Кузьмич В.І., Кузьмич Л.В. [vikuzmichksu@gmail.com]
Херсонський державний університет, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2020-v2-24/2020_2-24-Kuzmich_FMO.pdf

ФОРМУВАННЯ ПОНЯТЬ ТОЧКИ, ВІДСТАНІ ТА ПРЯМОЛІНІЙНОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК ЗАСОБАМИ МЕТРИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ У 7-9 КЛАСАХ

У роботі представлено концепцію формування понять точки, відстані між точками та прямолінійного розміщення точок, з використанням елементів метричної геометрії, у здобувачів базової середньої освіти на уроках геометрії та у позакласній роботі з математики.
Формулювання проблеми. У сучасному шкільному курсі геометрії для базової школи фактично відсутні відомості про елементи неевклідових геометрій. У діючих підручниках з геометрії, навіть з поглибленим вивченням математики, про геометрію Лобачевського згадують лише у історичному аспекті. Зрозуміло, що це пов’язано зі значним рівнем складності та формалізації основ цієї геометрії. У даній роботі пропонується певний підхід до вирішення цього питання на базі використання елементів метричної геометрії, як такої, що найтісніше пов’язана зі шкільним курсом геометрії. Цей підхід дозволяє без особливих складнощів розпочати формування основних геометричних понять  неевклідових геометрій (таких як відстань, прямолінійність) ще у сьомому класі базової школи. На наш погляд, таке формування слід проводити у класах з поглибленим вивченням математики, як на уроках геометрії, так і на заняттях гуртків та факультативів з математики. Відповідний матеріал може бути предметом учнівських досліджень та творчих робіт з геометрії.
Матеріали і методи. Основні результати роботи отримані з використанням методів метричної геометрії. При формуванні поняття прямолінійності використано поняття прямолінійного розміщення точок, розглянуте В.Ф. Каганом. Результати роботи були апробовані при читанні відповідного спецкурсу для здобувачів освітнього рівня «Магістр», за спеціальністю «014 Середня освіта (Математика)», у Херсонському державному університеті. 
Результати. У роботі отримані конкретні приклади використання елементів неевклідових геометрій на уроках геометрії у базовій школі. Наведені відповідні формулювання понять відстані та прямолінійного розміщення точок, які демонструють неоднозначність їхнього інтуїтивного сприйняття. Вказані конкретні теми з геометрії, при вивченні яких ці формулювання та приклади можна використовувати, з метою формування поняття точки, відстані між точками, прямолінійності розміщення точок.   
Висновки. З результатів роботи випливає висновок про те, що формування основних понять неевклідових геометрій можна розпочати з сьомого класу базової школи, використовуючи при цьому елементи метричної геометрії. Це дасть можливість у старших класах, на цій же основі, сформувати поняття плоского розміщення точок. Таким підходом може бути вирішене питання адекватного сприйняття учнями основних положень неевклідових геометрій.
Ключові слова: точка, відстань, пряма лінія, прямолінійне розміщення точок, шкільний курс геометрії.

FORMATION OF CONCEPTS OF POINT, DISTANCE AND STRAIGHT PLACEMENTS OF POINTS  BY MEANS OF METRIC GEOMETRY IN 7-9 GRADES
Valerii Kuz’mich, Liudmyla Kuzmich
Kherson State University, Ukraine

