The article is devoted to the analysis of the practice of teaching linear algebra in English to Ukrainian and foreign students at the National Aviation University.
Formulation of problem. When teaching mathematical disciplines in multinational groups, teachers face the problem of teaching educational material to students from different countries for which English is not a native language. The purpose of this study is to investigate the specifics of the project approach for teaching of certain sections of linear algebra, in particular, for the distance learning during quarantine, in English-speaking academic groups.
Materials and methods. The study of effectiveness of different methods of presentation of teaching material and organization of the educational process on lectures, practical classes, individual students’ work is conducted by traditional methods, that is, by comparing the current and semester grades for different academic groups, interviewing teachers and analyzing the subjective students' assessments obtained through questionnaires.
Results. Teaching mathematical disciplines, in particular linear algebra, in multinational English-speaking academic groups requires modification of standard methods and approaches. As experiment, elements of the project approach were introduced. In particular, when teaching certain issues of linear algebra in practical classes in some specialties, teachers proposed to divide academic group into several international teams for joint considered problem solving and mutual verification of results.
Conclusions. Application of project approach based on the formation of international teams to solve problems in practical classes on linear algebra in English-speaking groups helps to improve students' mastering of education material. Considered approach increases interest of students and improves their performance. The use of this approach in the teaching of other mathematical disciplines gives some encouraging results.

Формулювання проблеми. При викладанні математичних дисциплін українським та іноземним студентам в англомовних групах перед викладачами Національного авіаційного університету постає проблема викладу навчального матеріалу студентам з різних країн, для яких англійська мова не є рідною. Метою даної роботи є дослідження специфіки проєктного підходу у викладанні в англомовних групах окремих розділів лінійної алгебри, зокрема і в дистанційній формі в умовах карантину.
Матеріали і методи. Дослідження ефективності різних методів викладу навчального матеріалу та організації навчального процесу під час лекцій, практичних занять, самостійної роботи студентів проводилося традиційними методами, тобто шляхом порівняння поточної та семестрової успішності різних груп, опитування викладачів та аналізом суб’єктивних оцінок студентів, отриманих за допомогою анкетування.
Результати. Викладання математичних дисциплін, зокрема лінійної алгебри, в мультинаціональних англомовних академічних групах вимагає модифікації стандартних методик та підходів. Було впроваджено елементи проєктного підходу. Зокрема при викладанні на практичних заняттях окремих питань лінійної алгебри на деяких спеціальностях здійснювався поділ академічної групи на декілька інтернаціональних команд для спільного розв’язування задач і взаємної перевірки засвоєння матеріалу.
Висновки. Застосування проєктного підходу на основі формування інтернаціональних команд для розв’язування задач  на практичних заняттях з лінійної алгебри в англомовних груп сприяє покращенню засвоєння навчального матеріалу студентами. Розглянутий підхід дав підвищення зацікавленості студентів і покращення їх успішності. Певні обнадійливі результати дає використання цього підходу і при викладанні інших математичних дисциплін.
Планується продовження досліджень при викладанні математичних дисциплін англійською в мультинаціональних академічних групах студентам інших спеціальностей.

Формулювання проблеми. Задача класифікації математичних структур (об’єктів) за деякою властивістю або ознакою є однією з класичних проблем у математиці. Класифікацію структур здійснюють зазвичай з урахуванням деяких спеціальних властивостей заданих структур. Вказати в точності клас з певною ознакою, до якого відноситься досліджуваний об’єкт, і означає – класифікувати даний об’єкт. Ідея, що покладена в основу задачі класифікації, якнайкраще розкривається на прикладі конкретних математичних об’єктів, у даному випадку алгебраїчних систем з двома операціями – так званих допельнапівгруп, які є природнім узагальненням відомого поняття напівгрупи.
Методи. Для проведення даного дослідження було застосовано в комплексі наступні методи: аналіз наукової літератури, систематизація та узагальнення різних поглядів при вивченні напівгруп та допельнапівгруп, а також загально алгебраїчні методи із використанням основних методів теорії напівгруп.
Результати. Напівгрупою називається непорожня множина із заданою на нiй бінарною асоціативною операцією. Під допельнапівгрупою, яка розширює поняття напівгрупи, розуміють непорожню множину D з двома бінарними асоціативними операціями ...., для яких виконуються такі дві умови: .... Найпростішими нетривіальними об’єктами дослідження у класі допельнапівгруп є структури, що складаються з двох елементів, тому увагу акцентовано на задачі класифікації саме двоелементних допельнапівгруп. У якості властивості, за якою здійснюється класифікація допельнапівгруп, обрано абстрактну властивість ізоморфності. Показано, що існує всього сім попарно неізоморфних двоелементних допельнапівгруп.
Висновки. Розкрито сутність задачі класифікації на прикладі двоелементних допельнапівгруп. Відкритими в цьому напрямі досліджень залишаються задачі класифікації допельнапівгруп вищих порядків з точністю до ізоморфізму.

