У статті викладено досвід використання вільних математичних систем при навчанні студентів першого курсу вищої математики та загальної фізики у закладі вищої освіти.
Формулювання проблеми. Розуміння студентами вищої математики та фізики вважається основною проблемою у закладах вищої освіти. Візуалізація розв’язків задач вищої математики та загальної фізики допомагає зрозуміти, усвідомити та засвоїти більшість тем з даних дисциплін. Потужним помічником у цьому мають стати системи комп’ютерної математики. Актуальною проблемою в сучасних реаліях є використання навчальними закладами ліцензійного програмного забезпечення. Альтернативою є вільні операційні системи та вільні програмні продукти для побудови графіків та аналізу даних при навчанні вищої математики та фізики.
Матеріали і методи. Матеріалом дослідження є процес розв’язування завдань на дослідження функцій, знаходженні площі фігури, яка обмежена графіком функції та віссю абсцис на певному інтервалі, побудові графіку функції заданої неявно використовуючи програму KmPlot. Для інтерполяції даних, які задані у вигляді таблиці, використовувалася програма LabPlot. Методи спостереження, аналізу та систематизації використовувалися для отримання інформації про доцільність використання KmPlot та LabPlot при навчанні вищої математики та фізики.
Результати. В статті описано переваги вільної ОС Manjaro; доцільність використання KmPlot під час вивчення деяких тем «Вищої математики» та визначення траєкторії тіла, яке кинуте під кутом до горизонту в механіці; можливості використання LabPlot при визначенні коефіцієнту динамічної вʼязкості рідини.
Висновки. Узагальнюючи результати дослідження можна стверджувати, що використання програм KmPlot і LabPlot у вивченні фізико-математичних дисциплін дозволяє покращити їх сприйняття та розуміння, оптимізує освітній процес та вирішує проблему використання ліцензійного програмного забезпечення.

Abstract. The article presents the experience of using free mathematical systems in teaching first-year students of higher mathematics and general physics in higher education.
Formulation of the problem. Students' understanding of higher mathematics and physics is considered a major problem in higher education institutions. Visualizing solutions to problems in higher mathematics and general physics helps to understand, comprehend, and master most of the topics in these disciplines. Computer mathematics systems should be a powerful helper in this. An urgent problem in modern realities is the use of licensed software by educational institutions. Alternatives are free operating systems and free software products for plotting and analyzing data in higher mathematics and physics.
Materials and methods. The material of the research is the process of solving problems on the study of functions, finding the area of ​​the figure, which is limited by the graph of the function and the abscissa axis at a certain interval, plotting the function given implicitly using the program KmPlot. LabPlot was used to interpolate the data as a table. Methods of observation, analysis, and systematization were used to obtain information about the feasibility of using KmPlot and LabPlot in teaching higher mathematics and physics.
Results. The article describes the advantages of the free Manjaro OS; the expediency of using KmPlot when studying some topics of "Higher Mathematics" and determining the trajectory of a body thrown at an angle to the horizon in mechanics; the possibility of using LabPlot in determining the coefficient of dynamic viscosity of the liquid.
Conclusions. Summarizing the results of the study, it can be argued that the use of KmPlot and LabPlot in the study of physical and mathematical disciplines can improve their perception and understanding, optimize the educational process and solve the problem of using licensed software.

Formulation of the problem. At present, the focus on competence is an important part of discussions about mathematics lessons. In such discussions, particular attention is given to basic mathematical education. In this article, we substantiate the importance of mathematical competence in mathematical work and introduce mathematical work as a modeling cycle. The focus is on the processes of transforming reality into mathematics. In particular, transformational processes contribute to a better mathematical understanding of students and thus contribute to improving the quality of teaching of mathematics.
Materials and methods. In order to achieve our goals, we use in this article an empirical methods and general methods of scientific cognition: benchmarking to clarify different views on a problem and determining the direction of research, systematization and generalization to formulate conclusions and recommendations, summarize the author's pedagogical experience and observations.
Results. In Chapter 1.2, we describe the process of mathematical work at different stages, using the example of a typical problem. The above example is intended to clearly disclose the processes of thinking and work according to the theoretical model proposed in Chapter 1.1. It should also not be assumed that in a general situation, mathematical work can be comprehensively described by the example that we are studying. However, a competency-oriented teaching methodology is used to help students develop new strategies and heuristics to work with mathematics as a science. In order for students to develop their mathematical competence, mental models are called, which we call fundamental ideas. The construction of such cognitive structures is called the formation of fundamental ideas. This process is characterized by fixing the meaning of the new terms in terms of known factual connections, constructing mental objects that describe the term, and applying this objects to new contexts. Training involves both extending and changing existing foundational ideas as well as building new ideas. Accordingly, in Chapter 2.1 we use an example of probability to illustrate how various aspects of probability can be understood in terms of such a fundamental concept and how the development of fundamental ideas can occur. Significant in this article is a new approach that focuses on competence with a modeling cycle and a basic conception of foundational ideas.
Conclusions. The approach developed emphasizes the importance of considering mathematical work as a process and linking the individual levels of foundational ideas to a basic concept. The use of the proposed structure enables teachers to more effectively identify, interpret, and appropriately remove misunderstood students' basic mathematical ideas.

