Формулювання проблеми. Значення апарату різноманітних збіжностей в сучасному функціональному аналізі та його багатьохзастосуваннях надзвичайно велике. Походження цих збіжностей викликано використанням в сучасній математиці різних структур: топологічних, порядкових, алгебраїчних, пов’язаних з мірою множини і т.д. Такі збіжності породжують на просторах, що розглядаються, різноманітні топології, а це дає можливість одержати результати про неперервність операторів, що є однією з основних задач сучасної математики. Важливі й збіжності породжені структурами порядку. Особливо важливі випадки, коли даний простір є решіткою, зокрема, лінійною і архімедівською. Подальшим розвитком порядкової збіжності є так звана збіжність з регулятором, яка має важливість застосування. При вивченні конкретних збіжності необхідним етапом є дослідження виконання для них аксіом класу збіжності, що дозволяє розглядати утворені топологічні структури. Часто за допомогою наявних здібностей вдається утворювати нові збіжності. Важливим інструментом одержання нових збіжностей є зіркові алгоритми. В результаті маємо різні «чисті» і «мішані» до даних збіжностей нові збіжності. Властивості збіжності з регулятором пов'язані з аксіомами класу збіжності були нами раніше вивчені. Тому необхідно продовжити це вивчення для збіжностей, зіркових по відношенню до збіжності з регулятором. Метою даного дослідження є вивчення властивостей різних типів зіркових збіжностей до збіжності з регулятором як «чистих» так і «мішаних»
Матеріали і методи. Використовується результати про властивості збіжності з регулятором, раніше встановлені властивості зіркових збіжностей в загальних випадках.
Результати. В результаті дослідження було встановлено:  «Чисті» зіркові збіжності до розбіжності з регулятором задовольняють умови перших трьох аксіом класу збіжності для всіх чотирьох типів «чистої» зіркової збіжності. «Мішані» зіркові збіжності задовольняють вказані умови при деяких додаткових обмеженнях, пов'язаних з вибором типу піднапрямленості на першому і другому етапах конструювання «мішаної» зіркової збіжності.
Висновки. Висновки є такими: зіркові збіжності до збіжності з регулятором мають передбачувані властивості і можуть використовуватись при вивченні лінійних решіток конкретних типів і збіжностей в них, пов'язаних з структурою порядку.

Formulation of the problem. The theory of various convergences, formed different structures is widely used in modern Analysis: topological, index, algebra, etc. These convergences are generated by topologies which is used for research of continuity of operators, in particular, operators of topological embedding of topological linear spaces. Important convergence is index convergence in grates, descendant the structure of order. At the study of properties of concrete convergences the axioms of class of convergence have an important value, that allows to draw conclusion about the got topological structure.Djn Important are also algorithms of receipt from this convergences of new by the so-called star algorithms. As properties of index convergence, related to the axioms of class convergences, studied, it is necessary to continue such study for star to this convergence. The purpose of this research is a study of properties of different classes of star convergences to index convergence, both «clean» and «mixed», types.
Materials and methods. Uses the results of the properties of convergence with the controller, previously established properties of star coincidences in general cases.
Results. For researches the methods of spaces of abstract convergence, theory of star convergences of basic types are used, axioms of classes of convergence in the proper modifications. 1. «Clean» star convergences to index convergence satisfy the terms of the first three axioms of class of convergence for all four types of star convergence – the confinal, isotonic, Moorish, quasi. 2. «Mixed» star convergences satisfy the specified conditions for some specifics: the first condition, regardless of the first and second classes of substrings used; second in modification for the first type of used sub-directions; the third in the modification of the first-second-grade sub-directio
Conclusions. Conclusions are such: Star convergences are to index convergence have predictable general properties and can be used in the study of lattices of specific types and convergences associated with the order in them.

