Головна » Статті » АКТУАЛЬНІ ПРОБЛЕМИ МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

Voskoglou М. A NOTE ON THE GRAPHICAL REPRESENTATION OF THE DERIVATIVES
Voskoglou М. [voskoglou@teiwest.gr]
Graduate Technological Educational Institute of Western Greece, Patras, Greece
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2017-v2-12/2017_2-12-Voskoglou_Scientific_journal_FMO.pdf

A NOTE ON THE GRAPHICAL REPRESENTATION OF THE DERIVATIVES

Abstract. In the article at hands an alternative definition of the concept of the derivative is presented, which makes no use of limits. This definition is based on an old idea of Descartes for calculating the slope of the tangent at a point of a curve and holds for all the algebraic functions. Caratheodory extended this definition to a general definition of the derivative in terms of the concept of continuity. However, although this definition has been used successfully by many German mathematicians, it is not widely known in the international literature, nor it is used in the school book texts. After presenting Caratheodory’s definition, the article closes by describing methods for calculating the derivative at a point of a function y = f(x) with the help of a suitably chosen table of values of f(x), and for designing of the graph of the derivative function f΄(x) given the graph, but not the formula, of f(x). These methods are based on the graphical representation of the derivative, which should be reclaimed better in general for teaching purposes.
Key words: teaching/learning the derivatives, tangent at a point of the graph of a function, algebraic and transcendental functions, Caratheodory’s definition of the derivative, graphs of the derivative functions, Maple software.

ПРО ГРАФІЧНЕ ПРЕДСТАВЛЕННЯ ПОХІДНИХ
Воскоглой М. Гр.
Вищий навчально-технологічний інститут Західної Греції, Патрас, Греція

Анотація. У статті дано альтернативне визначення поняття похідної, в якому не використовується поняття границі. Це визначення ґрунтується на ідеї Декарта для обчислення нахилу дотичної до кривої в точці і справедливе для всіх алгебраїчних функцій. Каратеодорі розширив це визначення до загального визначення похідної в термінах неперервності. Проте, хоча це визначення успішно використовувалося багатьма німецькими математиками, воно не було широко відомим у міжнародній літературі і не використовувалося у шкільних підручниках. Також у статті описано методи обчислення похідної функції y = f (x) в точці за допомогою підібраної таблиці значень функції y = f (x) та методи побудови графіка похідної функції y = f΄(x) за графіком функції y = f (x), а не за її формулою. Ці методи ґрунтуються на графічному представленні похідної, що можна активно використовувати у навчанні.
Ключові слова: вивчення похідної, дотична до графіка функції в точці, алгебраїчні і трансцендентні функції, визначення похідної за Каратеодорі, графік похідної функцій, програма Maple.

References

1. Andresen, M. (2007), Introduction of a new construct: The conceptual tool “Flexibility”, The Montana Mathematics Enthusiast, 4, 230-250.

2. Arnon, I. Cottrill, J. Dubinsky, E., Oktac, A.¸ Roa, S., Trigueros, M. & Weller, K. (2014), APOS Theory: A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education, Springer, NY, Heidelberg, Dondrecht, London.

3. Asiala, M., Brown, A., DeVries, D.J., Dubinsky, E., Mathews, D. & Thomas, K. (1996), A framework for research and development in undergraduate mathematics education. Research in Collegiate Mathematics Education, 2, 1-32.

4. Asiala, M., Cottrill, J., Dubinsky, E. & Schwingendorf, K.E. (1997), The development of students’ graphical understanding of the derivative, Journal of Mathematical Behavior, 16, 399-431.

5. Baker, B., Cooley, L. & Trigueros, M. (2000), A Calculus Graphing Schema, Journal for Research in Mathematics Education, 31(5), 557-576.

6. Borji, V. & Voskoglou, M.Gr., (2016) Applying the APOS Theory to Study the Student Understanding of the Polar  Coordinates, American Journal of Educational Research, 4(16), 1149-1156.

