Формулювання проблеми. Зниження якості математичної освіти цільових груп (учнівська і студентська молодь), відсутність рівного доступу до якісної математичної освіти незалежно від місця проживання, стану здоров’я, соціального статусу; спадання мотивації молоді до вивчення точних наук, зокрема математики визначають потреби пошуку сучасних освітніх ресурсів і навчальних форм, здатних забезпечити інтерес до вивчення математики без зниження якості та результативності.
Матеріали і методи. Вибіркову сукупність дослідження склали 10 загальнодоступних україномовних веб-ресурсів для вивчення математики онлайн, визначені за рейтингом пошукової програми. Використано такі методи як контент-аналіз, синтез, порівняння, опис одержаних результатів дослідження, узагальнення.
Результати. За результатами дослідження визначено тенденції: 1) забезпечення Інтернет-сторінок панелями онлайн-розрахунків, які, з одного боку, дозволяють здійснювати самоперевірку вірності одержаних розв’язків, але, з іншого боку, будучи застосованими для автоматичного розв’язування математичних задач, не дозволяють оволодівати базовими математичними уміннями; 2) спрощеність, уніфікованість подачі теоретичних матеріалів або повна відсутність теорії, що утруднює або навіть унеможливлює вивчення математики самостійно, без наявності базової математичної підготовки та дозволяє застосовувати ресурси лише як допоміжний інструмент; 3) переважання відсутності авторства задач і завдань, що, на нашу думку, унеможливлює відповідальність авторів за поданий контент, знижує рівень його системності, наукової та методичної обґрунтованості; 4) використання реклами репетиторських та додаткових платних освітніх послуг, для комерційних цілей, що знижує можливості дистанційного самостійного вивчення математики та нівелює цінність неформальної математичної освіти засобами Інтернет; 5) недостатність зорієнтованості розробників навчальних матеріалів на різні вікові групи при вивченні математики, відсутність завдань різної складності, орієнтація на програму шкільного курсу математики, що обмежує розвиток пізнавальних потреб користувачів, не враховує пізнавальні інтереси різних за віком і статусом груп.
Висновки. Результати дослідження презентують важливі тенденції становлення математичної Інтернет-освіти. Перспективи подальших досліджень убачаються у вивченні освітніх і пізнавальних запитів користувачів веб-ресурсів із навчання математики онлайн задля можливості створення моделі ефективного веб-ресурсу.

Formulation of the problem. A decrease in quality of mathematical education of the target groups (school and university students), the absence of equal access to high-quality mathematical education regardless of location, health conditions, or social status, and reduced motivation to study science, in particular mathematics, among students, dictate the need to seek modern learning resources and educational forms, which can stimulate interest in learning mathematics with no decrease in quality and results of education.
Materials and methods. The sample of the study consisted of 10 publicly available Ukrainian-language web resources for the study of mathematics online, determined by the ranking of the search engine. The methods include content analysis, synthesis, comparison, description of the obtained research results, generalization.
Results. According to the results of the study, the following trends have been identified: 1) providing Internet pages with online calculation panels, which, on the one hand, allow self-checking the correctness of the obtained solutions, but, on the other hand, master basic mathematical skills; 2) simplification, uniformity of presentation of theoretical materials or complete absence of theory, which makes it difficult or even impossible to study mathematics on their own, without basic mathematical training and allows you to use resources only as a supporting tool; 3) the predominance of the lack of authorship of challenges and tasks, which, in our opinion, makes it impossible for authors to be responsible for the submitted content, reduces the level of its systematization, scientific and methodological validity; 4) the use of advertising tutoring and additional paid educational services for commercial purposes, which reduces the possibility of distance independent study of mathematics and eliminates the value of informal mathematics education through the Internet; 5) lack of focus of developers of educational materials on different age groups in studying mathematics, lack of tasks of varying complexity, focus on the program of school mathematics course, which limits the development of academic needs of users, does not take into account cognitive interests of different age and status groups.
Conclusions. The results of the study present important trends in the formation of mathematical Internet education. Prospects for further research are seen in the study of educational and cognitive needs of users of web resources for teaching mathematics online to create a model of an effective web resource.