Формулювання проблеми. Наразі орієнтація на компетентність є важливою частиною дискусій про уроки математики. У таких дискусіях особливо важлива увага приділяється базовій математичній освіті. У цій статті ми обґрунтовуємо важливість математичної компетентності щодо математичної роботи та впроваджуємо математичну роботу як цикл моделювання. Основна увага приділяється процесам трансформації реальності у математику. Зокрема, трансформаційні процеси сприяють кращому математичному розумінню учнів і тим самим сприяють покращенню якості викладання математики.
Матеріали і методи. Для досягнення наших цілей ми застосовуємо в цій статті емпіричні методи і загальні методи наукового пізнання: порівняльний аналіз для з’ясування різних поглядів на проблему та визначення напрямку дослідження, систематизація та узагальнення для формулювання висновків та рекомендацій, узагальнення авторського педагогічного досвіду та спостережень.
Результати. У главі 1.2 ми описуємо процес математичної роботи на різних етапах, використовуючи приклад типового завдання. Наведений приклад покликаний чітко розкрити процеси мислення та роботи відповідно до теоретичної моделі запропонованної у главі 1.1. Не слід також думати, що у загальній ситуації математична робота може бути вичерпно описана прикладом, який ми вивчаємо. Однак компетентнісно-орієнтована методика навчання застосовується для того, щоб студенти розробили нові стратегії та евристику для роботи з математикою як наукою. Для того, щоб учні розвивали свою математичну компетентність, потрібні ментальні моделі, які ми називаємо основоположними ідеями. Побудова таких пізнавальних структур називається формуванням основоположних ідей. Цей процес характеризується фіксацією значення нових термінів з точки зору відомих фактичних зв’язків, побудовою ментальних об'єктів, що описують цей термін, та застосуванням їх у нових контекстах. Навчання включає як розширення, так і зміну існуючих основоположних ідей, а також побудову нових ідей. Відповідно, глава 2.1 використовує приклад ймовірності, щоб проілюструвати, як різні аспекти ймовірності можна зрозуміти з точки зору такого фундаментального поняття і у який спосіб може відбуватися розбудова основоположних ідей. Суттєвим у цій статті є новий підхід, що орієнтується на компетентності з циклом моделювання та базовою концепцією основоположних ідей.
Висновки. У розробленому підході вказується на важливість розглядати математичну роботу як процес і створювати зв’язок між окремими рівнями основоположних ідей у базовій концепції. Використання запропонованної структури дає можливість вчителям більш функціональніше розпізнавати, інтерпретувати та відповідно вилучати з розгляду невірно осмислені основоположні математичні ідеї учнів.

Formulation of the problem. In modern conditions, the relevance of research on thematic preparation for the IEA in mathematics is undeniable. External Independent Assessment is now the main instrument of evaluation of the quality of mathematical training for Ukrainian senior school students. In particular, it is used for conducting the State Final Attestation  of academic achievements of graduates, as well as as a tool for competitive selection of applicants to Ukrainian high education institutions. Thus, we have no doubt about the importance and the need for research on various aspects of preparation for the EIA in mathematics. One such aspect is the thematic repetition of the school mathematics course.
Materials and methods. To achieve this goal we apply some empirical methods: observation of the training process of the students during their studying on training courses for the EIA in mathematics and analysis of the results of their achievements. The research also used a set of methods of scientific cognition: a comparative analysis to find out different views on the problem and determine the direction of research; systematization and generalization for the formulation of conclusions and recommendations; generalization of author’s pedagogical experience and observations.
Results. Based on the author's experience of systematization and repetition of the school mathematics course in preparation for IEA, we propose to divide the entire mathematics course into 10 logical content blocks. In this article, we provide thematic tests of the content blocks «Coordinates and vectors», «Elements of combinatorics and stochastics», as well as answers to them. We also solve some of the basic tasks of these tests and give some methodical comments on these solutions. The vector and coordinate methods very often make much easier the process of geometric problems solving in comparison with traditional methods. Statistical and probabilistic methods are used as a means of modeling the processes and phenomena of the real world, and therefore, their study contributes to the formation of the outlook of the child.
Conclusions. We believe that well-organized thematic training for EIA and SFA in mathematics will allow teachers to overcome the problems encountered by students in the systematization and repetition of the school mathematics course. This publication completes a series of our articles on modern thematic preparation for the EIA in mathematics. In them, we outlined our vision for the methodology of its organization, as well as shared our didactic materials and methodological tips.