Problem formulation. The problem of mathematical structures (objects) classifying by some property or feature is one of the classic problems in mathematics. Classification of mathematical structures is usually carried out taking into account some special properties of given structures. Specify the class with a specific feature to which the object belongs, means to classify this object. The idea of the classification problem is best revealed by the example of specific mathematical objects, in this case algebraic systems with two operations – the so-called doppelsemigroups, which are a natural generalization of the known concept of a semigroup.
Methods. The following methods were used to conduct this study: analysis of the scientific literature, systematization and generalization of different views in the study of semigroups and doppelsemigroups, as well as general algebraic methods using the basic methods of semigroup theory.
Results. A semigroup is a nonempty set with a given binary associative operation. Summarizing this concept, we obtain the concept of a doppelsemigroup. A doppelsemigroup is a nonempty set D  with two binary associative operations ≺ and ≻, if the following two conditions are satisfied: ... . The simplest non-trivial objects of study in the class of doppelsemigroups are structures consisting of two elements, so the focus is on the problem of classification of two-element doppelsemigroups. The abstract property of an isomorphism is chosen as the property by which the doppelsemigroups are classified. It is shown that there are only seven pairwise non-isomorphic two-element doppelsemigroups.
Conclusions. The essence of the classification problem on the example of two-element doppelsemigroups is revealed. The problems of classification of doppelsemigroups of higher orders up to an isomorphism remain open in this direction of research.

Формулювання проблеми. В умовах ситуації, що складалася на Сході України, актуальною стає проблема організації та ефективного впровадження дистанційного навчання, зокрема математичним дисциплінам студентів закладів вищої освіти. Особливо гостро ця проблема постала перед ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка», який починаючи з 2014 року, через об’єктивні обставини було евакуйовано до м. Старобільськ і який був змушений повністю перейти на дистанційну форму навчання.
Методи дослідження. Основою дослідження стали наукові розвідки вітчизняних і закордонних учених, які займаються вивченням питань впровадження дистанційного навчання. Для досягнення мети були використані методи теоретичного рівня наукового пізнання: аналіз та узагальнення власного педагогічного досвіду та педагогічного досвіду провідних учителів та методистів України.
Результати. В статті розглянуто узагальнення набутого педагогічного досвіду у процесі створення дистанційних курсів з математичних дисциплін та особливостей їх впровадження кафедрою алгебри та системного аналізу в ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка». Зокрема, крім виявлених переваг та недоліків такої форми навчання, представлено: форми комунікації викладачів та студентів, особливості організації навчального процесу студентів спеціальності «Середня освіта (Математика)» за допомогою освітнього проталу ЛНУ імені Тараса Шевченка. Увагу акцентовано на елементах дистанційного курсу з дисципліни «Алгебра та теорія чисел», що створено на платформі Moodle, із зазначенням особливостей структурування теоретичного матеріалу, підбору завдань та зворотного зв’язку. Курс «Алгебра та теорія чисел» було розроблено з урахуванням вимог до дистанційних курсів. Він містить інформацію про викладачів цього курсу; графік навчального процесу; навчальну програму дисципліни; конспект лекцій із посиланнями для завантаження; наочні навчальні відеоматеріали до певних питань лекцій; приклади розв’язування задач; задачі для самостійного виконання; тренувальні тестові завдання; підсумкові тестові завдання; рекомендовану літературу з посиланнями для завантаження; модулі для он-лайн консультацій, форуми і чати. Для підвищення мотивації навчальної діяльності студентів, що вивчають дисципліну «Алгебра та теорія чисел», при створенні дистанційного курсу викладачами кафедри було розроблено спеціальний навчальний матеріал: базові завдання, нестандартні задачі, історичні факти тощо.
Висновки. Дистанційне навчання відкриває студентам доступ до нетрадиційних джерел інформації, підвищує ефективність самостійної роботи, дає нові можливості для творчості, закріплення різних професійних навичок, а викладачам дозволяє реалізовувати принципово нові форми і методи навчання.