Формулювання проблеми. В нових освітніх стандартах загальнокультурний і пізнавальний розвиток учнів проголошено як одна з основних цілей освіти. Гуманістична орієнтація сучасної освіти вимагає відповідної перебудови навчального процесу. Концепція гуманізації освіти нерозривно пов’язана з її гуманітаризацією – якщо гуманізація передбачає визнання цінності людини як особистості, то гуманітаризація забезпечує формування гуманної системи освіти. Метою статті є висвітлення проблеми гуманітаризації математичної освіти та можливих підходів до вирішення цієї проблеми в сучасному освітньому просторі.
Матеріали і методи. Гуманітаризація змісту освіти може бути досягнута в рамках викладання традиційних предметів за рахунок виявлення їх гуманітарного потенціалу. Шляхи реалізації проблеми гуманітаризації математичної освіти передбачають великий пласт роботи в першу чергу викладачів математичних дисциплін. Гуманітаризація математичної освіти має за мету спонукання учнів до навчання, роз’яснення застосувань математичних знань в житті, знайомство з вкладом математики у розвиток цивілізації.
Результати. Гуманітаризація передбачає посилення взаємозв’язку математичної освіти з гуманітарною, посилення гуманітарних аспектів в викладанні математичних дисциплін, але при цьому її зовсім не варто розуміти як розширення кількості та змісту гуманітарних наук, особливо за рахунок скорочення годин математичних дисциплін. Процес гуманітаризації змісту освіти передбачає суттєвий перегляд змістового наповнення навчальних предметів. Серед основних складових гуманітарного потенціалу математики можна виділити наукову, інформаційну, прикладну, історичну та культурну складові.
Висновки. Проблема перегляду змістового наповнення навчальних предметів з метою реалізації гуманітарного потенціалу повинна вирішуватися на методичних семінарах. Кожна дисципліна потребує окремого кропіткого обговорення серед вчителів та викладачів, які, бажано, багато років викладають цей предмет. В залежності від теми, що вивчається, необхідно визначити, яка складова гуманітарного потенціалу або їх сполука найкраще реалізує ідею гуманітаризації.

Formulation of the problem. This In the new educational standards, the general cultural and cognitive development of students is proclaimed as one of the main goals of education. The humanistic orientation of modern education requires an appropriate restructuring of the educational process. The concept of humanization of education is inextricably linked with its humanization - if humanization involves recognizing the value of man as a person, then humanization ensures the formation of a humane system of education. The purpose of the article is to highlight the problem of humanization of mathematical education and possible approaches to solving this problem in the modern educational space.
Materials and methods. The humanization of the content of education can be achieved through the teaching of traditional subjects through the identification of their humanitarian potential. Ways of realizing the problem of humanitarization of mathematical education envisage a large stratum of work in the first place of teachers of mathematical disciplines. The humanization of mathematical education aims at encouraging students to study, explaining the applications of mathematical knowledge in life, familiarizing themselves with the contribution of mathematics to the development of civilization.
Results. Humanization involves strengthening the relationship of mathematical education with the humanities, strengthening the humanities in the teaching of mathematical disciplines, but at the same time it should not be understood as an extension of the number and content of the humanities, especially by reducing the hours of mathematical disciplines. The process of humanizing the content of education involves a substantial review of the content content of educational subjects. Among the main components of the humanitarian potential of mathematics can be identified scientific, informational, applied, historical and cultural components.
Conclusions. The problem of reviewing the content content of educational subjects in order to realize the humanitarian potential should be addressed at methodological seminars. Each discipline requires a very tedious discussion among teachers and teachers who are desirable for many years to teach this subject. Depending on the topic being studied, it is necessary to determine which component of the humanitarian potential or their connection best implements the idea of humanitarization.

Практика викладання математики та його науково-методичного супроводу переконливо свідчить про те, що задачі про цілу (дробову) частину дійсного числа традиційно акумулюють значний пласт навичок учнів, вимагають високої аналітичної культури, технічної винахідливості. Така тематика є актуальною складовою реалізації надважливої функціональної лінії підготовки школяра й студента, підвищення кваліфікації вчителя в питаннях застосування різноманітних властивостей функцій, вимагає навичок алгебраїчних, комбінаторних, теоретико-числових міркувань.
Формулювання проблеми. Виникає проблема пошуку та/або модернізації апарату дієвих методичних та математичних прийомів навчання розв’язування задач підвищеного рівня складності, пов’язаних із цілою та дробовою частиною числа, серед яких завжди виділяються задачі математичних олімпіад як індикатор якості сформованої фахової компетентності.
Матеріали і методи. У статті розглядається з теоретичної та практичної точки зору питання навчання розв’язування певних типів задач, пов’язаних із цілою частиною числа, шляхом створення прикладу системи задач, в яких ефективно застосовуються міркування з генезисом у «базовому» курсі математичного аналізу для студентів. Використовується потужний і принциповий для педагогічної діяльності в галузі математики «контрастний» дидактичний метод, який полягає, зокрема, в тому, що для деяких складних олімпіадних задач наводяться і розв’язання, передбачені їхніми авторами, і пропонуються альтернативні — у контексті тематики статті.
Результати. Розроблено ідею використання елементарної характеризації точок розриву кусково-сталих функцій, що природно виникають у зв’язку з розглядом виразів з цілою частиною, та необхідні для реалізації такої ідеї методичне середовище та супровід.
Висновки. Матеріали статті набувають особливих рис з точки зору обов’язкової підготовки на математичних спеціальностях педагогічних університетів до майбутньої роботи з обдарованими учнями в процесі опанування розділів вищої математичної освіти, неперервної самоосвіти вчителів, скеровують на подальшу пошукову діяльність школярів, вчителів, викладачів та студентів закладів вищої освіти, авторів задач математичних олімпіад тощо.

