Formulation of the problem. For more than a decade of active use, external independent assessment of academic achievement (EIA) from an experimental alternative to final and entrance exams has become one of the key national types of assessment, which performs both the functions of state final attestation for secondary school and the main tool for competitive selection to the country's universities. Thus, in modern conditions, the relevance of research on ways to improve the methodology of preparation for external assessment in mathematics is undeniable.
Results. Since 2008, when the EIA in mathematics became the only possible form of entrance examination, it was extremely important for applicants not only to systematize knowledge of the school course of mathematics, but also to study the features of the form of representation of the test item. In particular, students were unfamiliar with the specifics of solving problems with alternatives, which were a significant part of the first tests of external assessment and were checked without human influence. In the first years of the introduction of EIA in mathematics, solving a large number of such problems allowed students to stop being afraid of them. But over time, as students in the school process began to constantly encounter these tasks, the negative side of excessive enthusiasm for them began to appear itself more and more. Nowadays, when solving a problem with alternatives, the students often tries not to reason, not to apply their knowledge, but are focused solely on getting the right answer. Thus, in the process of overemphasizing students' attention to the peculiarities of the forms of test tasks, the real aims of the process of preparation for testing in mathematics were replaced by erroneous ones. Indeed, instead of repeating and organizing the knowledge acquired by students during their studying in the school, the process of preparation for the external assessment began to reduce to teaching this student various methods of obtaining the correct answer. We suppose that such an approach to preparing for the EIA in mathematics is fundamentally wrong and offer readers 7 advices that will help to achieve the true goal of this type of assessment – to identify students' general and professional competencies, manifested through mathematical knowledge and ability to apply them in practice.
Conclusions. We express all the methodical advices given in the work from the point of view of the author's experience and cannot claim universality, but we consider it expedient to share our own achievements in this field and we will be glad when the described approaches agree with readers in their professional activity. We have implemented all these tips during the writing of a new manual for preparation to the external assessment in mathematics. We also sincerely hope that this manual will help students, independently or with the help of a teacher, to carry out a proper systematic repetition of the material of the school course of mathematics.

Формулювання проблеми. За більш ніж десятиліття активного використання зовнішнє незалежне оцінювання навчальних досягнень (ЗНО) з експериментальної альтернативи випускним та вступним іспитам перетворилося на один із ключових загальнодержавних видів оцінювання, який виконує як функції державної підсумкової атестації за курс загальноосвітньої школи, так і функції основного інструменту для проведення конкурсного відбору до університетів країни. Отже, в сучасних умовах актуальність досліджень щодо способів удосконалення методики підготовки до ЗНО з математики є незаперечною.
Результати. Починаючи з 2008 року, коли ЗНО з математики стало єдино можливою форми вступного випробування, надзвичайно важливою для абітурієнтів була не лише систематизація знань зі шкільного курсу математики, а й вивчення особливостей форми подання тестового завдання. Особливо учні були мало знайомі зі специфікою розв’язування завдань із альтернативами, які складали значну частину перших тестів ЗНО і перевірялися без участі людини. У перші роки впровадження ЗНО з математики розв’язування великої кількості таких завдань дозволяло учням перестати їх боятися. Але з часом, коли учні в процесі навчання в школі почали постійно зустрічатися з цими завданнями, негативний бік надмірного захоплення ними почав проявлятися все більше. Зараз при розв’язуванні завдання з альтернативами учень досить часто намагається не проводити міркування, не застосовувати свої знання, а орієнтований виключно на отримання правильної відповіді. Таким чином, у процесі надмірного акцентування уваги учнів на особливостях форм тестових завдань відбулася підміна мети процесу підготовки до тестування з математики – замість повторення та впорядкування набутих учнем під час навчання в школі знань процес підготовки до ЗНО почав зводитись до навчання цього учня різноманітним прийомам отримання правильної відповіді. Ми вважаємо, що подібний підхід до підготовки до ЗНО з математики є принципово хибним і пропонуємо увазі читачів 7 методичних порад, які сприятимуть досягненню справжньої мети цього виду оцінювання – виявленню в учнів сформованих загальних і фахових компетентностей, що проявляються через математичні знання та вміння застосовувати їх на практиці.
Висновки. Усі наведені в роботі методичні поради висловлені з позицій авторського досвіду і не можуть претендувати на універсальність, але ми вважаємо доцільним поділитися власними здобутками в цій сфері й будемо раді, коли описані підходи згодяться читачам у професійній діяльності. Усі перелічені поради реалізовано нами під час написання нового посібника з підготовки до ЗНО з математики. Ми щиро сподіваємось, що цей посібник допоможе учням самостійно чи з допомогою вчителя здійснити належне систематичне повторення матеріалу шкільного курсу математики.

