Voskoglou M. Gr. [voskoglou@teipat.gr]
Graduate Technological Educational Institute of Western Greece, Greece
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2019-v3-21/2019_3-21-Voskoglou_FMO.pdf

A MARKOV CHAIN REPRESENTATION
OF THE “5 E’s” INSTRUCTIONAL TREATMENT

Abstract. Formulation of the problem. The socio-constructive theories of learning have become very popular during the last decades for teaching mathematics. The “5 E’s” is an instructional model based on the principles of social constructivism that has recently become very popular, especially in school education, for teaching mathematics. Each of the 5 E's describes a phase of learning which begins with the letter "E" – Engage, Explore, Explain, Elaborate, Evaluate. Depending on the student reactions, there are forward or backward transitions between the three middle phases (explore, explain, elaborate) of the 5E’s model during the teaching process. The “5 E's” model allows students and teachers to experience common activities, to use and build on prior knowledge and experience and to assess their understanding of a concept continually.
Materials and methods. Probabilistic methods of analysis are used.
Results. The  mathematical representation of the “5 E’s” model is attempted by applying an absorbing Markov chain on its phases. A Markov Chain (MC) is a stochastic process that moves in a sequence of steps (phases) through a set of states and has a one-step memory. A finite MC having as states Si the corresponding phases Ei, i = 1, 2,…, 5, of the “5 E’s” instructional model is introduced. A classroom application is also presented illustrating the usefulness of this representation in practice. The following application took place recently at the Graduate Technological Educational Institute of Western Greece for teaching the concept of the derivative to a group of fresher students of engineering.
Conclusions. The Markov chain representation of the “5 E’s” model provides a useful tool for evaluating the student difficulties during the teaching process. This is very useful for reorganizing the instructor’s plans for teaching the same subject in future.
Key words: constructivism, socio-cultural theories for learning, “5 E’s” instructional model, absorbing Markov chains.

ПРЕДСТАВЛЕННЯ МОДЕЛІ "5 E" ЗА ДОПОМОГОЮ ЛАНЦЮГА МАРКОВА
Майкл Воскоглоу
Вищий технологічний освітній інститут Західної Греції, Школа технологічних застосувань, Греція

Анотація. Постановка проблеми. Соціально-конструктивні теорії навчання стали дуже популярними у викладання математики протягом останніх десятиліть. "5 E" – це навчальна модель, заснована на принципах соціального конструктивізму, що останнім часом стала дуже популярною при викладання математики, особливо в шкільній освіті. Кожен із "5 E" описує окремий етап навчання, який починається з літери "Е" – Займайтесь, Досліджуйте, Пояснюйте, Розробляйте, Оцінюйте. Залежно від реакцій учнів, існують переходи вперед або назад між трьома середніми фазами (Досліджуйте, Пояснюйте, Розробляйте) моделі "5 E" під час навчального процесу. Модель “5 E” дозволяє учням та викладачам здійснювати спільну діяльність, використовувати, будувати на основі попередніх знань та досвіду нові знання, постійно оцінювати своє розуміння концепції.
Матеріали і методи. Використовуються ймовірнісні методи аналізу.
Результати. Для математичного зображення моделі "5 Е" намагаємося застосувати поглинаючий ланцюг Маркова на його фазах. Ланцюг Маркова – це стохастичний процес, який рухається послідовно кроками (фазами) через набір станів і має одно крокову пам'ять. Введено кінцевий ланцюг Маркова, що має в якості S_i відповідні фази E_i, i=1,2,…,5, навчальної моделі “5 Е”. Також в статті представлено застосування моделі "5 E" до роботи в аудиторії з класом, що ілюструє корисність цієї моделі на практиці. Апробація такого застосування відбулося нещодавно в Вищому технологічному навчальному інституті Західної Греції для вивчення поняття похідної у групи студентів, майбутніх інженерів, на перших курсах.
Висновки. Представлення моделі "5 E" за допомогою ланцюга Маркова є корисним інструментом для оцінювання труднощів студентів під час навчального процесу. Застосування ланцюга Маркова є корисним і з позиції реорганізації планів викладача щодо викладання того ж предмета в майбутньому.
Ключові слова: конструктивізм, соціокультурні теорії навчання, навчальна модель "5 Е", ланцюг Маркова.

References

1. Bartholomew, D.J. (1973). Stochastic Models for Social Processes. London: J. Wiley and Sons.
2. Driver, R., Asoko, H., Leach, J.; Mortimer, E. & Scott, P. (1994). Constructing Scientific Knowledge in the Classroom, Educational Researcher, 23(7), 5-12.
3. Elbers, E. (2003). Learning and teaching mathematics in a community of inquiry, Educational Studies in Mathematics, 54, 77-99.
4. Enhancing Education. (2019). The 5 E’s. Retrieved from: http://enhancinged.wgbh.org/research/eeeee.html.
5. Ernest, P. (1998). Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics, Albany, New York, State University of New York Press.
6. Goos, M. (2014). Communities of practice in mathematics teacher education, in S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education, Dordrecht, Netherlands: Springer, 82-84.
7. Hee, J.W., Lee, E.J., Park, H.J., Chang, A.K. & Kim, M.J. (2013). Use of the 5E learning cycle model combined with problem-based learning for fundamentals of a nursing course, Journal of Nursing Education, 52 (12), 681-689.
8. Jaworski, B. (2006). Theory and practice in mathematics teaching development: Critical inquiry as a mode of learning in teaching, Journal of Mathematics Teacher Education, 9, 187-211.
9. Keeley, P. (2017). Embedding Formative Assessment into the 5E Instructional Model, Science and Children, 55 (4), 28-31.
10. Kemeny, J. G. & Snell, J. L. (1963). Mathematical Models in the Social Sciences, New York: Ginn and Company.
11. Kemeny, J. G. & Snell J. L. (1976). Finite Markov Chains, New York: Springer - Verlag.
12. Morris, A. O. (1978). An Introduction to Linear Algebra, Berkshire, England: Van Nostrand Beinhold Company Ltd.
13. Suppes, P. & Atkinson, R.S. (1960). Markov Learning Models for Multiperson Interactions, Stanford, California: Stanford University Press.
14. Glasersfeld, E. (1987). Learning as a Constructive Activity. In C. Janvier (Ed), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics, Lawrence Erlbaum, Hillsdale, N. J., USA, 3-17.
15. Voskoglou, M. Gr. & Perdikaris, S. C. (1991). A Markov chain model in problem-solving, International Journal of Mathematical Education in Science and. Technology, 22, 909-914.
16. Voskoglou, M. Gr. (2017a). Finite Markov Chain and Fuzzy Logic Assessment Models: Emerging Research and Opportunities. Columbia, SC, USA: Createspace.com–Amazon.
17. Voskoglou, M. Gr. (2017b). A Note on the Graphical Representation of the Derivatives, Scientific Journal of Physical and Mathematical Education, 2(12), 9-16.
18. Voskoglou, M.Gr. (2019). Communities of Practice for Teaching and Learning Mathematics, American Journal of Educational Research, 7(6), 186-191.
19. Wenger, E. (1998). Communities of Practice: Learning, Meaning, and Identity, Cambridge: Cambridge University Press, UK.