Формулювання проблеми. Умовиводи конструктивного характеру аксіоматичної теорії евклідової геометрії утворюють так звану елементарну евклідову геометрію, положення якої складають основну частину освітнього контенту курсів геометрії закладів загальної середньої освіти. Якщо навчальний предмет, сформований на базі певної аксіоматичної теорії, містить суттєву кількість елементів саме її конструктивної (елементарної) складової, то опанування контенту цієї складової без організації у визначеному розумінні практико-орієнтованого процесу навчання  представляється неможливим. Форми, прийоми і методи подібного навчання змінюються, у першу чергу, завдяки невпинному прискоренню науково-технічного прогресу. Дослідження доцільних сучасних форм, прийомів і методів впровадження практико-орієнтованого навчання під час опанування у закладах загальної середньої освіти визначених навчальною програмою елементів елементарної евклідової геометрії представляється задачею вельми актуальною.
Матеріали і методи. Для проведення досліджень використано як теоретичні методи, насамперед, пов’язані з аналізом відповідних інформаційних джерел, так і емпіричні, які ґрунтуються на власному практичному досвіді та дискусійного характеру обговореннях визначених вище питань з вчителями-практиками.
Результати. Наведено і проаналізовано конкретні доцільні форми, прийоми і методи практико-орієнтованого навчання по відношенню до елементарної складової систематичних курсів евклідової геометрії закладів загальної середньої освіти. У широкому розумінні  практико-орієнтоване навчання передбачає отримання нових знань, умінь та навичок як результат власної свідомої активної діяльності. А така діяльність, як і кожна діяльність людини, є покроковою, конструктивною за своєю сутністю. Звідси випливає, що якісне опанування визначених навчальною програмою розділів елементарної евклідової геометрії як відповідних конструктивних складових евклідової геометрії вимагає організації усього освітнього процесу саме у вигляді практико-орієнтованої системи навчання.
Висновки. На підставі обґрунтувань теоретичного характеру практико-орієнтовану у широкому розумінні форму організації процесу навчання представлено як необхідну передумову вдалого опанування положень елементарної евклідової геометрії у закладах загальної середньої освіти, розкрито напрямки  організації  відповідної цілісної системи практико-орієнтованого навчання. Подальші дослідження можна спрямувати  на створення конкретних практичних рекомендацій для відповідної категорії освітян.

Formulation of the problem. The reasoning of the constructive character of the axiomatic theory of Euclidean geometry forms the so-called elementary Euclidean geometry, statements of which form the main part of the educational content of geometry courses at institutions of general secondary education. If the subject, formed based on a certain axiomatic theory, contains a significant number of elements of its constructive (elementary) component, then mastering the content of this component without organization in a defined sense practice-oriented learning process is impossible. Forms, techniques, and methods of such mastering are constantly improving firstly due to the furious acceleration of scientific and technological progress. Investigation of the expediency of up-to-date forms, techniques, and methods of introduction the practice-oriented learning during the process of mastering at institutions of general secondary education determined by the education of program elements of the elementary Euclidean geometry seems a rather actual task. 
Materials and methods. To conduct our investigations we use theoretical methods, firstly, connected with analyzing the corresponding sources of information, as the empirical ones that are based on the own practical experience and discussions onto the assessee of the problem with the currently working teachers. 
Results. Concrete expedience forms, techniques, and methods of practice-oriented learning according to the elementary addend of the systematic courses of Euclidean geometry at institutions of general secondary education are introduced and analyzed. In the broad sense, practice-oriented training supposes the receipt of new knowledge, skills, and habits as a result of own deliberate activity of step by step, a constructive activity by its essence. It follows from this that qualitative mastering the parts of elementary Euclidean geometry, determined by the educational program as the corresponding constructive addend of Euclidean geometry calls for the organization of the whole teaching-learning process just in a form of a practice-oriented educational system. 
Conclusions. Based on theoretical grounds, in a broad sense practice-oriented form of organization of the teaching-learning process is presented as a necessary precondition for successful mastering of elementary geometry at institutions of general secondary education, directions for building a corresponding system of such learning are revealed. Further investigations can be directed to create practical recommendations for the corresponding categories of educators. 

Розглянуто особливості застосування графічного методу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами числа, що дозволяє поліпшити розуміння графічного матеріалу взагалі, розуміння взаємозв’язків різних розділів математики та підготуватися до математичних змагань.
Формулювання проблеми. Графічному способу розв’язування рівнянь та їх систем у шкільному курсі математики приділяється мало уваги, навіть при вивченні на поглибленому рівні. Більшість вчителів оминають цей спосіб розв’язувань навіть при роботі із сильними учнями та з матеріалом, де застосування графічного способу є природнім. Такими є, наприклад, рівняння, що містять цілу та дробову частини числа, які постійно пропонуються на математичних змаганнях різних рівнів. Труднощі, що виникають при застосуванні графічного способу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами числа, викликані специфікою зазначених числових функцій та пов’язаного з ними математичного апарату з одного боку, а з іншого – невмінням учнів/ студентів графічно інтерпретувати суто алгебраїчний матеріал і робити зворотний перехід.
Результати. Розкрито особливості застування графічного методу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами, що базується на 4 класичних алгоритмах побудови графіків функцій у = ƒ([х]), у = [ƒ(х)], у = ƒ({х}), у = {ƒ(х)}. Пропонується застосовувати цей метод у дещо  розширеному вигляді з метою знаходження точних розв’язків з урахуванням умов вихідного або перетвореного рівняння.
Матеріал, розглянутий у статті, є частиною курсу «Олімпіадна математика», що читається студентам-магістрантам спеціальності 014 Середня освіта (Математика), а також пропонується учням при підготовці до олімпіад з математики.
Висновки.  Графічний спосіб розв’язування рівнянь та їх систем слід застосовувати не тільки до запропонованих у статті рівнянь або, тих, що розв’язуються цим способом  у регулярному курсі шкільної математики. Це дозволить не тільки покращити графічну культуру учнів, розвинути вміння застосовувати графічний матеріал в суто алгебраїчних питаннях: від оцінки кількості коренів рівняння до його повного розв’язання, поглиблюючи та систематизуючи отримані знання, розвиваючи  логічне та алгоритмічне мислення,  але й демонструвати взаємозв’язки різних розділів математики та їх взаємопроникнення.

