geometric Sequence: A Reanalysis, Journal for Research in Mathematics Education, 21, 230-237.
18. Yager R. (1981) A procedure for ordering fuzzy subsets of the unit interval, Information Sciences, 24, 143-161.