Voskoglou М. [mvosk@hol.gr]
Graduate Technological Educational Institute of Western Greece, Patras, Greece
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua//journals/2018-v1-15/2018_1-15-Voskoglou_Scientific_journal_FMO.pdf

APPLICATION OF FUZZY RELATION EQUATIONS TO ASSESSMENT OF ANALOGICAL PROBLEM SOLVING SKILLS

Abstract. Analogical reasoning is a very important part of the human cognition in general for creativity and scientific discovery and in particular it is a very useful method for solving mathematical problems by retrieving from the memory similar problems solved in the past and adapting their solutions for use with the target problem.  On the other hand, the student assessment is an essential task of Education, because, apart of being a social need and demand, it helps the instructors in designing their future plans for a more effective teaching procedure. However, frequently an instructor is not sure about the exact grade corresponding to each student’s performance. Therefore, the student assessment is characterized by a degree of vagueness and/or uncertainty. Consequently, fuzzy logic, due to its property of characterizing the ambiguous real life situations with multiple values, becomes a reach resource of assessment techniques to be applied in such vague cases. In this work fuzzy relation equations are used as a tool for evaluating student analogical problem solving skills. The fuzzy relation equations are obtained by the composition of binary fuzzy relations, which are fuzzy sets defined on the Cartesian product of two crisp sets. The compositions of binary fuzzy relations are conveniently performed in terms of the membership matrices of them. The same elements of the membership matrices are used in these compositions as would be used in the regular multiplication of matrices, but the product and sum operations are here replaced with the min and max operations respectively. The notion of fuzzy relation equations was first proposed by Sanchez in 1976 and later was further investigated by other researchers.  A classroom application and other suitable examples are also presented in this article illustrating our results. Further, the present work is connected to our earlier research efforts on utilizing several other fuzzy Logic techniques as tools for the assessment of the student performance.
Keywords: Fuzzy Sets (FS), Fuzzy Binary Relations (FBR), Fuzzy Relation Equations (FRE), Analogical Reasoning (AR), Analogical Problem Solving (APS), Student Assessment.

ЗАСТОСУВАННЯ РІВНЯНЬ НЕЧІТКИХ ВІДНОШЕНЬ ДО ОЦІНКИ УМІНЬ РОЗВ’ЯЗУВАТИ АНАЛОГІЧНІ ЗАДАЧІ
Майкл Гр. Воскоглу
Вищий технологічний освітній інститут Західної Греції, Патрас, Греція

Анотація. Аналогічні міркування важливі взагалі для творчості та наукового відкриття, і, зокрема, це дуже корисний спосіб розв`язування математичних задач шляхом знаходження у пам'яті аналогічних задач, що розв’язувалися в минулому, та адаптації їх розв’язань до даної задачі. З іншого боку, оцінювання студента є важливою задачею освіти, оскільки воно є не тільки соціальною вимогою та потребою, а й допомагає інструкторам у розробці майбутніх планів щодо більш ефективної методики навчання. Проте часто інструктор не впевнений у точному оцінюванні, яке відповідає кожному студенту. Тому оцінювання студента характеризується ступенем нечіткості та / або невизначеності. Отже, нечітка логіка, обумовлені її властивістю характеризувати неоднозначні реальні життєві ситуації з кількома значеннями, стає доступним ресурсом оцінки, який слід застосовувати в таких невизначених випадках.
У даній роботі використовуються рівняння нечітких відношень як інструмент оцінки умінь розв`язувати аналогічні задачі студентами. Рівняння нечіткої відношень отримуються як композиція бінарних нечітких відношень, які є нечіткими множинами, визначеними декартовим добутком двох чітких множин. Композиції бінарних нечітких відношень зручно представляти в термінах матриць їх членів. У цих композиціях використовуються ті самі елементи матриць членів, які будуть використовуватися при регулярному множенні матриць, проте операції добутку та суми замінюються тут операціями знаходження мінімума та максимума відповідно. Поняття рівнянь нечітких відношень було вперше запропоновано Санчесом у 1976 році, а пізніше досліджувалося і іншими дослідниками.
Застосування на уроках та інші відповідні приклади також представлені у статті, що ілюструє результати автора. Також дана робота пов'язана з нашими попередніми дослідженнями з використанням декількох інших методів нечіткої логіки як інструментів для оцінювання студентів.
Ключові слова: нечіткі множини, нечіткі бінарні відношення, рівняння нечітких відношень, аналогічні міркування, решение аналогічних задач, оценка студентов.

