Одінцова О.О. [oincube@yahoo.com]
Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2020-v4-26/2020_4-26-Odintsova_FMO.pdf

ДО ПИТАННЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, ЩО МІСТЯТЬ ЦІЛУ
ТА ДРОБОВУ ЧАСТИНИ ЧИСЛА, ГРАФІЧНИМ СПОСОБОМ

Розглянуто особливості застосування графічного методу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами числа, що дозволяє поліпшити розуміння графічного матеріалу взагалі, розуміння взаємозв’язків різних розділів математики та підготуватися до математичних змагань.
Формулювання проблеми. Графічному способу розв’язування рівнянь та їх систем у шкільному курсі математики приділяється мало уваги, навіть при вивченні на поглибленому рівні. Більшість вчителів оминають цей спосіб розв’язувань навіть при роботі із сильними учнями та з матеріалом, де застосування графічного способу є природнім. Такими є, наприклад, рівняння, що містять цілу та дробову частини числа, які постійно пропонуються на математичних змаганнях різних рівнів. Труднощі, що виникають при застосуванні графічного способу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами числа, викликані специфікою зазначених числових функцій та пов’язаного з ними математичного апарату з одного боку, а з іншого – невмінням учнів/ студентів графічно інтерпретувати суто алгебраїчний матеріал і робити зворотний перехід.
Матеріали і методи. Загально алгебраїчні методи з використанням основних фактів теорії чисел, теорії елементарних та спеціальних функцій, аналіз навчально-методичної і математичної літератури щодо розв’язування графічним способом рівнянь, які містять цілу та дробову частини числа, аналіз та узагальнення власного педагогічного досвіду та педагогічного досвіду провідних  вчителів та науковців.
Результати. Розкрито особливості застування графічного методу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами, що базується на 4 класичних алгоритмах побудови графіків функцій у = ƒ([х]), у = [ƒ(х)], у = ƒ({х}), у = {ƒ(х)}. Пропонується застосовувати цей метод у дещо  розширеному вигляді з метою знаходження точних розв’язків з урахуванням умов вихідного або перетвореного рівняння.
Матеріал, розглянутий у статті, є частиною курсу «Олімпіадна математика», що читається студентам-магістрантам спеціальності 014 Середня освіта (Математика), а також пропонується учням при підготовці до олімпіад з математики.
Висновки.  Графічний спосіб розв’язування рівнянь та їх систем слід застосовувати не тільки до запропонованих у статті рівнянь або, тих, що розв’язуються цим способом  у регулярному курсі шкільної математики. Це дозволить не тільки покращити графічну культуру учнів, розвинути вміння застосовувати графічний матеріал в суто алгебраїчних питаннях: від оцінки кількості коренів рівняння до його повного розв’язання, поглиблюючи та систематизуючи отримані знання, розвиваючи  логічне та алгоритмічне мислення,  але й демонструвати взаємозв’язки різних розділів математики та їх взаємопроникнення.
КЛЮЧОВІ СЛОВА: графічний спосіб, рівняння з цілою,дробовою частинами числа,алгоритми побудови графіків функцій, що містять цілу, дробову частину числа, графічна інтерпретація.

ON THE QUESTION OF GRAPHICALLY SOLVING THE EQUATIONS CONTAINING INTERGER
AND FRACTIONAL PARTS OF THE NUMBER
Oksana Odintsova
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine

Abstract. There are considered the peculiarities of applying the graphical method to solving equations containing integer and fractional part of a number in this article. This applying allows to improve the understanding of graphic material in general, the understanding the relationships of different part of mathematics and the preparing for mathematical competitions.
Formulation of the problem. Little attention is paid to the graphical way of solving equations and their systems in the school mathematics course, even when studied at an advanced level.Most teachers avoid this way of solving, even when working with strong students and with material where the use of the graphic method is natural.Such are, for example, equations containing integer and fractional parts of numbers, which are constantly offered in mathematical competitions of different levels. Difficulties which are arising in the application of the graphical method to solve equations containing integer, fractional part of the number caused by the specifics of these numerical functions and the associated mathematical apparatus on the one hand, and on the other - the inability of students to graphically interpret purely algebraic material and do the reverse transition.
Materials and methods. The general algebraic methods with using the basic facts of number theory, theory of elementary and special functions, the analysis of educational, methodical and mathematical literature on solving graphically equations that contain integers and fractions of the number, the analysis and generalization of own pedagogical experience and pedagogical experience of leading teachers and scientists.
Results.The peculiarities of the graphical method of solving the equations with integer and fractional parts are revealed. They are based on 4 classical algorithms for plotting the functions y = ƒ ([x]), y = [ƒ (x)], y = ƒ ({x}), y = {ƒ (x)}.It is proposed to apply this method in a slightly extended form in order to find exact solutions taking into account the conditions of the original or transformed equation.
The material which are considered in the article is a part of the course "Olympic Mathematics", which is read to undergraduate students majoring in 014 Secondary Education (Mathematics), and is also offered to students in preparation for Olympiads in mathematics.
Conclusions.The graphical method of solving equations and their systems should be applied not only to the equations proposed in the article or to those solved in this way in the regular curricula of school mathematics.This will not only improve the graphic culture of students, develop the ability to apply graphic material in purely algebraic issues: from estimating the number of the equation’s roots to its complete solution, deeper and systemize knowledge, develop logical and algorithmic thinking, but also to demonstrate the relationships of different parts of mathematics and their interpenetration.
Keywords: graphically method, equations with integer and fractional parts of the number, algorithms for plotting the functions which are containing integer and fractional parts of the number, graphically interpretation.

Список використаних джерел

1. Бородін О.І.Теорія чисел. Київ: Вища школа, 1970. 275 с.
2. Вірченко Н.О., Ляшко І.І. Графіки елементарних та спеціальних функцій: довідник. Київ: Наукова думка,1996. 584 с.
3. Вороний О.М.Готуємось до олімпіад з математики.Харків: Видав. група «Основа», 2008. 225 с.
4. Одінцова О.О. Ціла та дробова частини числа в завданнях елементарної математики: навчальний посібник. Суми: ФОП Цьома С.П., 2019. 138 с.