Abstract. The paper presents the concept of forming the concepts of point, the distance between points and rectilinear placement of points, using elements of metric geometry, in middle school pupils in geometry lessons and extracurricular work in mathematics.
Formulation of the problem. In the modern school course of geometry for middle school, there is virtually no information about the elements of non-Euclidean geometries. In current textbooks on geometry, even with an in-depth study of mathematics, Lobachevsky's geometry is mentioned only in the historical aspect. This is due to the significant level of complexity and formalization of the basics of this geometry. This paper proposes a certain approach to solving this problem based on the use of elements of metric geometry, as one that is most closely related to the school course of geometry. This approach allows without much difficulty to begin the formation of basic geometric concepts of non-Euclidean geometries (such as point, distance, straightness) in the seventh grade of middle school. In our opinion, such formation should be carried out in classes with an in-depth study of mathematics, both in geometry lessons and in classes and electives in mathematics. Relevant material can be the subject of student research and creative work in geometry.
Materials and methods. The main results of the work are obtained using the methods of metric geometry. While forming the concept of straightness authors used the concept of rectilinear placement of points, considered by V.F. Kagan. The results of the work were tested during the reading of the relevant special course for students of the educational level "Master", specialty "014 Secondary Education (Mathematics)", at Kherson State University.
Results. The paper provides specific examples of the use of elements of non-Euclidean geometries in geometry lessons in middle school. Appropriate formulations of the concepts of point, distance, and rectilinear placement of points are given, which demonstrate the ambiguity of their intuitive perception. Specific topics in geometry are indicated, in the study of which these formulations and examples can be used to form a concept of a point, the distance between points, the straightness of the location of points.
Conclusions. From the results of the work, it follows that the formation of the basic concepts of non-Euclidean geometries can be started from the seventh grade of middle school, using elements of metric geometry. This will allow in the senior classes of junior high school, on the same basis, to form a concept of flat placement of points. This approach can solve the problem of adequate pupils' perception of the basic provisions of non-Euclidean geometries.
Keywords: point, distance, straight line, rectilinear placement of points, school course of geometry.  

Список використаних джерел

1. Каган В. Ф. Система посылок, определяющих евклидову геометрию. Зап. матем. отд. О-ва естествознания. Одесса, 1902. № 20. С. 67-105.
2. Каган В.Ф. Основания геометрии. Часть 2. М.-Л.: Гостехиздат, 1956.  344 с.
3. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М.: Издательство Московского университета, 1963. 571 с.
4. Burago D., Burago Y., Ivanov S. A course in metric geometry. AMS: Providence, Rhode Island. 2001. 415 с.
5. Savchenko A., Zarichnyi M. Metrization of free groups on ultrametric spaces. Topology and its applications,2010. 157(4). С. 724–729. DOI: 10.1016/j.topol.2009.08.015
6. Dovgoshei A. A., Dordovskii D. V. Betweenness relation and isometric imbeddings of metric spaces. Ukrainian Mathematical Journal, 2009. Vol. 61, No. 10. P. 1556-1567.
7. Кузьмич В. І., Кузьмич Л. В. Вивчення властивостей прямолінійно та плоско розміщених множин точок метричного простору. Вісник Черкаського університету. Серія «Педагогічні науки». Черкаси: Вид-во ЧНУ ім. Богдана Хмельницького, 2018. Випуск № 9. С. 77-89. DOI: 10.31651/2524-2660-2018-9-77-89
8. Kuz’mich V. I. Geometric properties of metric spaces. Ukrainian Mathematical Journal, 2019. Vol. 71, No. 3. P. 435-454. DOI: 10.1007/s11253-019-01656-1
9. Kuzʹmych, V. I., Savchenko A. G. Geometric relations in an arbitrary metric space. Matematychni Studii, 2019. 52(1). С. 86-95. DOI: 10.30970/ms.52.1.76-85
10. Начала Евклида. Книги I-VI. / пер.: Д. Мордухай-Болтовский. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 447 с.
11. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія. Пропедевтика поглибленого вивчення : навч. посіб. для 7 кл. з поглибленим вивченням математики. Х.: Гімназія, 2015. 192 с.
12. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра : підруч. для 8 кл. з поглибленим вивченням математики. Х.: Гімназія, 2016. 384 с.
13. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики : підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів. Х.: Гімназія, 2017. 304 с.
14. Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра. 11 клас :  підруч.  для загальноосвіт. навчальн. закладів : академ. рівень, проф. рівень. Х. :  Гімназія, 2011. 431 с.