Формулювання проблеми. У статті розглянуто проблему підготовки майбутніх учителів математики, яка на сучасному етапі розвитку освіти набуває все більшої актуальності. Вчитель математики має забезпечити не тільки формування загальних математичних компетентностей, але й розвиток критичного мислення учнів, вмінь аналізувати, узагальнювати, робити логічні висновки. Тому однією з технологічних складових фахової підготовки майбутнього вчителя математики є уміння доводити теореми. Аналіз сучасних досліджень та власний досвід роботи свідчать про те, що рівень сформованості вмінь доводити математичні твердження у студентів математичних спеціальностей педагогічних університетів є недостатнім для їх майбутньої професійної діяльності. 
Результати. Одним із шляхів розв’язання даної проблеми є формування у майбутніх учителів математики вмінь узагальнювати знання. Формування умінь узагальнювати не тільки підвищує рівень узагальнюючої діяльності студентів, що позитивно впливає на весь процес навчання, але й сприяє, в силу своїх психологічних особливостей, більш глибокому засвоєнню математичних знань. Для формування та удосконалення вмінь студентів робити узагальнення потрібні не тільки роз’яснення суті цього прийому розумової діяльності, але й спеціальні вправи, які підводять до узагальнення і спрямовані на досягнення певного рівня узагальнення. Ми пропонуємо систему завдань по формуванню у студентів умінь узагальнювати при опрацюванні теорем шкільного курсу геометрії. Методистами обґрунтовано, що уміння доводити математичні твердження складаються з чотирьох основних компонентів: дія підведення об'єкта під поняття; володіння необхідними і достатніми ознаками понять, про які йдеться у висновку; дія вибору ознак понять, які відповідають даним умовам;  дія розгортання умов.Ми пропонуємо при роботі над теоремами окремо виділяти групи узагальнюючих умінь  при засвоєнні формулювання теореми і при вивченні доведення теореми. Вважаємо, що при засвоєнні змісту теореми доцільно виокремлювати наступні узагальнюючі вміння: виділення суттєвого, загального в умові теореми; «розпізнавання» умови теореми в заданих конкретних випад­ках; «конструювання» умови теореми.При роботі над доведенням теореми ми виділяємо пари індуктивних та дедуктивних узагальнюючих умінь: вміння виділяти ідею доведення, складати узагальнений план доведення; розпізнавати метод і будувати доведення теореми за вказаним методом.Відповідно до кожного узагальнюючого вміння нами розроблено систему спеціальних пізнавальних завдань, спрямованих на їх формування.
Висновки. Уміння доводити математичні твердження у випускників середніх загальноосвітніх шкіл сформовані недостатньо. Вирішити цю проблему може тільки вчитель, який має достатній рівень сформованості відповідних умінь.  Тому формування у майбутніх учителів математики вмінь доводити теореми є одним із завдань їх фахової підготовки. Одним із шляхів формування у майбутніх учителів математики вмінь доводити теореми є виділення узагальнюючих умінь опрацювання змісту та доведення теорем шкільного курсу математики та виконання спеціальних пізнавальних завдань, спрямованих на формування відповідних умінь.

Formulation of the problem. The quality problem of preparation future teachers of mathematics is considered in the article. It is stated that the level of skills to prove theorems that students of mathematical specialties of pedagogical universities have is insufficient for their future professional activity.
Results. One way to solve this problem is to develop the ability to summarize knowledge for future teachers of mathematics. Formation of generalization skills not only increases the level of students’ generalizing activity, which positively influences the whole learning process, but also contributes, due to their psychological characteristics, to a deeper assimilation of mathematical knowledge. Forming and improving students’ ability to generalize requires not only explaining the essence of this method of thinking, but also special exercises that are generalizable and aimed at achieving a certain level of generalization. We propose to underline separate groups of generalizing abilities during formulating theorems and learning to prove theorems. We believe that while learning the content of the theorem, it is advisable to distinguish the following generalizing skills: the allocation of a substantial, general conditions of the theorem; "Recognizing" the conditions of the theorem in given specific cases; "Constructing" the conditions of the theorem. During the work on the theorem proof, we distinguish pairs of inductive and deductive generalizing skills: the ability to highlight the idea of proof, making a generalized plan of proof; recognizing the method and constructing the proof of the theorem by the specified method. According to each generalization skill we offer a system of special cognitive tasks aimed at their formation.
Conclusions. The ability to prove mathematical statements in for graduates of secondary schools is insufficient. Only a teacher who has a sufficient level of relevant skills can solve this problem. Therefore, forming the ability of future teachers of mathematics to prove theorems is one of the tasks of their professional training. One way to develop the ability of teachers of mathematics to prove theorems is to allocate generalizing skills of content processing and to prove the theorems of school mathematical course and to perform special cognitive tasks aimed at the formation of appropriate skills.

