Хворостіна Ю.В., Хілобок С.П.
Сумський державний педагогічний університет імені А.С.Макаренка, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2017-v1-11/2017_1-11-Khvorostina_Scientific_journal_FMO.pdf

ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ НЕПЕРЕРВНИХ
НІДЕ НЕ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ

Анотація. У статті розглядається встановлення зв’язків між поняттями неперервності та ніде не диференційовності, історія формування самого поняття неперервної ніде не диференційовної функції, перші спроби побудови функцій даного типу. Аналізується три основні підходи до означення неперервних ніде не диференційовних функцій: перший підхід полягає в узагальненні функції Вейєрштрасса; другий підхід є геометричним і базується на системі ітерованих функцій; третiй пiдхiд полягає у встановленні певного зв’язку мiж цифрами аргументу i цифрами вiдповiдних значень, записаних в iншiй системi числення. Розглядаються властивості неперервних дійсних функцій дійсної змінної зі складною локальною поведінкою засобами фрактального аналізу та фрактальної геометрії, зокрема дається огляд функції Ва-дер-Вардена і дослідження властивостей даної функції. Також вказана актуальність дослідження і практичність застосування неперервних ніде не дифернційовних функцій в різних математичних моделях.
Ключові слова: неперервна ніде не диференційовна функція, функція Ван-дер-Вандера, ітерована функція, фрактальна функція, сингулярні функції.

APPROACHES TO THE CONSTRUCTION OF CONTINUOUS NOWHERE DIFFERENTIABLE FUNCTIONS
Yurii Khvorostina, Svitlana Hilobok
Sumy Makarenko State Pedagogical University, Ukraine

Abstract. In the article the making connections between the concepts of continuity and nowhere differentiable, the history of the formation of the concept of continuous nowhere differentiable functions, the first attempt to build functions of this type. We analyze three main approaches to the definition of continuous nowhere differentiable functions: the first approach is a generalization of Weierstrass functions; the second approach is based on geometric and iterated function system; the third approach is to establish some connection between the numbers i argument numbers corresponding values recorded in another numeration system. We consider the properties of continuous real functions of a real variable with complex behavior of local means of fractal analysis and fractal geometry, in particular, provides an overview of the Va-der-Worden’s function and study the properties of this function. Also indicated the relevance of research and practical application of continuous nowhere differentiable functions.
Key words: the continuous nowhere differentiable function, the Va-der-Worden’s function, an integrated function, fractal function, singular functions.

Список використаних джерел

1. Безикович А.С. Исследование непрерывных функций в связи с вопросом об их дифференцируемости // Мат. Сб. –1924–, №4, –С.529-556.
2. Медвєдєв Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. – М.:Наука, 1975. – 248 с.
3. Працьовитий М.В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів / М.В. Працьовитий. – Київ, Національний педагогічний університет ім. М.П. Драгоманова, 1998. – 47 с.
4. Турбин А.Ф. Фрактальные множества. Функции распределения. А.Ф. Турбин, Н.В. Працевитый // К.:Наукова думка, 1992. – C.104-108.
5. Waerden B.L. Van der. Ein einfaches Deispiel einer nicht differentierbaren steligen Funktion // Math. Z. – 1930. – 32. – S. 474 – 47
6. Weierstrass K. Uber contnurliche Funktionen ienrs reelen Arguments die fur keine Werth des letziert einen bestimmten Differentialquotienten besitzen (1872) // Math. Werke/– 1895. –Bd.2. – S. 71-74.