Лукашова Т.Д., Марченко К.В. [tanya.lukashova2015@gmail.com]
Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua//journals/2018-v1-15/2018_1-15-Lukashova_Scientific_journal_FMO.pdf

МОДУЛЬНІ АРИФМЕТИКИ

Анотація. У багатьох задачах теорії чисел, дискретної математики та теорії шифрів доводиться знаходити остачі від ділення на деяке натуральне число (модуль) та виконувати арифметичні дії над знайденими остачами. Розглядаючи сукупність остач та вводячи операції додавання, віднімання, множення та ділення на утворених множинах, приходимо до так званих модульних арифметик. Число елементів у цих арифметиках скінченне, тому іноді їх називають скінченними арифметиками.
Незважаючи на те, що арифметичні дії в модульних арифметиках вводяться аналогічно до того, як вони визначені для цілих чисел, деякі особливості виникають при множенні елементів, піднесенні їх до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем.
В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами відповідних арифметик. Тому в них можна обходитись без від’ємних та дробових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля.
Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик та особливостям виконання в них арифметичних дій присвячено лише окремі публікації.
У даній статті розглядаються особливості виконання арифметичних операцій у модульних  арифметиках, які конструюються на основі кілець класів лишків цілих чисел за заданим модулем. Значну увагу приділено питанням піднесення до степеня та добування кореня, наведено відповідні приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.
Ключові слова: кільця класів лишків, скінченні арифметики, модульні арифметики, арифметичні операції.

THE MODULAR ARITHMETICS
T.D. Lukashova, K.V. Marchenko
Makarenko Sumy State Pedagogical University

Abstract. In many problems of number theory, discrete mathematics and theory of ciphers you have to find the modulo for some positive integer (the modulus) and to perform arithmetic operations on found rest. Considering the totality of the balance and the introducing operations of addition, subtraction, multiplication and division for educated, come to the so-called modular arithmetic. The number of elements in these finite arithmetic, so sometimes called a finite arithmetic.
Despite the fact that the arithmetic operations in the comparison module are entered the same way as they are defined for integers, some peculiarities arise from the multiplication of the elements, the lifting them to a power and extracting the root, and then in the solution of equations and their systems.
In arithmetic to a Prime modulus, the results of the operations of subtraction and division by a nonzero element is also the relevant elements of arithmetic. So they can do without negative and fractional expressions. In addition, the arithmetic remains the most well-known algorithms for solving algebraic equations and their systems. On the other hand, in the arithmetic module according to the established rules can be violated, owing to the existence in them of zero divisors.
Despite the fact that the arithmetic operations in finite arithmetic relies heavily on the theory of congruences and of the theory of rings that are studied in the course algebra and number theory, the study of modular arithmetic and run them in arithmetic is concerned only separate publication.
This article discusses the features of execution of arithmetic operations in the comparison module, which are constructed on the basis of the residue class rings of integers with a given module. Considerable attention is given to issues of exponentiation, and root extraction, the appropriate examples are given. The material can be used for studying relevant topics on number theory and discrete mathematics, and discussed in the classroom courses and math.
Key words: rings of residues classes, modular arithmetic, finite arithmetic, arithmetic operations.

Список використаних джерел

1. Бич О. В. Будуємо нові арифметики. У світі математики. 1998.  № 1. С. 11-14.
2. Виленкин Н. Сравнения и классы вычетов. Квант. 1978. № 10. С. 4-8.
3. Геронимус А. Сравнения по простому модулю. Квант. 1978. № 11. С. 6-10.
4. Геронимус А. Диофантовы уравнения по простому модулю. Квант. 1978. № 12. С. 2-6.
5. Егоров А. Сравнения по модулю и арифметика остатков  . Квант. 1970. №5. С. 27-33.
6. Егоров А., Котова А. Необыкновенные арифметики. Квант. 1993. № 3-4. С. 37-42.
7. Лукашова Т. Д., Пискун К.В. Скінченні арифметики. У світі математики. 2015. № 1. С. 26-34.
8. Хмара Т. М. Незвичайні арифметики. У світі математики. 1974.  № 5. С. 7-14.
9. Попов Є. Д. Інтерпретація комплексних чисел у скінченних арифметиках. У світі математики. 1975. № 6. С. 110-121.
10. Окунєв Л.Я. Краткий курс теории чисел. М.: Учпедгиз, 1956. 240 с.
11. Требенко Д.Я., Требенко О.О. Алгебра і теорія чисел. К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2006. Ч.1. 400с.