Аннотация. В феврале 2019 года в Могилевском государственном университете им. А.А. Кулешова состоялась V международная научная конференция, участники которой обсуждали современное состояние математического образования и его перспективы в Белоруссии и других странах СНГ.
Формулировка проблемы. Для подготовки инженеров высокой квалификации необходимо совершенствовать учебный процесс, повышать эффективность лекций, практических занятий, широко использовать для обучения современные цифровые технологии. В частности, использовать не только лекции презентации, но и возможность анимации при показе слайдов. Также расширять доступ студентов к информационным образовательным ресурсам и обучать их широкому применению последних на практике.
Материалы и методы. В статье даны ссылки на публикации, связанные с использованием информационно-методического сопровождения лекции-презентации по математике в вузе и методологические особенности проектирования такой лекции. Обсуждается применение систем мультимедиа для визуализации учебного материала, приведены примеры слайдов лекции-презентации по теме «Двойной интеграл», созданных в приложении PowerPoint (рисунки 1- 3 и пояснения к ним). Отмечается трудоёмкость создания каждого слайда. Подчеркивается, что квалификация преподавателя, его активное стремление к совершенствованию лекции, его опыт – важные моменты учебного процесса.
Результаты. Информационная емкость, экономия времени, компактность носителей, мобильность, многофункциональность – вот некоторые преимущества визуализации лекции. Отметим, что изложение материала становится более наглядным, способствует лучшему запоминанию и восприятию студентами новых понятий, что видно из сравнения результатов выполнения студентами текущих контрольных работ за последние два учебных года и экзаменационных оценок. Повышается методическое мастерство самого преподавателя.

Abstract. In February 2019, the V international scientific conference was held at Mogilev State A. Kuleshov University. The participants discussed the current state of mathematical education and its prospects in Belarus and other CIS countries.
Formulation of the problem. To train highly qualified engineers, it is necessary to improve the educational process, increase the effectiveness of lectures, practical exercises, and widely use modern digital technologies for training. In particular, use not only a lecture-presentation, but also the possibility of animation during the slide show. Also, expand students' access to educational information resources and train students to use them in practice.
Materials and methods. The article provides links to publications related to the use of information and methodological support of a lecture-presentation in mathematics at a university and methodological features of the design of such a lecture. The article discusses the use of multimedia systems for the visualization of educational material, provides examples of slides of a lecture-presentation on the topic "Double Integral", created in PowerPoint application (Figures 1-3 and explanations to them). The complexity of creating each slide is noted. It is emphasized that the teacher’s qualifications, his active desire to improve the lecture, his experience are important points in the educational process.
Results. Information capacity, time saving, compact media, mobility, multifunctionality are some of the advantages of lecture visualization. Note that the presentation of the material becomes more visual, contributes to a better memorization and perception by students of new concepts, as can be seen from a comparison of the results of students performing current tests for the last two academic years and exam grades. The methodological skill of the teacher himself is increasing.