Abstract. There are considered the peculiarities of applying the graphical method to solving equations containing integer and fractional part of a number in this article. This applying allows to improve the understanding of graphic material in general, the understanding the relationships of different part of mathematics and the preparing for mathematical competitions.
Formulation of the problem. Little attention is paid to the graphical way of solving equations and their systems in the school mathematics course, even when studied at an advanced level.Most teachers avoid this way of solving, even when working with strong students and with material where the use of the graphic method is natural.Such are, for example, equations containing integer and fractional parts of numbers, which are constantly offered in mathematical competitions of different levels. Difficulties which are arising in the application of the graphical method to solve equations containing integer, fractional part of the number caused by the specifics of these numerical functions and the associated mathematical apparatus on the one hand, and on the other - the inability of students to graphically interpret purely algebraic material and do the reverse transition.
Results.The peculiarities of the graphical method of solving the equations with integer and fractional parts are revealed. They are based on 4 classical algorithms for plotting the functions y = ƒ ([x]), y = [ƒ (x)], y = ƒ ({x}), y = {ƒ (x)}.It is proposed to apply this method in a slightly extended form in order to find exact solutions taking into account the conditions of the original or transformed equation.
The material which are considered in the article is a part of the course "Olympic Mathematics", which is read to undergraduate students majoring in 014 Secondary Education (Mathematics), and is also offered to students in preparation for Olympiads in mathematics.
Conclusions.The graphical method of solving equations and their systems should be applied not only to the equations proposed in the article or to those solved in this way in the regular curricula of school mathematics.This will not only improve the graphic culture of students, develop the ability to apply graphic material in purely algebraic issues: from estimating the number of the equation’s roots to its complete solution, deeper and systemize knowledge, develop logical and algorithmic thinking, but also to demonstrate the relationships of different parts of mathematics and their interpenetration.

Формулювання проблеми. Важливим компонентом професійної підготовки майбутнього інженера є навчання математичному моделюванню природничих, технологічних, економічних процесів і явищ, пов'язаних з проектуванням, конструюванням, виробництвом і експлуатацією технічних об'єктів та механічних систем. Таке навчання з необхідністю передбачає використання науково-технічних досліджень в опануванні математичних дисциплін.
Матеріали і методи. Для отримання результатів використано теоретичні (аналіз наукових джерел в галузі математичного моделювання фізичних процесів для розв’язання науково-технічних задач) та емпіричні (спостереження за освітнім процесом підготовки майбутніх інженерів для визначення позитивного впливу науково-технічних досліджень на рівень опанування математичних дисциплін) методи наукового пошуку.
Результати. Обґрунтовано, що математичне моделювання виступає впливовим засобом активізації дослідницької діяльності майбутніх інженерів. На прикладі дослідження явища резонансу надано методичні рекомендації щодо супроводу науково-технічного дослідження, які спираються на оволодіння студентами законів фізики, теорії диференціальних рівнянь та використання комп’ютерної графічної інтерпретації розв’язку.
Висновки. Для успішного опанування майбутніми інженерами вищої та прикладної математики ефективним є постановка і розв’язання завдання, які мають характер науково-технічного дослідження. Математичне моделювання фізичних процесів посилює їх усвідомлення, а тому є ефективним інструментом професійної підготовки майбутніх інженерів. Розв’язування прикладних задач, побудова математичних моделей та їх динамічна візуалізація є основою в організації проблемного навчання та науково-дослідної роботи студентів.