Формулювання проблеми. Кожна наука і кожний навчальний предмет оперує певним колом властивих їм понять. Модель вивчення понять впливає на формування знань студентів і рівень їх засвоєння. Вища математика традиційно вважається одним з найважчих предметів у технічних університетах. Зважаючи на сучасні тенденції в інформаційному суспільстві, однією із важливих компонентів успішної професійної діяльності майбутнього інженера є алгоритмічна діяльність. Тому на сьогодні актуальним є формування математичних знань і вмінь на основі алгоритмізації.
Матеріали і методи дослідження. Методами дослідження виступили спостереження, аналіз та систематизація накопиченої інформації про доцільність використання алгоритмізації при формуванні понять вищої математики. Також задіяно емпіричний аналіз та метод моделювання для розробки алгоритмів у практиці навчання математики.
Результати. Подано основні підходи до алгоритмізації процесу навчання. Здійснено класифікацію алгоритмів залежно від виду навчальної діяльності та диференційованого підходу в навчанні. Обґрунтовано доцільність використання алгоритмічного підходу в теорії та практиці навчання математики.
Висновки. Використання алгоритмів та алгоритмічного підходу в навчанні математики сприяє свідомому сприйняттю математичного матеріалу, забезпечує лаконічність, точність і впорядкованість розумових операцій та позитивно впливає на якість засвоєних інформатико-математичних знань.

Problem formulation. Every science and every subject operates with a certain range of concepts inherent in them. The model of studying concepts influences the formation of students’ knowledge and the level of their mastering. Higher mathematics is traditionally considered one of the most difficult subjects in technical universities. Taking into account the current trends in the information society, one of the important components of the successful professional activity of the future engineer is algorithmic activity. Therefore, the formation of mathematical knowledge and skills based on algorithmization is relevant today.

Materials and methods of research. The research techniques were observation, analysis, and systematization of the accumulated information about the expediency of using algorithmization in the formation of higher mathematics concepts. Empirical analysis and simulation methods for the development of algorithms in the practice of teaching mathematics are also involved.
Results. The main approaches to the algorithmization of the learning process are presented. The classification of algorithms depending on the type of educational activity and a differentiated approach to learning is carried out. The expediency of using the algorithmic approach in the theory and practice of teaching mathematics is substantiated.
Conclusions. The use of algorithms and algorithmic approach in teaching mathematics contributes to the conscious perception of mathematical material, provides conciseness, accuracy, the orderliness of mental operations, and has a positive effect on the quality of acquired knowledge of computer science and mathematics.

Formulation of the problem. Famous social thinkers of our times are speaking about a forthcoming new industrial revolution that will be characterized by the development of an advanced Internet of things and energy, and by the cyber-physical systems controlled through it. There is no doubt that our students should take full advantage of the potential that the new digital technologies can bring for improving their learning skills.
Materials and methods. This treatise has a review character. The methods of analysis used are based on already reported researches.
Results. The article focuses on the role that the artificial teaching and learning of mathematics could play for education in the forthcoming era of the new industrial revolution Starting with a brief review of the traditional learning theories and methods of teaching mathematics, the article continues by studying the use of computers and of applications of artificial intelligence in mathematics education.
Conclusions. The advantages and disadvantages of artificial with respect to traditional learning are discussed as well as the perspectives for future research on the subject.

Постановка проблеми. Відомі мислителі нашого часу говорять про майбутню нову індустріальну революцію, яка характеризуватиметься розвиненим Інтернетом речей і енергії та керованими через неї кібер-фізичними системами. Немає сумнівів, що наші студенти повинні вміти використовувати потенціал, який нові цифрові технології можуть принести для вдосконалення їх навичок.
Матеріали та методи. Дана стаття має оглядовий характер. Використовуються методи аналізу існуючих досліджень з даної проблематики.
Результати. У статті приділяється увага ролі машинного навчання та вивчення математики для освіти в майбутній епосі нової промислової революції. Наведено короткий огляд традиційних теорій та методів навчання математики. Досліджено можливості використання комп'ютерів та додатків штучного інтелекту в навчанні математики.
Висновки. У статті обговорюються переваги та недоліки машинного відносно традиційного навчання, а також перспективи подальших досліджень з цього питання.

