Скуратовський Р.В. [ruslan@imath.kiev.ua]
Міжрегіональна Академія управління персоналом, Інститут математики НАНУ, Києво-Печерський ліцей №171 «Лідер», Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2017-v3-13/2017_3-13-Skuratovskii_Scientific_journal_FMO.pdf

ІЗОПЕРИМЕТРИЧНА ЗАДАЧА І КРИТЕРІЇ ВПИСАНОСТІ І ОПИСАНОСТІ
ДОВІЛЬНОГО ОПУКЛОГО МНОГОКУТНИКА В КОЛО

Анотація. У роботі узагальнено результат К. Ф. Гауса про вписаність правильного многокутника і представлено нові теореми про вписаність і описаність многокутників у коло та рівняння для знаходження радіусів кіл. Уточнено геометричне місце центра вписаного і описаного кіл. Сформульовано і доведено триангуляційний критерій вписаності. Показано можливість застосування теорем до розв’язування олімпіадних задач. Коротко описано нові здобутки в дослідженнях метричних співвідношень для вписаних і описаних многокутників. Доведено узагальнену теорему синусів для вписаного многокутника. Досліджено ознаки описаності многокутника навколо кола. Вперше отримано критерії вписаності в коло довільного многокутника з довільною кількістю кутів та представлено формулу для суми несусідніх кутів вписаного опуклого 2n-кутника.
Ключові слова: вписаний многокутник, описаний многокутник, триангуляційний критерій вписаності, узагальнена теорема синусів, олімпіадні задачі.

CRITERION OF BEING INSCRIBED AND CIRCUMSCRIBED FOR CONVEX POLYHEDRONS
R.V. Skuratovskii
Interregional Academy of Personnel Management, Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine and Kiev’s  Lyceum № 171 “Leader"

Abstract.  The work generalizes the result of K. F. Gauss on the refinement of a regular polygon and presents a new theorem about the refinement and opisanie polygons in the circle and the equation for finding the radii of the circles. Clarification of the locus of the center of the inscribed and circumscribed circles. Formulated and proved the triangulation criterion of refinement. The possibility of using theorems to the solution of Olympiad tasks. Briefly described new achievements in the studies of metric correlations for inscribed and circumscribed polygons. Proved a generalized theorem for the sine of the inscribed polygon. Investigated signs of opasnosti polygon around the circle. First obtained the criteria of refinement in the circle of an arbitrary polygon with an arbitrary number of angles and presents a formula for sums not adjacent angles inscribed in a convex 2n-gon.
Кеу words: inscribed polyhedron, circumscribed polyhedrons.

Список використаних джерел

1. Актершев С. П. Задачи на максимум и минимум / Актершев С. П. – СПб.: БХВ-Петербург,  2005. –  192 c.
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владіміров В.М., Владімірова Н.Г. Геометрія. 10-11  / Бевз Г.П., Бевз В.Г. – К.: Освіта, 2000. – 235 с.
3. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач /Габович И.Г. – Радянська школа, 1989. – 162 с.
4. Кушнір І., Фінкельштейн Л. Навчання у просторі / Кушнір І., Фінкельштейн Л. – К.: Факт, 2003. – 157 c.
5. Мерзляк А. Г,  Полонський В.Б, Якір М.С. Геометрія. 8 класс /Мерзляк А. Г,  Полонський В.Б, Якір М.С.  2008. – 238 с.
6. Смирнова А., Смирнов В. Вписанные и описанные многоугольники / Смирнова А., Смирнов В. // Квант, 2006. – №4. – С. 33-34.
7.  Мороз. М. Многокутники з непарною кількістю сторін навколо яких можна описати коло / Мороз. М.  // Математика в  рідній школі. – 2015. –  № 5. – С. 37-41.
8. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами// 2001. –  400 с.
9. Скуратовський Р.В. Критерій вписаності в коло довільлного n-кутника / Скуратовський Р.В. // Всеукраїнська науково-методична конференція “Сучасні науково-методичні проблеми математики”. –  С. 80-82. 
10. Виноградова И. А. Математический анализ в задачах и упражнениях / Виноградова И. А.,  Олехник С. Н., Садовничий В. А. –  МГУ, 1991. – Т.1. – 352 с.
11. Варфоломеев В. В. Вписанные многоугольники и полиномы Герона /Варфоломеев В. В. // Матем. сб., 2003. – Т. 194. – № 3. – С. 3-24.
12. Скуратовський Р.В. Критерії вписаності і описаності в коло довільлного n-кутника // Міжнародна науково-практична конференції «Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики» / Скуратовський Р.В. – К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2017. – С. 64-65.