Скуратовський Р.В., Руденко Д.В. [ruslcomp@mail.ru]
Міжрегіональна Академія управління персоналом, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua//journals/2018-v1-15/2018_1-15-Skuratovskii_Scientific_journal_FMO.pdf

СУМИ ПОСЛІДОВНИХ ЧИСЕЛ ФІБОНАЧЧІ

Анотація. У роботі виведено нові теореми про періодичність сум Фібоначчі, зведених за модулем, що рівний кількості доданків у кожній сумі з елементів послідовності Фібоначчі. У статті запропоновано нові властивості лінійних рекурсивних послідовностей, пов’язані з їх сумами. Зокрема у нашій статті вивчаються теоретико-числові характеристики чисел Фібоначчі та пов’язаних з нею послідовностей. Вперше досліджено необхідні і достатні умови періодичності сум Фібоначчі і умови кратності суми будь-яких  послiдовних чисел Фiбоначчi числу її доданків  . Наукова робота виникла навколо пошуку розв’язання однієї авторської задачі, яку було запропоновано на заключному етапі XIX Всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М.Й. Ядренка, що проходив у жовтні 2016 року в місті Чернівці, після цього автором було узагальнено умови турнірної задачі. За допомогою комп’ютерних обчислень було перевірено відповідні значення, які задовольняють умову доведеної нами теореми. Актуальність вибраної теми дослідження обумовлена численними застосуваннями послідовності чисел Фібоначчі та їх узагальнень у найрізноманітніших напрямках наукових досліджень, зокрема, вони широко використовуються у математиці, криптографії, кодуванні інформації, фізиці, філософії, ботаніці, біології, геології, кристалографії, медицині, психології, астрономії, економіці, комп’ютерних науках, мистецтві тощо.  Досліджені нами послiдовностi мають не лише теоретичне, а й прикладне значення, так досліджена нами послідовність Люка застосовується у кодуванні та криптографії. Крім того нами розглянуто нові послідовності скінченних сум послідовних елементів, що взагалі являють собою нову послідовність. Як і класична послідовність Фіббоначчі наші лінійні рекурентні послідовності знайдуть застосування в самій математиці, наприклад, Ю. Матiясевич з використанням чисел Фiбоначчi розв’язує вiдому 10-у проблему Гiльберта. Інша з обраних нами для узагальнення послідовностей а саме послідовність чисел  Люка досліджується і в наш час [10]. Досліджено закономірність зміни періоду послідовності введених нами сум послідовних елементів в залежності від того чи є  5   квадратичним лишком  в . Наведено строге обґрунтування за допомогою теоретико-числового апарату.  Всі твердження  можуть бути включені  в спецкурси з  учбового плану, що орієнтований для підготовки магістрів-педагогів а також можуть бути використані як позакласний матеріал керівниками гуртків.
Ключові слова: лінійна рекурсивна послідовність, послідовність Фібоначчі і Люка, періодичність різниць часткових послідовність сум Фібоначчі і Люка, олімпіадні задачі, матеріал для гурткової роботи.

THE SUM OF CONSECUTIVE FIBONACCI NUMBERS
R.V. Skuratovskii
MAUP, lyceum 171, Ukraine

Abstract. New properties of the sums of linear recursive sequences  were proposed in this paper. Particularly, theoretical-numerical characteristics of Fibonacci,  Luka and associated with them number sequences are being researched. For the first time necessary and sufficient conditions of periodicity of Fibonacci and Luka sums were investigated. Also the conditions of the divisibility of any sum of the consecutive m Fibonacci numbers by their amount. Scientific work arose around the solution of one of the author's problem, which was offered at the final stage of XIX Ukrainian tournament  which was dedicated to professor M. Y. Yadrenko. This tournament had place during October 2015 year in Chernivcy city. The problem was generalized by the author of this paper after this tournament. Using computer calculations, we checked the corresponding values that satisfy the condition of the theorem proved by us. The relevance of the chosen topic of research is caused  by numerous applications of the sequence of Fibonacci numbers and their generalizations in a variety of scientific research areas, in particular, they are widely used in mathematics, cryptography biology, geology, crystallography, medicine, psychology, astronomy, economics, computer science, art, etc. The sequences studied by us have not only a theoretical but also an applied value, so the Luke sequence we studied in our application is used in coding and cryptography. In addition, we consider new sequences of finite sums of successive elements, which in general represent a new sequence. As well as the classical Fibonacci sequence, our linear recurrence sequences will be used in the mathematics itself, for example, Y. Matyaselevich uses the numbers of Fibonacci to solve the known 10th Hilbert problem. Another of our choices for generalization of sequences, namely the sequence of Luke's numbers, is also being investigated in our time [10]. The regularity of the change in the period of the sequence of the imposed sum of successive elements, depending on the quadraticity remainder of the number 5 in Z_p.  The rigorous argumentation is given with the help of the numbers theory theorem. All statements can be included in the special courses of the curriculum, which is aimed at preparing masters-teachers and also can be used as extracurricular material by club leaders. All statements can be included in the special courses of the curriculum, which is aimed at preparing masters-teachers and also can be used as extracurricular material by club leaders.
Key words: linear recursive sequence, Fibonacci sequence and Luke, olympiad tasks, material for circle work.

Список використаної лiтератури

1. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи.  М.: Наука, 1978.  144 с.
2. Кнут Д. Искусство программирования. Основные алгоритмы. Т. 1 3-е изд. М.: Вильямс, 2006.
3. Лужецький В.А. Високонадiйнi математичнi Фiбоначчi-процесори. “УНIВЕРСУМ-Вiнниця”. 2000. 248 с.
4. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике. М.: Наука, 1983. 48 с.
5. Найман Э.Л. Малая энциклопедия трейдера. 9-е изд., перераб. и доп. М.: Альпина Бизнес Букс, 2008.
6. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1, Том 2.  М.: Мир,. 1988.  430 с.
7. Сороко Е.М. Структурная гармония систем.  Минск: Наука и техника, 1984. 
8. Стахов А.П. Металлические пропорции – новые математические константы природы. «Академия Тринитаризма», М., Эл. № 77-6567, публ.14748, 22.03.2008.
9. Spinadel V.W. The metallic means family and forbidden symmetries the metallic means family and forbidden symmetries. «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12603, 18.11.2005.
10. Новосад М.В., Дичка І.А. Числа Люка. Науковий вісник Чернівецького університету. 2009. Вип. 446. С. 11- 15.