Абрамчук В.С. та ін.
Вінницький державний педагогічний університет ім. М. Коцюбинського, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua//journals/2018-v1-15/2018_1-15-Abramchuk_Scientific_journal_FMO.pdf

ПОЗІНОМІАЛЬНІ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ МНОГОЧЛЕНИ І КВАДРАТУРНІ ФОРМУЛИ

Анотація. Інтегрування погано зумовлених функцій, наближення неперервних недиференційовних функцій гладкими функціями вимагають нового підходу до розв’язування цих проблемних задач. У роботі пропонується загальний підхід до розв’язання цих проблемних задач на основі інтерполяційних позіномів довільної гладкості. Одній і тій же сітковій функції   ставиться сім’я позіномів за рахунок комбінації вузлів сітки і параметра  :  ,   (або   якщо множник задається у формі ),  ,  ,   многочлен Лагранжа, що дозволяє для різних досліджуваних задач, додаткових умов, класів інтерполюючих функцій вибирати найкраще  наближення (на відміну від поліноміального єдиного наближення  ). Коефіцієнти многочлена Лагранжа і параметри  ,   позіноміального доданка визначаються однозначно з умов інтерполяції на сітці з   вузлів, якщо сіткова функція належить класу   – -их різниць одного знаку. В теорії катастроф і теорії хаосу однією з основних задач є гладка заміна змінних, яка дозволяє аналізувати математичну модель на стійкість. Значення параметра   є характеристикою, яка визначає на скільки гладка функція – многочлен  , може бути прийнятливою для відображення   (якщо  відрізняється від  незначно і не прийнятливою, якщо  відрізняється на багато. Параметр   визначає ступінь ризику моделі до зовнішніх впливів). Для інтегрування гладких функцій запропонований новий підхід побудови квадратурних формул відкритого (без крайніх меж) і закритого (з межами проміжка інтегрування) типів лише на основі оптимальних пар симетричних вузлів. Це дає змогу застосувати квадратурні формули обчислення або дослідження збіжності невласних інтегралів. Вибираючи сітки з оптимальними вузлами можна будувати адаптивні квадратурні формули найвищої точності для неперервних недиференційовних функцій. Інтерполяційні позіноми на відміну від інтерполяційних поліномів можна використовувати одночасно, як коректуючі та прогнозуючі характеристики поведінки функції, що є основою розв’язання багатьох практичних задач.
Ключові слова: Позіном, інтерполяція, квадратурні формули, оптимізаційні вузли.

POSINOMIAL INTERPOLATION MULTIPLICATIONS AND QUARTERLESS FORMS
Vasil Abramchuk, Ihor Abramchuk, Daria Pryshchepa, Olena Puhach
Vinnitsa State Pedagogical University named after M. Kotsybinsky, Ukraine

Abstract. Integration of poorly conditioned functions, the approximation of continuous non-differentiable functions by smooth functions, require a new approach to solving these problem problems. The paper proposes a general approach to solving these problem problems based on interpolation polynes of arbitrary smoothness. One and the same net function   the family of poses is put at the expense of a combination of nodes of a grid and a parameter  :  ,   (or   if the multiplier is given in the form  ),  ,  , Lagrange polynomial, which allows for the various problems studied, additional conditions, classes of interpolating functions to choose the best approximation (in contrast to the polynomial uniform approximation  ). The coefficients of the Lagrangian polynomial and the parameters, of the subordinate term are determined unambiguously from the conditions of interpolation on the grid with nodes if the net function belongs to a class    –  differences of one sign. In the theory of catastrophes and the theory of chaos, one of the main tasks is the smooth replacement of variables, which allows you to analyze the mathematical model for stability. The parameter   value is a characteristic that determines how smooth the function is  the polynomial , may be acceptable to display   (if  differs from  the insignificant and not acceptable, if  different for many. The parameter   determines the degree of risk of the model to external influences). To integrate smooth functions, a new approach is proposed for constructing quadrature formulas of open (without extreme bounds) and closed (with boundaries of the integration interval) types only on the basis of optimal pairs of symmetric nodes. This enables the use of quadrature computational formulas or the study of the convergence of improper integrals. When selecting meshes with optimal nodes, we can construct adaptive quadrature formulas of the highest accuracy for continuous non-differentiable functions. Interpolation zeros, unlike interpolation polynomials, can be used simultaneously as corrective and predictive features of the behavior of the function, which is the basis of solving many practical problems.
Key words: Position, interpolation, quadrature formulas, optimization nodes.

Список використаних джерел

1. Проблема прогнозування в задачах математичного моделювання / Абрамчук В.С. та ін. Фізико-математична освіта. 2016. Випуск 2(8). С. 9-16.
2. Абрамчук В. С., Абрамчук І. В. Наближене інтегрування жорстких задач. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2012. №7. С. 3-17.
3. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и програмное обеспечение / пер. с англ. М.: Мир, 2001. 575 с.
4. Коробов Н. М. Теоретикочисловые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963. 224 с.
5. Корнейчук Н. П., Никольский С. М. О Новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур/ В книге С. М. Никольский. Квадратурные формулы, 1974. С. 138-221.
6. Молодцов Д. А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука, 1987. 280 с.
7. Моторный В. П. О наилучшей квадратурной формуле для некоторых классов периодических дифференцируемых функций / Докл. Анн СССР 21, №5, 1973. С. 1060-1062.
8. Никольский С. М. Квадратные формулы. М.: Наука, 1974. 136 с.