Формулювання проблеми. В статті досліджується проблема методики формування в старшокласників умінь розв’язувати та досліджувати математичні задачі інтегративного змісту, що є важливим компонентом набуття математичної компетентності старшокласниками.
Матеріали і методи. В ході експериментального дослідження використовувалися аналіз психолого-педагогічної літератури з проблеми дослідження, педагогічне спостереження за навчально-пізнавальною діяльністю учнів, бесіди з викладачами математики, а також математичні методи статистичної обробки експериментальних даних, за допомогою яких визначалися кількісні та якісні залежності між показниками дослідження. До експертного оцінювання результатів експерименту було залучено 24 особи, які є кваліфікованими фахівцями у цій сфері.
Результати. Зміст дослідження полягав у використанні моделювання засобами інформаційно-комунікаційних технологій (мобільного варіанту графічного калькулятора Desmos) задачної ситуації математичних задач інтегративного змісту економічної тематики. За переконанням експертів така методика роботи з задачами значно підвищила рівень мотивації до навчання старшокласників та викликала зацікавлення у студентів освітньої програми Математика, інформатика та економіка спеціальності 014 Середня освіта (Математика). За результатами проведеного дослідження автори сформулювали методичні умови реалізації інтегративного підходу при формуванні умінь розв’язувати математичні задачі, котрі містили в собі, по-перше, тезу про важливість використання ІКТ для моделювання та дослідження задачних ситуацій в задачах інтегративного змісту, по-друге, висновок щодо залежності обсягу реалізації інтегративного підходу від мети організації навчальної діяльності учнів, по-третє, опис алгоритму реалізації інтегративного підходу при формуванні умінь розв’язувати математичні задачі, який включає процеси узагальнення та систематизації компонентів інтегрованого матеріалу.
Висновки. Проведене дослідження дає підстави підтвердити доцільність запропонованої методики у процесі формування у старшокласників узагальнених умінь розв’язування математичних задач інтегративного змісту та при побудові моделі навчального процесу з реалізацією поліпредметних інтегративних компонентів. Продовження цього дослідження автори вбачають у розробці системи задач інтегративного змісту для використання як при вивченні математики учнями старших класів, так і для навчання майбутніх вчителів математики в системі їхньої підготовки в педагогічних університетах.

The formulation of the problem. The article explores the problem of the method of forming of high-school students the ability to solve and explore mathematical problems of integrative content that is an important component of the acquisition of mathematical competence of high school students. 
Materials and methods. In the course of the experimental study, the analysis of psychological and pedagogical literature, pedagogical observation of the educational and cognitive activity of the students, conversations with the teachers of Mathematics, as well as mathematical methods of statistical processing of experimental data were used, by which quantitative and qualitative dependencies between the indicators were determined. The expert evaluation of the results of the experiment involved 24 qualified specialists in this field. 
Results. The content of the study was to use modeling through Information and Communication Technologies (the mobile version of the Desmos graphing calculator) of a given situation of mathematical problems of integrative content of economic topics. According to the experts, this method of working with the tasks significantly increased the level of educational motivation of high school students and aroused interest in students of the educational program Mathematics, Informatics and Economics specialty 014 Secondary education (Mathematics). According to the results of the research, the authors formulated the methodological conditions for the implementation of an integrative approach in the formation of skills to solve mathematical problems, that included, firstly, a thesis about the importance of using ICT to model and study situations in the problems of integrative content, secondly, the conclusion about the dependence of the implementation of the integrative approach to organize students' learning activities, thirdly, a description of the algorithm for implementing an integrative approach in the formation of skills to solve mathematical problems, which includes the processes of generalization and systematization of components of the integrated material. 
Conclusions. The study provides a basis to confirm the feasibility of the suggested method in the process shaping of skills for solving mathematical problems of integrative content in high school students and in building a model of the educational process with the implementation of multi-subject integrative components. The authors see the continuation of this study in the development of a system of tasks of integrative content for using both in the study of Mathematics by high school students and for the preparation of the future teachers of Mathematics in the system of their training in pedagogical universities. 