Introduction. In the current situation in eastern Ukraine, the problem of organization and effective implementation of distance learning, in particular the mathematics disciplines for students of higher education, is in the focus. This problem was especially acute for Taras Shevchenko Luhansk National University, which was evacuated to Starobilsk due to objective circumstances in 2014 and was forced to switch to distance learning.
Research methods. The study was based on scientific research of national and foreign scientists studying the implementation of distance learning. To achieve this goal, the methods of the theoretical level of scientific knowledge were used: analysis and generalization of own pedagogical experience and pedagogical experience of leading Ukrainian teachers and methodologists.
Results. There are consider the generalization of the acquired pedagogical experience in the process of creating distance learning mathematical curricular  and the peculiarities of their implementation by the Department of Algebra and Systems Analysis of the State University "Luhansk Taras Shevchenko National University" in this article. In particular, it’s identified advantages and disadvantages of this education’s form, the following are presented: forms of communication between lectors and students, features of the educational process of students majoring in "Secondary Education (Mathematics)" with the help of Taras Shevchenko LNU. Emphasis is placed on the elements of the distance learning course in the discipline "Algebra and Number Theory", created on the Moodle platform, indicating the features of the structuring of theoretical material, task selection and feedback. The curriculum "Algebra and Number Theory" was developed corresponding into account the requirements for distance learning courses. It contains information about the teachers of this course; schedule of educational process; curriculum of the discipline; lecture notes with download links; visual educational videos on certain issues of lectures; examples of problem solving; tasks for independent performance; training test tasks; final test tasks; recommended literature with download links; modules for online consultations, forums and chats. To increase the motivation of students studying the "Algebra and Number Theory", when creating a distance course, lectures of the department developed a special educational material: basic tasks, non-standard problems, historical facts and more.
Conclusions. Distance learning opens student’s access to non-traditional sources of information, increases the efficiency of independent work, provides new opportunities for creativity, consolidation of various professional skills, and allows lectures to implement fundamentally new forms and methods of teaching.

Формулювання проблеми. Уміння розв’язувати задачі методом оцінки є умовою успішного складання ЗНО з математики учнями ЗЗСО. Опанування цим методом здійснюється послідовно в процесі вивчення шкільного курсу математики, що сприяє забезпеченню наступності навчання математики. Зокрема, в учнів має сформуватись вміння знаходити області визначення та значень функцій, ОДЗ рівнянь, а також оцінювати значення виразів, користуючись властивостями числових нерівностей. Аналіз сучасних підручників та програм показав, що методу оцінки достатньої уваги не приділяється. Тому вчителі, керуючись власним досвідом, вивчаючи методичну літературу та щорічно аналізуючи задачі ЗНО, мають пропонувати подібні задачі учням старших класів.
Матеріали і методи. В дослідженні використовувались теоретичні методи: аналіз навчальних програм з математики, задач сертифікаційних робіт ЗНО попередніх років, змісту сучасних шкільних підручників із алгебри; узагальнення власного та передового педагогічного досвіду; емпіричні методи: педагогічні спостереження на уроках математики та заняттях курсів підготовки до ЗНО; методи наукового пізнання: систематизація та узагальнення для формулювання методичних рекомендацій та висновків.
Результати. Автором були розглянуті теоретичні основи використання методу оцінки при розв’язуванні рівнянь та їх систем. Наведені орієнтовні алгоритми даного методу. Проаналізовані основні знання зі шкільного курсу математики, які необхідні учням для успішного опанування методом оцінки. Запропоновано деякі пропедевтичні вправи із зазначенням знань та вмінь, які необхідні учням для їх виконання. Наведено задачі із сучасних підручників алгебри, а також приклади задач із сертифікаційний робіт зовнішнього незалежного оцінювання з математики, які розв’язуються методом оцінки, зокрема задачі з параметром.
Висновки. Запропонований в статті теоретичний матеріал, сформульовані орієнтовні алгоритми використання методу оцінки, а також наведені різнопланові приклади його застосовування будуть корисними учням та вчителям у процесі підготовки до складання зовнішнього незалежного оцінювання з математики.

