Яблочніков С.Л. та ін. [vvkfek@mail.ru]
Вінницький соціально-економічний інститут Університету «Україна», Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua//journals/2018-v1-15/2018_1-15-Yablochnikov_Scientific_journal_FMO.pdf

МЕТОД ПЕРЕТВОРЮЮЧОЇ  МАТРИЦІ
ЯК ДОКАЗ ІСНУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ МНОГОВИДІВ

Анотація. Авторами успішно вирішено задачу пошуку локального ненульового інтегрального многовиду нелінійної (n+m) – вимірної системи звичайних диференційних рівнянь, права частина якої є періодичною вектор-функцією від незалежної змінної та містить параметр. Загальний підхід до розв’язання вказаного вище класу задач, у свій час, було розроблено Н. Боголюбовим, Ю. Мітропольским та А. Самойленко, котрий, зокрема, передбачав формування функції Гріна. Однак, автори даної публікації, під час практичного вирішення сформульованої вище задачі, прийшли до висновку, що запропонований попередниками загальний підхід, в даному випадку, фактично, реалізувати не можливо. В свою чергу, вони висунули припущення, що для системи диференційних рівнянь, котра досліджується, існує n-вимірний тривіальний інтегральний многовид при будь-яких значеннях параметру, а відповідна лінійна підсистема рівнянь також має m-параметричне сімейство періодичних розв’язків. На думку авторів, це свідчить, зокрема, про те, що лінійній підсистемі рівнянь не притаманна властивість так званої експоненційної дихотомії. Ними також висловлюється припущення стосовно того, що матриця лінійного наближення системи при нульовому значенні параметру, є певною функцією незалежної змінної. Доведення існування інтегрального многовиду авторами статті фактично зведено до пошуку роз’вязку операторних рівнянь в просторі обмежених Ліпшиц-неперервних періодичних вектор-функцій. З цією метою, вихідна система звичайних диференційних рівнянь лінеарізується і, в подальшому, до неї застосовується, розроблений, у свій час, Купцовим М. І. та Яблочніковим С. Л. й згодом модифікований ними, метод перетворючої матриці. Зазначений модифікований метод перетворюючої матриці авторами даної статті було поширено, в тому числі, й на окремий випадок відсутності лінійних за параметром членів операторних рівнянь. Крім того, визначені й достатні умови існування в околі стану рівноваги системи n-вимірного ненульового періодичного інтегрального многовиду.
Ключові слова: метод перетворюючої матриці, інтегральний многовид, система звичайних диференційних рівнянь, операторне рівняння, зменшення розмірності фазового простору.

THE METHOD OF TRANSFORMING MATRIX FOR THE EVIDENCE OF INTEGRAL MANIFOLDS` EXISTENCE
Yablochnikov Sergiy
Vinnitsa socio-economic Institute University "Ukraine"
Kuptsov Mikhail
The Academy of Law Management
Yablochnikova Mariya, Kuptsov Ivan
Moscow Institute of physics and technology

Abstract. The authors successfully solved the problem of finding a local nonzero integral manifold of a nonlinear (n + m) - dimensional system of ordinary differential equations, the right part of which is a periodic vector function of an independent variable and contains a parameter. The general approach to solving the above-mentioned class of tasks, in its time, was developed by Bogolyubov N., Mitropolsky Y. and Samoilenko A., which, in particular, envisaged the formation of the Green's function. However, the authors of this publication, during the practical solution of the above problem, came to the conclusion that the general approach proposed by the predecessors, in this case, in fact, could not be realized. In turn, they suggested that for the system of differential equations under investigation there is an n-dimensional trivial integral variety for any parameter values, and the corresponding linear subsystem of equations also has an m-parametric family of periodic solutions. According to the authors, this is evidenced, in particular, by the fact that the linear subsystem of equations is not inherent in the property of the so-called exponential dichotomy. They also suggest that the matrix of the linear approximation of a system with a zero value of a parameter is a certain function of an independent variable. The proof of the existence of an integral variety by the authors of the article is actually reduced to the search for the decomposition of operator equations in the space of bounded Lipschitz-continuous periodic vector-valued functions. To this end, the original system of ordinary differential equations is linearized and subsequently applied to it, developed in its time by Kuptsov M. I. and Yablochnikov S. L., and subsequently modified by them, the method of transforming the matrix. The mentioned modified method of transforming the matrix by the authors of this article was extended, including, on a separate case, the absence of linear operator operator parameters in the parameter. In addition, sufficient and sufficient conditions for the existence of an equilibrium state of a system of n-dimensional nonzero periodic integral manifold are established.
Keywords: the method of transforming matrix, integral manifold, ordinary differential equations system, operator equation, dimensional reduction of phase space.

Список використаних джерел

1. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Львов: Изд-во АН УССР, 1945. 139 с.
2. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. 512 с.
3. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987. 301 с.
4. Самойленко А. М., Теплінський Ю. В., Пасюк К. В. Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь. Нелінійні коливання. 2010. Т. 13, № 2. С. 253–271.
5. Курбаншоев С.З., Нусайриев М.А. Построение оптимальных интегральных многообразий для нелинейных дифференциальных уравнений. Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 11–12. С. 807–812.
6. Щетинина Е. В. Интегральные многообразия быстро-медленных систем и затягивание потери устойчивости. Вестник Самарского государственного университета. 2010. № 6 (80). С. 93-105.
7. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации. Л.: ЛГУ, 1991. 142 с.
8. Волков Д. Ю. Бифуркация инвариантных торов из состояния равновесия при наличии нулевых характеристических чисел. Вестник Ленинградского университета. 1988. Серия 1. №2. С. 102 – 103.
9. Купцов М. И. Существование интегральных многообразий и периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений: дис. … к-та физ.-матем. наук / УдГУ. Ижевск, 1997. 133 с.
10. Купцов М. И. Локальное интегральное многообразие систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. №11. С. 1579-1580.
11. Купцов М. И. Об условиях существования интегрального многообразия системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производных. Труды средневолжского математического общества. 1999. Т.2, №1. С. 95–96.
12. Купцов М. И. Существование интегрального многообразия системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. №6. С. 855.
13. Купцов М. И., Теняев В.В., Купцов И.М. Об одной модификации метода интегральных многообразий в системах управления. Вестник РГРТУ. 2016. № 55. С. 146–152.
14. Kuptsov M. I.  Local integral manifold of a system of differential equations. Differential equations. 1998. vol. 34, no. 7, pp. 1005–1007.
15. Купцов М. І., Яблочніков С.Л. Аспекти застосування методу перетворюючої матриці. Фізико-математична освіта: науковий журнал. 2016. Випуск 1(7). С. 87–95.
16. Терёхин М. Т. Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: РГПИ, 1992. 88 с.