Формулювання проблеми. У сучасних умовах актуальність досліджень щодо тематичної підготовки до ЗНО з математики незаперечна. Зовнішнє незалежне оцінювання зараз є головним інструментом оцінювання якості математичної підготовки для учнів старших класів України. Зокрема, воно використовується для проведення державної підсумкової атестації навчальних досягнень випускників, а також як інструмент для конкурсного відбору абітурієнтів до українських ЗВО. Таким чином, ми не сумніваємось у важливості та необхідності досліджень різних аспектів підготовки до ЗНО з математики. Одним із таких аспектів є тематичне повторення шкільного курсу математики.
Матеріали і методи. Для досягнення цієї мети ми застосовуємо кілька емпіричних методів: спостереження за навчальним процесом учнів під час їх навчання на курсах підготовки до ЗНО з математики та аналіз результатів їхніх досягнень. У дослідженні також використовувався набір методів наукового пізнання: порівняльний аналіз для з’ясування різних поглядів на проблему та визначення напрямку дослідження; систематизація та узагальнення для формулювання висновків та рекомендацій; узагальнення авторського педагогічного досвіду та спостережень.
Результати. Виходячи з авторського досвіду систематизації та повторення шкільного курсу математики під час підготовки до ЗНО, ми пропонуємо розділити весь курс математики на 10 логічних змістових блоків. У цій статті ми надаємо тематичні тести до змістових блоків «Координати та вектори», «Елементи комбінаторики та стохастики», а також відповіді на них. Ми також вирішуємо деякі основні завдання цих тестів і даємо кілька методичних коментарів щодо цих розвʼязань. Векторні та координатні методи дуже часто полегшують процес розвʼязування геометричних задач порівняно з традиційними методами. Статистичні та ймовірнісні методи використовуються як засіб моделювання процесів і явищ реального світу, а тому їх вивчення сприяє формуванню світогляду дитини.
Висновки. Ми віримо, що добре організована тематична підготовка до ЗНО та ДФА з математики дозволить вчителям подолати проблеми, з якими стикаються учні при систематизації та повторенні шкільного курсу математики. Ця публікація завершує серію наших статей про сучасну тематичну підготовку до ЗНО з математики. У них ми окреслили своє бачення методології його організації, а також поділилися нашими дидактичними матеріалами та методичними порадами.

Формулювання проблеми. Числова лінія є однією з важливих змістових ліній у курсі математики ЗСО, її розвиток  починається у 1 класі початкової школи і продовжується в курсі математики базової та старшої школи. Знання учнів про числа та уміння ними оперувати складає підґрунтя до формування математичної компетентності здобувачів загальної середньої освіти.
Матеріали і методи. У статті зроблено стислий огляд розвитку числової лінії у початковому курсі математики та у курсі математики  базової середньої школи на основі теоретичного аналізу наукових джерел, чинних навчальних програм  з математики початкової та базової середньої шкіл, підручників з математики (алгебри) для 1-8 класів. Отриману інформацію узагальнено для визначення рівня обґрунтування розширення поняття числа у підручниках. Досліджено особливості опрацювання числової лінії в початковій та базовій середній школі  у зв’язку з оновленим нормативним забезпеченням математичної освіти.
Результати. Зазначено, що розвиток змістової лінії  «Числа» в курсі математики відбувається в такій послідовності: натуральні числа, невід’ємні дробові числа, цілі числа, раціональні числа, дійсні числа, що відрізняється від шляху класичного розширення числових множин: натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, дійсні числа. З’ясовано, що  в підручниках методики введення натуральних, цілих та раціональних чисел співпадають, методики введення ірраціональних та дійсних чисел відрізняються.
Висновки. Введення нових числових множин в курсі математики базової середньої школи здійснюється на основі поняття розширення  алгебраїчних систем. На думку авторів, чинна навчальна програма з математики базової середньої школи  містить певні недоліки, необхідно ввести деякі корективи у подання змістової лінії «Числа» у програмі з математики, зокрема, дещо розвантажити числову лінію в 6-му класі, а у 8-му класі більше приділяти уваги властивостям  ірраціональних та дійсних чисел.