7. Borji, V. & Voskoglou, M.Gr., (2017), Designing an ACE Approach for Teaching the Polar  Coordinates, American Journal of Educational Research, 306-309.

8. Caratheodory, C. (1950), Funktionentheorie, Birkhauser, Basel. 

9. Clark J.M., Cordero, F., Cottrill, J., Czarnocha, B., DeVries, D.J., St. John, D., Tolias T.& Vidakovic, D. (1997), Constructing a schema: The case of the chain rule. Journal of Mathematical Behavior, 1, 345-364.

Descartes, R., 10.La Geometrie (1637), Leiden, English translation by D.E. Smith & M.L. Latham, Open Court Publ., Chicago, 1925, reprinted by Dover, New York, 1954.

11. Ferrini–Mundy, J. & Graham, K. (1994). Research in calculus learning: Understanding limits, derivatives, and integrals, in E. Dubinsky & J. Kaput (Eds.), Research issues in undergraduate mathematics learning, pp. 19-26, Mathematical Association of America.

12. Giraldo, V., Carvalho, L.M. & Tall, D.O. (2003), Descriptions and Definitions in the Teaching of Elementary Calculus, Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, 445-452.

13. Hähkiöniemi, M. (2004), Perceptual and symbolic representations as a starting point of the acquisition of the derivative, Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, 73-80.

14. Maharaj, A. (2005), Investigating the Senior Certificate Mathematics examination in South Africa: Implications for teaching, Ph.D. thesis, Pretoria, University of South Africa

15. Maharaj, A. (2010), An APOS Analysis of Students’ Understanding of the Concept of a Limit of a Function. Pythagoras, 71, 41-52.

16. Maharaj, A. (2013), An APOS Analysis of natural science students΄understanding of the derivatives, South African Journal of Education, 33(1), 1-19.  

17. Orton, A. (1983), Students’ Understanding of Differentiation, Educational Studies in Mathematics,14, :235-250.

18. Piaget, J. (1970),  Genetic Epistemology, Columbia University Press, New York and London.

19. Range, R. M. (2011), Where are limits needed in Calculus? American Mathematical Monthly, 118(5), 404-417.

20. Range, R. M. (2014), Descartes’s Double Point Method for Tangents: An Old Idea Suggests New Approaches to Calculus, Notices of the American Mathematical Society, 61(4), 387-389.

21. Roorda, G., Vos, P. & Goedhart, M. (2009), Derivatives and applications; development of one student’s understanding, Proceedings of CERME 6, Available at www.inrp.fr/editions/cerme6.

22. Tall, D. (1993), Students’ Difficulties in Calculus, Plenary Address, Proceedings of ICME-7, 13–28, Québec, Canada.

23. Tall, D. (2010), A sensible approach to the calculus, Plenary talk, National and International Meeting on the Teaching of Calculus, Puebla, Mexico, available at http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/downloads.html.

24. Thompson, P.W. (1994). Images of rate and operational understanding of the fundamental theorem of calculus, Educational Studies in Mathematics, 26, 229-274.

25. Van Schooten, F. (1661), Geometria a Renato Des Cartes, Gallice Edita, Amsterdam.

26. Voskoglou, M.Gr. (2013), An Application of the APOS/ACE in Teaching the Irrational Numbers, Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education, 8(1), 30-47.

27. Uygur, T. & Özdaş, A. (2005), Misconceptions and difficulties with the chain rule, The Mathematics Education into the 21st century Project, Malaysia: University of Technology, available at http://math.unipa.it/~grim/21_project/21_malasya_Uygur209-213_05.pdf.

28. Zandieh, M.J. (2000), A Theoretical Framework for Analyzing Student Understanding of the Concept of Derivative, CBMS Issues in Mathematics Education, 8, 103-122.

Розділ: АКТУАЛЬНІ ПРОБЛЕМИ МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
Додано: 01.09.2017 | Переглядів: 37 | Рейтинг: 0.0/0
Статті з теми:
Всього коментарів: 0
avatar