Abstract. The practice of teaching mathematics and its scientific and methodological support convincingly evidences that the problems on the integer (fractional) part of a real number traditionally accumulate a considerable layer of students' skills, require a high analytical culture, technical ingenuity. Such topics are an actual component of the implementation of the most important functional line for a pupil and a student training, teacher training in the use of various properties of functions, requires skills of algebraic, combinatorial, number-theoretic considerations.
Formulation of the problem. There is a problem of searching and/or modernizing the apparatus of effective methodological and mathematical methods for solving relevant problems of higher complexity level, related to the integer and fractional part of a real number, among which the problems of mathematical olympiads are always highlighted as an indicator of the quality of the formed professional competence.
Materials and methods. The article deals with theoretical and practical point of view of solving some types of problems related to the integer part of the number by creating an example of a system of problems in which arguments are effectively applied with genesis in the «basic» course of mathematical analysis for students. A powerful and principled «contrast» didactic method for pedagogical activity in the field of mathematics is used: that is, in particular, for some complex olympiad-type problems the solutions provided by their authors are presented and alternatives are proposed in the context of the subject matter of the article.
Results. The idea of using the elementary characterization of the discontinuity points of step functions, which naturally arise in connection with the consideration of expressions with the integer part, and the methodical environment and maintenance necessary for the implementation of such idea has been developed.
Conclusions. Materials of the article acquire special lineaments from the point of view of compulsory preparation in mathematical specialties of pedagogical universities for the future work with gifted schoolchildren in the process of mastering sections of higher mathematical education, in-service self-education of teachers, directing for further search activity of secondary school students and teachers, teachers and students of institutions of higher education, authors of the problems of mathematical olympiads, etc.

Формулювання проблеми. Згідно з концепцією «Нова Українська Школа», розробленою в Україні, однією з ключових компетентностей учнів є математична компетентність, у якій чільне місце займає геометрична складова. Геометрична освіта в школі має потужні можливості для формування логічного мислення учнів, передбачає створення в учнів чітких і правильних геометричних образів, розвиток просторових уявлень, озброєння їх навичками зображення та вимірювання, що має значний вплив на інтелектуальний розвиток особистості.
 Матеріали і методи. Теоретичний аналіз науково-методичної та психолого-педагогічної літератури, власний досвід багаторічного навчання учнів геометрії в школі та методики навчання математики студентів педагогічного університету дає можливість обґрунтувати  необхідність виокремлення критеріїв та показників, за якими можна відстежувати рівень сформованості компетентностей учнів у процесі навчання геометрії.
Результати. Обґрунтовано місце і роль навчання геометрії в системі формування ключових та спеціальних компетентностей учнів, зроблено висновок про необхідність наскрізної системи моніторингу математичної компетентності учнів набутих у процесі навчання геометрії.
 Висновки. Досягнення бажаних результатів навчання учнів геометрії в школі залежить від багатьох факторів. Важливе місце серед цих факторів займає визначеність та обґрунтованість критеріїв та показників, за якими можна відстежувати рівень сформованості математичних компетентностей учнів у процесі навчання геометрії. Запорукою грамотного використання таких критеріїв є методична компетентність вчителя математики, глибоке усвідомлення ним особливостей компетентнісного підходу в навчанні, готовність і здатність створити умови для особистісного розвитку учнів у процесі навчання геометрії.

Formulation of the problem. According to the concept of "New Ukranian School", developed in Ukraine, one of the key competences of students is mathematical competence, in which the main space is a geometric component. Geometric education at school has a powerful capability for the formation of logical thinking of students, involves the creation of students' precise and regular geometric pattern, the development of spatial concepts, arming them with skills of drawing and measurement that has a significant impact on the intellectual development of the individual.
Materials and methods. Theoretical analysis of scientific and methodological and psychological and pedagogical literature, own experience and student learning of geometry at school and methods of teaching mathematics students of the  Pedagogical University provides an opportunity to substantiate the need to distinguish the criteria and indicators by which one can trace the level of formation of mathematical competences in the process of studying geometry.
Results. In the article the place and role of geometry teaching in the system of formation of key and specific competences of students, it is concluded that improving the quality of geometric education should be in sight of the urgent tasks of the development of modern educational theory and practice.
Conclusions. The achievement of the learning outcomes of students in geometry at school depends on many factors. An important place among these factors occupies the certainty and validity of the criteria and indicators by which to track the level of formation of mathematical competence of students in learning geometry. The key to proper use of such criteria is the methodical competence of the teacher of mathematics, a deep grasp of the peculiarities of the competence approach in teaching, and willingness and ability to create conditions for personal development of students in learning geometry.