Abstract. Formulation of the problem. The socio-constructive theories of learning have become very popular during the last decades for teaching mathematics. The “5 E’s” is an instructional model based on the principles of social constructivism that has recently become very popular, especially in school education, for teaching mathematics. Each of the 5 E's describes a phase of learning which begins with the letter "E" – Engage, Explore, Explain, Elaborate, Evaluate. Depending on the student reactions, there are forward or backward transitions between the three middle phases (explore, explain, elaborate) of the 5E’s model during the teaching process. The “5 E's” model allows students and teachers to experience common activities, to use and build on prior knowledge and experience and to assess their understanding of a concept continually.
Materials and methods. Probabilistic methods of analysis are used.
Results. The  mathematical representation of the “5 E’s” model is attempted by applying an absorbing Markov chain on its phases. A Markov Chain (MC) is a stochastic process that moves in a sequence of steps (phases) through a set of states and has a one-step memory. A finite MC having as states Si the corresponding phases Ei, i = 1, 2,…, 5, of the “5 E’s” instructional model is introduced. A classroom application is also presented illustrating the usefulness of this representation in practice. The following application took place recently at the Graduate Technological Educational Institute of Western Greece for teaching the concept of the derivative to a group of fresher students of engineering.
Conclusions. The Markov chain representation of the “5 E’s” model provides a useful tool for evaluating the student difficulties during the teaching process. This is very useful for reorganizing the instructor’s plans for teaching the same subject in future.

Анотація. Постановка проблеми. Соціально-конструктивні теорії навчання стали дуже популярними у викладання математики протягом останніх десятиліть. "5 E" – це навчальна модель, заснована на принципах соціального конструктивізму, що останнім часом стала дуже популярною при викладання математики, особливо в шкільній освіті. Кожен із "5 E" описує окремий етап навчання, який починається з літери "Е" – Займайтесь, Досліджуйте, Пояснюйте, Розробляйте, Оцінюйте. Залежно від реакцій учнів, існують переходи вперед або назад між трьома середніми фазами (Досліджуйте, Пояснюйте, Розробляйте) моделі "5 E" під час навчального процесу. Модель “5 E” дозволяє учням та викладачам здійснювати спільну діяльність, використовувати, будувати на основі попередніх знань та досвіду нові знання, постійно оцінювати своє розуміння концепції.
Матеріали і методи. Використовуються ймовірнісні методи аналізу.
Результати. Для математичного зображення моделі "5 Е" намагаємося застосувати поглинаючий ланцюг Маркова на його фазах. Ланцюг Маркова – це стохастичний процес, який рухається послідовно кроками (фазами) через набір станів і має одно крокову пам'ять. Введено кінцевий ланцюг Маркова, що має в якості S_i відповідні фази E_i, i=1,2,…,5, навчальної моделі “5 Е”. Також в статті представлено застосування моделі "5 E" до роботи в аудиторії з класом, що ілюструє корисність цієї моделі на практиці. Апробація такого застосування відбулося нещодавно в Вищому технологічному навчальному інституті Західної Греції для вивчення поняття похідної у групи студентів, майбутніх інженерів, на перших курсах.
Висновки. Представлення моделі "5 E" за допомогою ланцюга Маркова є корисним інструментом для оцінювання труднощів студентів під час навчального процесу. Застосування ланцюга Маркова є корисним і з позиції реорганізації планів викладача щодо викладання того ж предмета в майбутньому.

