Жучок Ю.В. [zhuchok.yu@gmail.com]
ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка», Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2020-v3-25-2/2020_3-25-2_Zhuchok_FMO.pdf

КЛАСИФІКАЦІЯ ДВОЕЛЕМЕНТНИХ ДОПЕЛЬНАПІВГРУП

Формулювання проблеми. Задача класифікації математичних структур (об’єктів) за деякою властивістю або ознакою є однією з класичних проблем у математиці. Класифікацію структур здійснюють зазвичай з урахуванням деяких спеціальних властивостей заданих структур. Вказати в точності клас з певною ознакою, до якого відноситься досліджуваний об’єкт, і означає – класифікувати даний об’єкт. Ідея, що покладена в основу задачі класифікації, якнайкраще розкривається на прикладі конкретних математичних об’єктів, у даному випадку алгебраїчних систем з двома операціями – так званих допельнапівгруп, які є природнім узагальненням відомого поняття напівгрупи.
Методи. Для проведення даного дослідження було застосовано в комплексі наступні методи: аналіз наукової літератури, систематизація та узагальнення різних поглядів при вивченні напівгруп та допельнапівгруп, а також загально алгебраїчні методи із використанням основних методів теорії напівгруп.
Результати. Напівгрупою називається непорожня множина із заданою на нiй бінарною асоціативною операцією. Під допельнапівгрупою, яка розширює поняття напівгрупи, розуміють непорожню множину D з двома бінарними асоціативними операціями ≺  та ≻ , для яких виконуються такі дві умови: (D₁) x≺y≻z=x≺(y≻z) ,
(D₂) x≻y≺z=x≻y≺z  для всіх x, y, z ∈D . Найпростішими нетривіальними об’єктами дослідження у класі допельнапівгруп є структури, що складаються з двох елементів, тому увагу акцентовано на задачі класифікації саме двоелементних допельнапівгруп. У якості властивості, за якою здійснюється класифікація допельнапівгруп, обрано абстрактну властивість ізоморфності. Показано, що існує всього сім попарно неізоморфних двоелементних допельнапівгруп.
Висновки. Розкрито сутність задачі класифікації на прикладі двоелементних допельнапівгруп. Відкритими в цьому напрямі досліджень залишаються задачі класифікації допельнапівгруп вищих порядків з точністю до ізоморфізму.
КЛЮЧОВІ СЛОВА: класифікація, напівгрупа, ізоморфізм, допельнапівгрупа, двоелементна допельнапівгрупа.

A CLASSIFICATION OF TWO-ELEMENT DOPPELSEMIGROUPS
Yu.V. Zhuchok
Luhansk Taras Shevchenko National University, Ukraine

Problem formulation. The problem of mathematical structures (objects) classifying by some property or feature is one of the classic problems in mathematics. Classification of mathematical structures is usually carried out taking into account some special properties of given structures. Specify the class with a specific feature to which the object belongs, means to classify this object. The idea of the classification problem is best revealed by the example of specific mathematical objects, in this case algebraic systems with two operations – the so-called doppelsemigroups, which are a natural generalization of the known concept of a semigroup.
Methods. The following methods were used to conduct this study: analysis of the scientific literature, systematization and generalization of different views in the study of semigroups and doppelsemigroups, as well as general algebraic methods using the basic methods of semigroup theory.
Results. A semigroup is a nonempty set with a given binary associative operation. Summarizing this concept, we obtain the concept of a doppelsemigroup. A doppelsemigroup is a nonempty set D  with two binary associative operations ≺ and ≻, if the following two conditions are satisfied: (D1) x≺y≻z=x≺(y≻z) , (D₂) x≻y≺z=x≻y≺z  for all x, y, z ∈D . The simplest non-trivial objects of study in the class of doppelsemigroups are structures consisting of two elements, so the focus is on the problem of classification of two-element doppelsemigroups. The abstract property of an isomorphism is chosen as the property by which the doppelsemigroups are classified. It is shown that there are only seven pairwise non-isomorphic two-element doppelsemigroups.
Conclusions. The essence of the classification problem on the example of two-element doppelsemigroups is revealed. The problems of classification of doppelsemigroups of higher orders up to an isomorphism remain open in this direction of research.
Key words: classification, semigroup, isomorphism, doppelsemigroup, two-element doppelsemigroup.

Список використаних джерел

1. Richter B. Dialgebren, Doppelalgebren und ihre Homologie. Diplomarbeit, Universitat Bonn. 1997. Retrieved from: https://www.math.uni-hamburg.de/home/richter/dipl.ps
2. Zhuchok A. V. Free products of doppelsemigroups. Algebra Universalis. 2017. №77. P. 361–374.
3. Шеврин Л. Н. Что такое полугруппа. Соровский образовательный журнал. 1997. №4. С. 99–104.
4. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М: Мир, 1972. Т. 1. 286 с.
5. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960. 592 с.
6. Шеврин Л. Н. Полугруппы / Общая алгебра. Под ред. Л. А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. Т. 2. C. 11–191.
7. Gavrylkiv V., Rendziak D. Interassociativity and three-element doppelsemigroups. Algebra and Discrete Mathematics. 2019. №28 (2). P. 224–247.