Формулювання проблеми. Багатьом сучасним студентам притаманна несформованість логічної грамотності, основи якої не були закладені у них ще в середній школі. Однією з можливих причин цього явища є недостатність знань вчителя математики наукових основ шкільного курсу математики. Тому проблема формування логічної грамотності майбутніх учителів математики залишається актуальною.
Матеріали і методи. При дослідженні використовувались наступні методи: порівняння та синтез теоретичних положень, розкритих у науковій та навчальній літературі; спостереження за ходом навчального процесу; аналіз результатів навчання студентів відповідно до проблеми дослідження; узагальнення власного педагогічного досвіду та досвіду колег з інших закладів вищої освіти.
Результати. Логічна грамотність майбутніх учителів математики – це володіння ними достатнім обсягом логічних знань і умінь, необхідних для подальшого вивчення математичних дисциплін та у майбутній педагогічній діяльності. Логічні знання та вміння, якими повинен володіти логічно грамотний студент, майбутній вчитель математики, можна умовно поділити на три групи: логічні знання та вміння щодо математичних понять, символіки та означень; логічні знання та вміння щодо математичних виразів і тверджень; логічні знання та вміння щодо математичних теорем. Логічні знання та вміння щодо математичних означень включають у себе наступні компоненти: логічно грамотне формулювання означень; виявлення та аналіз логічної структури означень; коректний запис означень за допомогою логічних символів; побудова стверджувальної форми, еквівалентної запереченню визначальної частини означення. Логічні знання та уміння щодо математичних виразів і тверджень передбачають наступні дії: розпізнавати види виразів і тверджень; правильно конструювати вирази і твердження; виявляти та аналізувати логічну структуру тверджень; коректно використовувати квантори і логічні зв'язки; коректно записувати твердження за допомогою логічних символів; перекладати символічний запис тверджень на природну мову; перетворювати заперечення даного неелементарного твердження у рівносильне йому твердження у стверджувальній формі. Логічні знання та вміння щодо математичних теорем: відновлення опущених кванторів у теоремі; перехід від безумовної форми теореми до її умовної форми і навпаки; конструювання для даного твердження оберненого, протилежного і оберненого до протилежного тверджень; виявлення та аналіз логічної структури теорем; формулювання теорем із використанням термінів «необхідно» і «достатньо».
Висновки. Процес формування логічної грамотності майбутніх учителів математики повинен бути цілеспрямованим та систематичним. Логічна грамотність повинна формуватися ще на шкільному рівні і цей процес повинен продовжуватися під час вивчення фундаментальних математичних курсів та методики навчання математики, а особливо курсу математичної логіки.

Formulation of the problem. Many modern students are not characterized by the formation of logical literacy, the basis of which was not laid in them even in high school. One of the possible causes of this phenomenon is the lack of math teacher’s knowledge of the scientific foundations of the school's mathematics course. Therefore, the problem of the formation of logical literacy of future math teachers is relevant.
Materials and methods. The following methods were used in the study: comparison and synthesis of theoretical positions, discovered in the scientific and educational literature; observing the course of the educational process; generalization of own pedagogical experience and experience of colleagues from other institutions of higher education.
Results. The future math teachers’ logical literacy of is their possession of a sufficient volume of logical knowledge and skills necessary for further study of mathematical disciplines and future pedagogical activity. Logical knowledge and skills of the logically competent student, future mathematics teacher, can be divided into three groups: - logical knowledge and skills in mathematical concepts, symbols and definitions; - logical knowledge and skills in mathematical expressions and statements; - logical knowledge and skills in mathematical theorems. Logical knowledge and abilities for mathematical definitions include the following components: the logically competent formulation of definitions; the identification and analysis of the logical structure of definitions; the correct recording of definitions using logical symbols; the construction of an affirmative form equivalent to the denial of the defining part of the definition. Logical knowledge and abilities in mathematical expressions and statements include the following actions: to recognize types of expressions and statements; correctly construct expressions and statements; to detect and analyze the logical structure of statements; correctly use quantifiers and logical connections; correctly write statements using logical symbols; translate a symbolic statements into a natural language; to turn the negation of this non-elemental statement into an affirmative statement in the sense that it is equivalent to it. Logical knowledge and skills in mathematical theorems: restoration of omitted quantifiers in a theorem; the transition from the unconditional form of the theorem to its conditional form and vice versa; construction for this assertion of the inverse, opposite and inverse of the opposite statements; identification and analysis of the logical structure of the theorems; formulation of theorems using the terms "necessary" and "sufficient".
Conclusions. The process of formation of future math teachers’ logical literacy should be purposeful and systematic. Logical literacy should be formed at school level, and this process should continue in the study of fundamental mathematical courses and methods of teaching mathematics, and especially the course of mathematical logic.