Abstract.  Формулювання проблеми. Сучасна глобалізація суспільства зумовила значний інтерес науки та практики до проблеми підготовки майбутніх фахівців морського торгового флоту. Тому, одним із стратегічних завдань України є необхідність реформування сучасної системи підготовки, зокрема математичної як складової, майбутніх судноводіїв відповідно до міжнародних і національних стандартів, а саме «Міжнародна Конвенція з підготовки, дипломування моряків і несення вахти» (2010 р.), «Міжнародний Кодекс з управління безпекою», «Конвенція з охорони людського життя на морі»,«Морська доктрина України», «Стратегічний план розвитку морського транспорту на період до 2020 року», «Стратегія розвитку морських портів України на період до 2038 року» тощо.Сучасна морська галузь потребує фахівців нового типу, які здатні мислити стратегічно, оперативно та тактично при плануванні рейсу судна; розраховує безпечний шлях; контролює положення судна; знаходить нетрадиційні підходи до розв’язання нестандартних задач, що повсякчас виникають у повсякденній роботі штурмана, а тому існує необхідність у розробці наукових підходів до підготовки таких фахівців морської галузі, і саме синергетичний підхід є одним з таких.
Матеріали і методи. Аналіз та систематизація науково-педагогічної літератури щодо реалізації синергетичного підходу до навчання вищої математики майбутніх судноводіїв.
Результати. У ході дослідження було проаналізовано ряд джерел, що дало змогу зробити висновок, що протягом останніх років у науково-педагогічній літературі значна увага стала приділятися проблемі використання ідей синергетики в освіті. Вчені вбачають можливості застосування цієї науки в різних напрямах удосконалення навчально-виховного процесу й підготовки майбутніх фахівців, зокрема морської галузі. У статті було розглянуто основні поняття синергії як педагогічної категорії та можливості реалізації синергетичного підходу до навчання вищої математики майбутніх  судноводіїв у вищому морському навчальному закладі. Обговорюється роль математичного моделювання для розвитку розуміння розв'язання різноманітних задач професійного змісту.
Висновки. З’ясовано, що синергетичність особистості майбутнього судноводія, що ґрунтується на міждисциплінарній обізнаності та відповідальності за свої рішення та вчинки має вагоме значення у професійній діяльності майбутнього моряка та має значне соціальне значення у сучасному світі.

Abstract. Formulation of the problem. The globalization of the modern world economy, its general informatization, imply the formation of new requirements for the professional competence of modern specialists in the maritime industry, the construction of a new methodical system for their training through the continuous development of the world navy fleet and economic relations in the maritime business, which, in turn, determines the purpose of viewing, tasks and nature of marine education. It is precisely in synergy that the ability of subjects to develop personal internal resources, which provide a certain sense of their activity, is called pedagogical self-organization. The idea of the priority role of the personal structures of consciousness in the formation of the experience of self-organization is based on the synergetic treatment of the phenomenon of self-realization, which consists in the ability of the system to self-improvement. Drivers constantly have to think strategically, operatively and tactically.They need to plan carefully every voyage of the ship, using all the available information, evaluats it and calculate a safe path. During the flight, the boatmaster controls the position of the vessel and responds promptly to any obstacles that hinder the implementation of the plan. The shipping industry specialist should be prepared for unforeseen situations at any time and anticipate the occurrence of such situations in advance. At the same time, synergetics has an interdisciplinary character that allows a future specialist toreflect on himself, the level of his training, his professional and social environment, to find his place in the Universe, which in turn is a system, a mechanism that functions with the coordination of all its components units.
Materials and methods. Analysis and systematization of scientific and pedagogical literature on the implementation of the synergetic approach to the study of higher mathematics of future navigators.
Results. Several sources have been analyzed in the course of the study, which made it possible to conclude that in recent years in the scientific-pedagogical literature considerable attention has been paid to the problem of using synergetic ideas in education. Scientists see the possibilities of applying this science in various directions to improve the educational process and prepare future specialists, in particular the maritime industry. The article considers the main concepts ofsynergy as a pedagogical category and the possibility of implementing a synergetic approach to the study of higher mathematics of future navigators in a higher maritime educational institution.
Conclusions. It is revealed that the synergy of the personality of the future navigator, based on interdisciplinary awareness and responsibility for their decisions and actions, has a significant role in the professional activity of the future seaman and has a significant social significance in the modern world.

