Лиман Ф.М., Одінцова О.О. [mathematicsspu@gmail.com]
Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2018-v2-16/2018_2-16-Lyman_Odintsova_FMO.pdf

СТРУКТУРНІ ВЛАСТИВОСТІ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ –
 ВАЖЛИВА СКЛАДОВА МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬ ВЧИТЕЛІВ МАТЕМАТИКИ

Анотація. У статті досліджуються деякі властивості поля (Q; +, ·; 0, 1) раціональних чисел, його підкілець та підгруп адитивної групи (Q; +; 0) і мультиплікативної групи (Q \ {0}; ·; 1) цього поля.
Одним із основних підкілець поля раціональних чисел є кільце цілих чисел. Стимулом його розширення до мінімального числового поля, яким є поле раціональних чисел, є проблема розв’язності рівняння ax = b з цілими коефіцієнтами. Умова мінімальності поля, де назване рівняння має розв’язок при а ≠ 0, дає відповідь на питання про зображення довільного раціонального числа часткою двох цілих чисел.
Отже, множина раціональних чисел Q = Z È Q \ Z, де Z– множина цілих чисел, а Q \ Z– множина дробових чисел. Загальновідомим є однозначне подання будь-якого раціонального числа q ≠ 0 нескоротним дробом. Проте, однозначних записів ненульових раціональних чисел існує нескінченна кількість. Наприклад, цікавим і корисним у багатьох задачах є однозначне подання раціонального числа q > 0 у вигляді:  , де р – просте натуральне число, n Î Z, a і b – натуральні числа, причому (a,b) = (a, p) = (b, p) = 1. Для q< 0 відповідно матимемо:   .
Стосовно кілець раціональних чисел, розглянуто питання їх дискретності та щільності. Доведено, зокрема, що щільним буде кожне підкільце поля раціональних чисел, яке містить дробове число.
При дослідженні властивостей числових полів, яких не має поле раціональних чисел, продемонстровано доведення його неповноти без використання ірраціональних чисел.
При розгляді адитивних і мультиплікативних груп раціональних чисел запропоновано одне з можливих доведень того, що група автоморфізмів групи (Q; +; 0) ізоморфна групі (Q \ {0}; ·; 1), а група автоморфізмів підгруп групи (Q; +; 0) ізоморфна підгрупам групи (Q \ {0}; ·; 1). Цей факт проілюстровано на прикладі групи (Z ; + ; 0) цілих чисел та групи (Q_p; +; 0) р­-ових дробів для довільного простого числа р.
Знання цих фактів допоможе вчителю математики поглибити та осучаснити знання учнів про систему раціональних чисел.
Ключові слова: група, кільце, автоморфізм, раціональне число, дріб, дробове число, дискретність, щільність.

THE STRUCTURE PROPERTIES OF RATIONAL NUMBERS ARE IMPORTANT COMPONENT
OF MATHEMATICAL KNOWLEDGE OF MATHEMATICS TEACHERS
Fedir Lyman, Oksana Odintsova
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine

Abstract. There are investigated some structure properties of field (Q; +, ·; 0, 1) rational numbers, some properties of its subfields, some properties of subgroups of additive group (Q; +; 0) and multiplicative group (Q \ {0};  ·;  1) of this field in this article.
One of the basic subrings of rational numbers field is integer numbers ring. The stimulus to its extension to minimal numeral field (which are rational numbers field) is the problem of equation’s ax = b with integer coefficients soluble. When such equation has a solution with a ≠ 0, the minimal field condition gives an answer about representation any rational number as a quotient of two integer numbers.
Thus, the rational numbers set Q = Z ÈQ \ Z when Z – the integer numbers set and Q \ Z– the fraction numbers set. The uniquely representation any rational number q ≠ 0 as a two integer numbers quotient is commonly known. But uniquely representations any rational number exist infinitely a lot. For example, it’s interesting and useful for many problems next uniquely representation any rational number: if q > 0 then  when p – prime number, n ÎZ, a and b are natural numbers being (a, b) = (a, p) = (b,p) = 1; if q < 0 then  .
On subject of rings of rational numbers field it’s consider the issues about their discreteness and density. It’s proved, in particular, that every some ring of rational numbers field is density when fractional number belongs to it.
When we investigated the properties of numeral fields which rational numbers field don’t have,it’s showed the incompleteness of this field. It’s proved this fact without using the irrational numbers.
It’s  suggested the one of possible proof that the group of automorphisms of group (Q; +; 0) is isomorphic to group (Q \ {0}; ·; 1), when we consider the additive and multiplicative groups of rational numbers field. It’s proved that the group of automorphisms of group‘s (Q; +; 0) subgroups is isomorphic to subgroups of group    (Q\ {0}; ·;  1) too. The last fact is illustrated by an example of group (Z ; + ; 0) integer numbers and an example of group (Q_p; +; 0) p- adic numbers for any prime number p.
The teachers of Mathematics may make the knowledge of their students more deepen and more modern with all these facts.
Key words: group, ring, field, automorphism, ration number, fraction, fraction number, discreteness, density.

Список використаних джерел

1. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Ч.1.: Арифметика. Алгебра. Анализ. Москва-Ленинград, 1933. 469 с.
2. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 1. Москва: Просвещение, 1982. 208 с.
3. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 2. М.: Просвещение, 1983. 190 с.
4. Вивальнюк Л.М., Григоренко В.К., Левіщенко С.С. Числові системи. Київ: Вища школа, 1988. 272 с.
5. Лиман Ф.М. Числові системи. Суми: МакДен, 2010. 192 с.
6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. Москва: Мир, 1974. 336 с.
7. Черников С.Н. Группы с  заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980. 384 с.