Formulation of the problem. An important component of the training of future engineers is training in mathematical modeling of natural, technological, economic processes and phenomena associated with the design, construction, manufacture and operation of technical facilities and mechanical systems. Such training necessarily involves the use of scientific and technical research in mastering mathematical disciplines.
Materials and methods. To obtain the results used theoretical (analysis of scientific sources in the field of mathematical modeling of physical processes to solve scientific and technical problems) and empirical (observation of the educational process of training future engineers to determine the positive impact of scientific and technical research on the level of mastery of mathematical disciplines) search.
Results. It is substantiated that mathematical modeling is an influential means of intensifying the research activities of future engineers. On the example of the study of the resonance phenomenon, methodical recommendations determined for the support of scientific and technical research, which are based on students' mastery of the laws of physics, theory of differential equations and the use of computer graphical interpretation of the solution.
Conclusions. For successful mastering by future engineers of higher and applied mathematics it is effective to set and solve problems that have the character of scientific and technical research. Mathematical modeling of physical processes enhances awareness of students, and therefore is an effective tool for training future engineers. Solving applied problems, building mathematical models and their dynamic visualization is the basis for the organization of problem-based learning and research work of students.

This article presents pedagogical experience in the use of numerical and verbal crossword puzzles in a math-lesson in primary school. They are one of the many enigmatic tools that find a place in learning, but their effective application requires extensive pedagogical experience. The technology for the realization of crossword puzzles is very plentiful and the teacher can choose the most suitable one for his students. The idea of their application is to support the learning process on the one hand by providing students with a higher level of understanding, more lasting memorization, and application of mathematical knowledge in practice, and on the other hand diversification and enrichment of teaching methods and tools. For students to acquire skills for applying the acquired mathematical knowledge in practical situations, it is first necessary to master a stable level of theoretical knowledge - a condition that depends primarily on the work of the teacher. The success of a teacher is the result of the variety of tools and methods he applies in his work and the ability to present them to students in a way that will intrigue and provoke them.
The review of the existing textbooks, collections, and books for the math teacher shows that the number of mathematical crossword puzzles in them is very small and they are only numerical. The analysis of the teaching practice shows that the possibilities of these tools are underestimated, on the one hand, due to the lack of ready-made crossword puzzles, and on the other hand the unpreparedness of the trainers to adequately apply the crossword puzzles in a real learning environment. Our goal is to arouse interest, increase the activity and motivation of students by applying numerical and verbal crossword puzzles in the math lesson.
This pedagogical experience was tested by an experimental study, the results of which show that the proposed and applied numerical and verbal crossword puzzles in the teaching of EG (experimental group) seventh-graders contribute to improving the results of mathematics education at the end of 7th grade. Proof of this is not only the experiment conducted within the study but also the results achieved by the NEE (National External Evaluation) in June 2020 of EG.

Анотація. У даній статті представлений педагогічний досвід використання числових і словесних кросвордів на уроці математики в середній школі. Кросворди є одним з безлічі енігматичних засобів, які мають місце в навчанні, але для їх ефективного застосування необхідний багатий педагогічний досвід. Технології реалізації кросвордів дуже багаті і вчитель сам може вибрати найбільш вдалу для його учнів. Ідея застосування кросвордів полягає в тому, щоб підтримати процес навчання, з одного боку, забезпечуючи учням більш високий рівень розуміння, більш тривале запам'ятовування і застосування математичних знань на практиці, а з іншого боку – дозволяє значно урізноманітнити методи, засоби і технології навчання. Щоб школярі зуміли набути навичок застосування отриманих математичних знань в практичних ситуаціях, необхідно спочатку оволодіти стабільним рівнем теоретичних знань – умовою, яка залежить, перш за все, від роботи вчителя. Успіх вчителя – це результат різноманітності інструментів і методів, які він застосовує в своїй роботі, а також його здатності представити знання учням таким чином, щоб заінтригувати і спровокувати їх здатність самостійного мислення.
Огляд існуючих підручників, збірників і книг для вчителів математики показує, що кількість математичних кросвордів в них дуже мала і вони в основному числові. Аналіз практики навчання показує, що можливості цих інструментів недооцінюються, з одного боку, через відсутність готових кросвордів, а з іншого – через замалий досвід вчителів вміло використовувати кросворди в рамках реальних умов навчання математики. Наша мета – викликати інтерес, підвищити активність і мотивацію учнів, вирішуючи числові і словесні кросворди на уроці математики.
Цей педагогічний досвід був апробований експериментальним дослідженням, результати якого показують, що запропоновані і застосовані числові і словесні кросворди в навчанні експериментальної групи семикласників сприяють поліпшенню результатів навчання математики в кінці 7-го класу. Доказом цього є результати не тільки проведених в рамках дослідження тестів, але і отримані результати в рамках проведення «Національного зовнішнього оцінювання» в червні 2020 року.