Формулювання проблеми. У статті розглянуто проблему покращення якості підготовки майбутнього вчителя математики, зокрема пошуку шляхів підвищення мотивації випускників математичних спеціальностей вищих навчальних закладів освіти працювати за фахом.
Матеріали і методи. У ході підготовки статті були використані такі методи дослідження: порівняльний аналіз теоретичних положень, розкритих у науковій та навчально-методичній літературі; спостереження за навчально-виховним процесом підготовки майбутніх учителів математики; бесіди із студентами та випускниками математичних спеціальностей педагогічних закладів освіти; узагальнення власного педагогічного досвіду з викладання курсу «Філософські проблеми математики».
Результати. Виділено три основні складові професійної підготовки майбутніх учителів математики: змістову (оволодіння спеціальними математичними знаннями, формування математичної компетенції); технологічну (оволодіння знаннями з методики навчання математики, формування вмінь застосовувати ці знання на практиці); особистісну (наявність особистісних якостей, які є необхідними для майбутнього вчителя). Проаналізовано результати досліджень щодо реалізації фахового спрямування фундаментальних математичних дисциплін студентів педагогічних спеціальностей. Зроблено висновок про те, що специфіка навчання математичних дисциплін студентів педагогічних спеціальностей полягає в тому, що майбутній учитель математики повинен отримати фундаментальну математичну підготовку, яка забезпечить йому формування знань, що виходять за межі курсу шкільної математики, та разом з тим ця підготовка має бути тісно пов’язана з професійною діяльністю майбутнього вчителя математики. Обґрунтовано, що вивчення курсу «Філософські проблеми математики» має світоглядне значення і забезпечує найвищий рівень узагальнення та систематизації знань студентів про математику та її місце в сучасному світі. Обґрунтовано можливість та доцільність фахового спрямування курсу «Філософські проблеми математики». Зроблено висновок про те, що фахове спрямування курсу може бути реалізовано при спеціальній організації вивчення окремих тем курсу. Наведено приклади таких тем та методичні рекомендації щодо їх вивчення.
Висновки. Спеціальна організація вивчення курсу «Філософські проблеми математики», спрямована на фахову підготовку майбутніх учителів математики, передбачає виконання таких методичних рекомендацій: виділення тем, що мають безпосередній зв'язок із змістом шкільного курсу математики; обговорення в ході лекційних занять окремих питань загальної методики навчання математики; формулювання завдань методичного характеру для самостійного виконання студентами з подальшим обговоренням на практичних заняттях.

Abstract. Formulation of the problem. The article deals with the problem of improving the quality of training of the future teacher of mathematics, particularly finding ways to increase the motivation of graduates of mathematical specialties of higher educational institutions to work in this field.
Materials and methods. The following methods of research were used during the article preparation: comparative analysis of theoretical provisions revealed in the scientific and educational and methodical literature; observing the educational process of training the future teachers of mathematics; conversations with students and graduates of mathematical specialties of pedagogical educational institutions; generalization of owned pedagogical experience in teaching the course «Philosophical Problems of Mathematics».
Results. There are three main components of professional training of future teachers of mathematics: content (getting special mathematical knowledge, forming mathematical competence); technological (getting knowledge of methods of teaching mathematics, forming skills to apply this knowledge in practice); personal (having personal qualities that are necessary for the future teacher). Results of researches on realization the professional direction of fundamental mathematical disciplines of students of pedagogical specialties are analyzed. It is concluded that the specificity of teaching mathematical disciplines to students of pedagogical specialties is that the future teacher of mathematics should receive fundamental mathematical training, which will provide him with the knowledge beyond the course of school mathematics, and, at the same time, this training should be related to the professional activities of the future teacher of mathematics.
The article states that the study of the course «Philosophical Problems of Mathematics» has a worldwide value and provides the highest level of generalization and systematization of students' knowledge about mathematics and its place in the modern world. The possibility and expediency of professional direction of the course "Philosophical Problems of Mathematics" is substantiated. It is concluded that the special direction of the course can be implemented with a special organization of study of individual parts of the course. Examples of such parts and guidelines for their study are given.
Conclusions. The special organization of learning of the course «Philosophical Problems of Mathematics», aimed at the professional training of future teachers of mathematics, provides the following methodological recommendations: the selection of topics that are directly related to the content of the school course of mathematics; discussion of the certain issues of the general methodology of teaching mathematics during lectures; formulation of the methodical tasks for students’ own execution with further discussion on practical classes.