References

1. Czogala, E., Drewniak, J. & Pedryz, W. (1982), Fuzzy relation equations on a finite set, Fuzzy Sets and Systems, 7, 89-101.
2. Genter, D. and Toupin, C. (1986), Systematicity and surface similarity in development of analogy, Cognitive Science, 10, 277-300.
3. Gick, M.L. & Holyoak, K.J. (1983), Schema induction and analogical transfer, Cognitive Psychology, 15, 1-38.
4. Hall, R. P. (1989), Computational approaches to analogical reasoning: A comparative analysis, Artificial Intelligence, 39 (1), 39-120.
5. Higashi, M. & Klir, G.J. (1984), Resolution of finite fuzzy relation equations, Fuzzy Sets and Systems, 13, 65-82.
6. Holyoak, K. J. (1985), The pragmatics of analogical transfer, in: G. H. Bower (Ed.), The psychology of learning and motivation, Vol. 19, Academic Press, New York, pp. 59-87.
7. Kaufmann, A., (1975), Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets, New York: Academic Press.
8. Klir, G. J. & Folger, T. A. (1988), Fuzzy Sets, Uncertainty and Information, New Jersey: Prentice-Hall.
9. Novick, L. R. (1988), Analogical transfer, problem similarity and expertise, Journal of Educational Psychology: Learning, Memory and Cognition, 14, 510-520.
10. Prevot, M. (1981), Algorithm for the solution of fuzzy relations, Fuzzy Sets and Systems, 5, 319-322.
11. Sanchez, E. (1976), Resolution of Composite Fuzzy Relation Equations, Information and Control, 30, 38-43.
12. Subbotin, I. Ya. Badkoobehi, H., Bilotckii, N. N. (2004), Application of fuzzy logic to learning assessment, Didactics of Mathematics: Problems and Investigations, 22, 38-41.
13. Subbotin, I. Ya., Bilotskii, N. N. (2014), Triangular fuzzy logic model for learning assessment, Didactics of Mathematics: Problems and Investigations, 41, 84-88.
14. Subbotin, I. Ya. (2014), Trapezoidal Fuzzy Logic Model for Learning Assessment, arXiv 1407.0823[math.GM].
15. Subbotin, I. Ya. & Voskoglou, M. Gr. (2014), Fuzzy Assessment Methods, Universal Journal of Applied Mathematics, 2(9), 305-311.
16. Subbotin, I. Ya. (2015), On Generalized Rectangular Fuzzy Model for Assessment, Global Journal of Mathematics, 2(1), 65-70.
17. Voskoglou, M. Gr. (1999), The Process of Learning Mathematics: A Fuzzy Set Approach, Heuristics and Didactics of Exact Sciences, 10, 9-13.
18. Voskoglou, M. Gr. (2003), Analogical problem solving and transfer, in Gagatsis, A. & Papastavridis, S. (Eds.), Mathematics in the Modern World: Didactics, Life and Society, Hellenic Mathematical Society, Athens, , pp. 295-303.
19. Voskoglou, M.Gr.(2017), Finite Markov Chain and Fuzzy Logic Assessment Models: Emerging Research and Opportunities, Columbia, SC: Createspace.com. – Amazon.
20. L.A. Zadeh (1971), Similarity relations and fuzzy orderings, Information Sciences, 3, 177-200