Formulation of the problem. The number line is one of the important content lines in the course of mathematics of general secondary education, its development begins in the first grade of elementary school and continues throughout the course of mathematics in basic and secondary school. Students' knowledge of numbers and their ability to operate is the basis for the mathematical competence of general secondary education students.
Materials and methods. The article provides a brief overview of the development of numerical lines in elementary mathematics and secondary school mathematics based on the theoretical analysis of scientific sources, current curricula for mathematics of elementary and secondary schools, mathematics textbooks for grades 5-8. The information obtained is generalized to determine the justification for expanding the notion of numbers in textbooks. The peculiarities of numerical processing in a primary and secondary schools in connection with the updated normative provision of mathematical education are investigated.
Results. It is noted that the development of the content line "Numbers" in the course of mathematics occurs in the following sequence: positive integers, integral fractional numbers, integers, rational numbers, real numbers, which is different from the path of classical expansion of numerical sets: natural numbers, integers, rational numbers, real numbers. It is found that in the textbooks the methods of entering the natural, integer and rational numbers coincide, the method of entering the irrational and real numbers is different.
Conclusions. The introduction of new number sets in the high school mathematics course is based on the notion of an extension of algebraic systems. According to the authors, the current high school math curriculum has some drawbacks, some adjustments are needed to represent the content line "Numbers" in the math program: unload the numeric line in 6th grade, and pay more attention to the properties of the irrational and real numbers in 8th grade.

Формулирование проблемы. Решение актуальной образовательной задачи формирования междисциплинарных знаний у будущих проектировщиков тормозится существующим несоответствием содержания математического образования студентов архитектурных специальностей требованиям современного архитектурного проектирования.  Это, в первую очередь,  связано с проблемой отсутствия в  программах математических дисциплин студентов-архитекторов многих разделов математики, методы которых широко используются в современной проектной практике, в частности, методов теории графов.
Материалы и методы. В работе использованы методы сбора, систематизации, классификации и обобщения информации относительно поставленной проблемы, метод сравнительного анализа разновидностей педагогических подходов, синтеза и анализа результатов собственной педагогической интегративной деятельности. 
Результаты.  Осуществлён поиск  области применения математической теории графов к решению задач архитектурно-строительного проектирования. Обоснована необходимость включения в образовательные программы математического цикла студентов архитектурных специальностей спецкурса «Методы теории графов в архитектурном проектировании»  на основе интегративных технологий и разработаны подходы к созданию тематического плана спецкурса.
Выработаны подходы к систематизации  графов путём выделения существенных классификационных признаков в контексте их применения в проектной практике. Выделены основные типы задач, связанные с использованием методов теории графов в проектной деятельности, и составлены учебные модельные задачи, наполненные практическим содержанием, по всем выявленным направлениям.
Выводы. Широкий спектр прикладной направленности математической теории графов в проектной практике указывает на необходимость пересмотра стандартов математического образования студентов архитектурных специальностей.  Такая работа связана с внедрением интегративных технологий обучения, направлена на приобретение студентами междисциплинарных знаний, что способствует усовершенствованию организации и проведения образовательного процесса.

The article raises the problem of finding the field of application of the mathematical theory of graphs to solving problems of architectural and structural design and the possibilities of including this knowledge in the educational process by introducing integrative technologies.
Formulation of the problem. The work is aimed at solving the problem of the absence of many sections of mathematics in the programs of mathematical disciplines of student architects, whose methods are widely used in modern design practice, in particular, in graph theory methods.
Materials and methods. The following methods were used in the work: collection, systematization, classification, and generalization of information regarding the problem posed a comparative analysis of different pedagogical approaches, synthesis, and analysis of the results of one's pedagogical integrative activity.
Results. The field of application of the mathematical theory of graphs to the solution of problems of architectural and construction design has been made. The necessity to include in the educational programs of the mathematical cycle of students of architectural specialties of the special course "Methods of graph theory in architectural design" based on integrative technologies and approaches to the creation of the thematic plan of the special course are developed. Approaches to the systematization of graphs have been worked out by highlighting essential classification features in the context of their application in design practice. The main types of problems associated with the use of graph theory methods in the project activity are highlighted, and training model tasks filled with practical content are compiled in all identified areas.
Conclusions. The wide range of applied orientation of mathematical graph theory in design practice indicates the need to revise the standards of mathematical education of students of architectural specialties. Such work is related to the introduction of integrative learning technologies, aimed at acquiring students with interdisciplinary knowledge, which helps to improve the organization and conduct of the educational process.