У роботі представлено концепцію формування понять точки, відстані між точками та прямолінійного розміщення точок, з використанням елементів метричної геометрії, у здобувачів базової середньої освіти на уроках геометрії та у позакласній роботі з математики.
Формулювання проблеми. У сучасному шкільному курсі геометрії для базової школи фактично відсутні відомості про елементи неевклідових геометрій. У діючих підручниках з геометрії, навіть з поглибленим вивченням математики, про геометрію Лобачевського згадують лише у історичному аспекті. Зрозуміло, що це пов’язано зі значним рівнем складності та формалізації основ цієї геометрії. У даній роботі пропонується певний підхід до вирішення цього питання на базі використання елементів метричної геометрії, як такої, що найтісніше пов’язана зі шкільним курсом геометрії. Цей підхід дозволяє без особливих складнощів розпочати формування основних геометричних понять  неевклідових геометрій (таких як відстань, прямолінійність) ще у сьомому класі базової школи. На наш погляд, таке формування слід проводити у класах з поглибленим вивченням математики, як на уроках геометрії, так і на заняттях гуртків та факультативів з математики. Відповідний матеріал може бути предметом учнівських досліджень та творчих робіт з геометрії.
Матеріали і методи. Основні результати роботи отримані з використанням методів метричної геометрії. При формуванні поняття прямолінійності використано поняття прямолінійного розміщення точок, розглянуте В.Ф. Каганом. Результати роботи були апробовані при читанні відповідного спецкурсу для здобувачів освітнього рівня «Магістр», за спеціальністю «014 Середня освіта (Математика)», у Херсонському державному університеті. 
Результати. У роботі отримані конкретні приклади використання елементів неевклідових геометрій на уроках геометрії у базовій школі. Наведені відповідні формулювання понять відстані та прямолінійного розміщення точок, які демонструють неоднозначність їхнього інтуїтивного сприйняття. Вказані конкретні теми з геометрії, при вивченні яких ці формулювання та приклади можна використовувати, з метою формування поняття точки, відстані між точками, прямолінійності розміщення точок.   
Висновки. З результатів роботи випливає висновок про те, що формування основних понять неевклідових геометрій можна розпочати з сьомого класу базової школи, використовуючи при цьому елементи метричної геометрії. Це дасть можливість у старших класах, на цій же основі, сформувати поняття плоского розміщення точок. Таким підходом може бути вирішене питання адекватного сприйняття учнями основних положень неевклідових геометрій.

Abstract. The paper presents the concept of forming the concepts of point, the distance between points and rectilinear placement of points, using elements of metric geometry, in middle school pupils in geometry lessons and extracurricular work in mathematics.
Formulation of the problem. In the modern school course of geometry for middle school, there is virtually no information about the elements of non-Euclidean geometries. In current textbooks on geometry, even with an in-depth study of mathematics, Lobachevsky's geometry is mentioned only in the historical aspect. This is due to the significant level of complexity and formalization of the basics of this geometry. This paper proposes a certain approach to solving this problem based on the use of elements of metric geometry, as one that is most closely related to the school course of geometry. This approach allows without much difficulty to begin the formation of basic geometric concepts of non-Euclidean geometries (such as point, distance, straightness) in the seventh grade of middle school. In our opinion, such formation should be carried out in classes with an in-depth study of mathematics, both in geometry lessons and in classes and electives in mathematics. Relevant material can be the subject of student research and creative work in geometry.
Materials and methods. The main results of the work are obtained using the methods of metric geometry. While forming the concept of straightness authors used the concept of rectilinear placement of points, considered by V.F. Kagan. The results of the work were tested during the reading of the relevant special course for students of the educational level "Master", specialty "014 Secondary Education (Mathematics)", at Kherson State University.
Results. The paper provides specific examples of the use of elements of non-Euclidean geometries in geometry lessons in middle school. Appropriate formulations of the concepts of point, distance, and rectilinear placement of points are given, which demonstrate the ambiguity of their intuitive perception. Specific topics in geometry are indicated, in the study of which these formulations and examples can be used to form a concept of a point, the distance between points, the straightness of the location of points.
Conclusions. From the results of the work, it follows that the formation of the basic concepts of non-Euclidean geometries can be started from the seventh grade of middle school, using elements of metric geometry. This will allow in the senior classes of junior high school, on the same basis, to form a concept of flat placement of points. This approach can solve the problem of adequate pupils' perception of the basic provisions of non-Euclidean geometries.