Валерій Погребний
Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2015-v2-5/2015_2-5-Pogrebnoy_Scientific_journal_FMO.pdf

ПРО ОБМЕЖЕНІСТЬ МНОЖИН: РІЗНІ АСПЕКТИ

Анотація. Погребний В.Д. Про обмеженість множин: різні аспекти. Поняття обмеженості множини є одним з найважливіших математичних понять. В класичній математиці розглядаються обмежені множини на прямій, на евклідовій площині, у тривимірному евклідовому просторі. У сучасній математиці це поняття узагальнюється і вивчається у різних аспектах. Сучасна математика є наукою про структури. З точки зору цих основних структур, обмеженість можна розглядати в метричному, порядковому і тополого-алгебраїчному аспектах. В деяких просторах обмеженість з метричної точки зору співпадає з обмеженістю з тополого-алгебраїчної точки зору, а в деяких не співпадає. Ці проблеми розглядаються у даній роботі. Також аналізується поняття обмеженості множин в топологічних лінійних просторах. Це поняття може бути введене через збіжність послідовностей. В той же час, як відомо, структура топологічного лінійного простору не адекватна збіжності послідовностей. Природньо, виникає проблема: якщо ввести нове поняття обмеженості, використовуючи апарат збіжності напрямленостей, що адекватний структурі топологічного лінійного простору, то чи одержимо ми нове поняття обмеженості множини? Ця проблема аналізується і доведено, що одержуємо те ж саме поняття обмеженості. З'ясовується причина такого явища з точки зору різного значення послідовностей чисел і послідовностей елементів множини в топологічному лінійному просторі.
Ключові слова: множина, обмеженість, простір, послідовність, напрямленість.

Аннотация. Погребной В.Д. Об ограниченности множеств: различные аспекты. Понятие ограниченности множеств является одним из важнейших математических понятий. В классической математике рассматриваются ограниченные множества на прямой, на евклидовой плоскости, в трехмерном евклидовом пространстве. В современной математике это понятие обобщается и изучается в различных аспектах. Современная математика – это наука о структурах. С точки зрения этих основных структур, ограниченность можно рассматривать в метрическом, порядковом и тополого-алгебраическом аспектах. В некоторых пространствах ограниченность с метрической точки зрения совпадает с ограниченностью с тополого-алгебраической точки зрения, а в некоторых не совпадает. Эти проблемы рассматриваются в данной работе. Также анализируется понятие ограниченности множеств в топологических линейных пространствах. Это понятие может быть введено через сходимость последовательностей. В то же время, как известно, структура топологического линейного пространства не адекватна сходимости последовательностей. Естественно, возникает проблема: если ввести новое понятие ограниченности, используя аппарат сходимости сетей, который адекватен структуре топологического линейного пространства, то получим ли мы новое понятие ограниченности множества? Эта проблема анализируется и доказано, что получается то же понятие ограниченности. Выясняется причина такого явления с точки зрения различного значения последовательностей чисел и последовательностей элементов множества в топологическом линейном пространстве.
Ключевые слова: множество, ограниченность, пространство, последовательность, сеть.

 Abstract. Pogrebnoy V. About limitation of sets: various aspects. The notion of limited sets is one of the most important mathematical concepts. In classical mathematics we consider bounded sets on the line, on Euclid’s plane, in three-dimensional Euclidean space. In modern mathematics, this notion is generalized and studied in various aspects. Modern mathematics is a science of structures. From the point of view of these basic structures, the limitations can be considered in the metric, order and topology-algebraic aspects. In some limited spaces from a metric point of view coincides with the constraints on topology-algebraic point of view, and some do not match. These issues are discussed in this paper. It also analyzes the concept of limited sets in topological linear spaces. This concept may be introduced through the convergence sequences. At the same time, as we know, the structure of a topological linear space is not adequate for the convergence of sequences. Of course, there is a problem: if we introduce a new notion of boundedness, using the device for the convergence of nets, adequate to the structure of a topological linear space, we obtain a new notion of limited many? This problem is analysed and it is proved that we get the same concept of limited. It turns out the reason for this phenomenon from the point of view of different meanings of various number sequences and sequences of elements of a set in a topological linear space.
Keywords: set, limitation, space, sequence, net.

Список використаних джерел

1. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств / Б.З. Вулих. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 408 с.
2. Келли Дж. Л. Общая топология / Дж. Л. Келли. – М.: Наука, 1968. – 384 с.
3. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1972. – 496 с.
4. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. СМБ / С.Г. Крейн и др. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
5. Робертсон А.П. Топологические векторные пространства / А.П. Робертсон, В.Дж. Робертсон. – М.: Мир, 1967. – 259 с.
6. Шефер Х. Топологические векторные пространства / Х. Шефер. – М.: Мир, 1971. – 360 с.
7. Zelasko W. Metric generalisations of Banach algebras // Rosprawy Matematycne, Warszawa, 47, 1965.