Formulation of the problem. The mastering assessment method is carried out consistently in the process of learning the school course of mathematics. In particular, pupils should develop the ability to find areas of definition and values of functions, areas of the definition of equations, as well as evaluate the values of expressions, using the properties of numerical inequalities. Analysis of modern textbooks and programs has shown that the assessment method is not given enough attention. Therefore, teachers, guided by their own experience and annually analyzing the tasks of external evaluation, should offer similar tasks to senior pupils.
Materials and methods. In the research we used theoretical methods: analysis of mathematics curricula, problems of certification works of external evaluation of previous years, the content of modern school textbooks on algebra; generalization of own and advanced pedagogical experience; empirical methods: pedagogical observations in mathematics lessons and external preparation courses; methods of scientific cognition: systematization and generalization for the formulation of methodological recommendations and conclusions.
Results. We consider the theoretical basis of using the assessment method in solving equations and their systems. The algorithms of this method are given. The basic knowledge from the school course of mathematics, which is necessary for students to successfully master the method of assessment, is analyzed. Some propaedeutic exercises are offered, indicating the knowledge and skills that students need to perform them. Problems from modern textbooks of algebra are given, as well as examples of problems from certification works of external independent assessment in mathematics, which are solved by the method of assessment, in particular problems with a parameter.
Conclusions. The theoretical material proposed in the article formulated algorithms for using the assessment method, as well as various examples of its application will be useful to students and teachers in the process of preparation for external independent assessment in mathematics.

Стаття присвячена проблемі організації превентивної діяльності вчителя по упередженню та недопущенню помилок на уроках математики під час розв’язування задач. Розглянуто шляхи уникнення та упередження математичних помилок учнів, з’ясування причин їх появи та обрання необхідних методів щодо недопущення їх у майбутньому.
Формулювання проблеми. Для успішної участі у сучасному суспільному житті особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв’язання практичних задач. Певної математичної підготовки і готовності її застосовувати вимагає і вивчення багатьох навчальних предметів закладів середньої освіти. Значні вимоги до володіння математикою у розв’язанні практичних задач ставлять сучасний ринок праці, отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступних етапах.
Досягти поставленої мети під час вивчення математики у школі можна за рахунок вдосконалення змісту, методів, прийомів, організаційних форм та засобів навчання. Однією з головних умов якісного навчання є упередження та уникнення помилок під час розв’язання математичних задач.
Матеріали і методи. У процесі дослідження були застосовані такі методи: теоретичні – аналіз, порівняння, систематизація та узагальнення навчально-методичних, науково-популярних та прикладних джерел з проблеми дослідження.
Результати. У статті уточнено зміст поняття «превентивна діяльність», визначено основні функції такої діяльності. Розглянуто основні дії та етапи щодо упередження та недопущення типових помилок учнів під час вивчення математики.
Висновки. Проведений аналiз психолого-педагогiчної лiтератури та практики навчання математики дозволив сформулювати певнi принципи превентивної діяльності, що необхiдно використовувати вчителям в процесi навчання математики задля упередження типових помилок та пiдвищення рiвня математичної пiдготовки учнiв.

Abstract. The article is devoted to the problem of organizing the preventive activities of the teacher to prevent and avoid mistakes in mathematics lessons when solving problems. Ways to avoid and prevent mathematical errors of students, to find out the reasons for their appearance and to choose the necessary methods to prevent them in the future are considered.
Problem formulation. To successfully participate in modern social life, a person must have certain techniques of mathematical activity and skills of their application to solve practical problems. Certain mathematical training and readiness to apply it requires the study of many subjects of secondary education. Significant requirements for mastering mathematics in solving practical problems are the modern labor market, obtaining quality vocational education, continuing education in the following stages.
It is possible to achieve the set goal while studying mathematics at school by improving the content, methods, techniques, organizational forms and teaching aids. One of the main conditions for quality learning is to prevent and avoid mistakes when solving mathematical problems.
Materials and methods. The following methods were used in the research process: theoretical - analysis, comparison, systematization and generalization of educational and methodical, popular science and applied sources on the research problem.
Results. The article clarifies the meaning of the concept of "preventive activities", defines the main functions of such activities. The main actions and stages of prevention and prevention of typical mistakes of students during the study of mathematics are considered.
Conclusions. The analysis of psychological and pedagogical literature and practice of teaching mathematics allowed to formulate certain principles of preventive activities that teachers need to use in the process of teaching mathematics to prevent common mistakes and increase the level of mathematical training of students.