Лукашова Т.Д., Марченко К.В. [tanya.lukashova2015@gmail.com]
Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2018-v2-16/2018_2-16-Lukashova_Marchenko_FMO.pdf

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ В МОДУЛЬНИХ АРИФМЕТИКАХ

Анотація. У багатьох задачах теорії чисел та дискретної математики доводиться виконувати арифметичні дії над цілими числами за певним модулем. При такому підході кожне ціле число можна ототожнити з остачею за цим модулем та розглядати множину лишків як нову, модульну арифметику.
Зазначимо, що арифметичні операції над елементами утвореної таким способом алгебраїчної структури вводяться подібно до того, як вони визначені для цілих чисел, і визначаються відповідними остачами від ділення на модуль. Проте, залежно від модуля, деякі особливості можуть виникати при множенні класів лишків та похідних від нього операцій – піднесенні до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем.
В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами цих арифметик. Тому в них можна обійтись без від’ємних та дробових числових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля.
Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичних дій, розв’язуванню рівнянь та їх систем присвячено лише окремі публікації.
У даній статті розглядаються особливості розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем у модульних арифметиках. Досліджено питання розв’язності окремих типів алгебраїчних рівнянь (зокрема, лінійних та квадратних) та систем лінійних рівнянь у арифметиках за простим модулем, наведено відповідні алгоритми і приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.
Ключові слова: кільця класів лишків, модульні арифметики, скінченні арифметики, алгебраїчні рівняння, лінійні рівняння, системи лінійних рівнянь.

SOLVING ALGEBRAIC EQUATIONS IN MODULAR ARITHMETIC
T.D. Lukashova, M.V. Lukashova, K.V. Marchenko
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine

Abstract. It is necessary to perform arithmetic operations for a particular module in many tasks of Theory of  Numbers, Discrete Mathematics and Cipher Theory. In this case, each integer can be identified with the remainder of this module and consider a plurality of residues as a new Modular Arithmetic.
In spite of the fact arithmetic operations over elements of an algebraic structure formed in this way are introduced in the same way as they are defined for integers, and are determined by the corresponding residues from division into a module. However, depending on the module, some features may arise when multiplying the classes of residues and derivative operations, elevation to degree and extraction of the root, when solving equations and their systems.
In Arithmetics for a simple module, the results of the operations of subtraction and division for a non-zero element also are the elements of the corresponding Arithmetics. Therefore, they can be considered without negative and fractional expressions. Moreover, in such an Arithmetics, most of well-known algorithms of solving algebraic equations and their systems are preserved. On the other hand, in the Arithmetics for the compiled module, the established rules may be violated, what is explained by the existence of dividers of zero in them.
Despite the fact that the implementation of arithmetic operations in finite Arithmetics basing mostly on the Theory of Congruences and the Theory of Rings, which are studied in the course of Algebra and Theory of Numbers, only some individual publications are devoted to the study of Modular Arithmetics, the peculiarities of the implementation of arithmetic operations and the solving algebraic equations and their systems, in them.
In this article  peculiarities algebraic equations and their systems in Modular Arithmetic. The solvability of certain types of algebraic equations (in partiqular, linear and square equations), as well as systems of linear equations in arithmetic by a simple module, is explored, and the corresponding algorithms and examples are given. The problem of solvability of certain types of algebraic equations, as well as systems of linear equations in Modular Arithmetic is explored. Corresponding algorithms and examples are given in this article. The material of the article can be used in the study of relevant topics in the Theory of Numbers and Discrete Mathematics, as well as at the lessons of the special courses and mathematical circles.
Key words: rings of residues classes, Modular Arithmetic, Finite Arithmetic, algebraic equations, linear equations, systems of linear equations.

Список використаних джерел

1. Бич О. В. Будуємо нові арифметики. У світі математики. 1998. № 1. С. 11-14.
2. Геронимус А. Диофантовы уравнения по простому модулю. Квант. 1978. № 12. С. 2-6.
3. Виленкин Н. Сравнения и классы вычетов. Квант. 1978. № 10. С. 4-8.
4. Геронимус А. Сравнения по простому модулю. Квант. 1978. № 11. С. 6-10.
5. Егоров А., Котова А. Необыкновенные арифметики. Квант. 1993. № 3-4. С. 37-42.
6. Егоров А. Сравнения по модулю и арифметика остатков. Квант. 1970. №5. С. 27-33.
7. Лукашова Т. Д., Пискун К.В. Скінченні арифметики. У світі математики. 2015. № 1. С. 26-34.
8. Михелович Ш. Х. Материалы для факультативных занятий по дополнительным вопросам арифметики в средней школе Ч. 1. Даугавпилс: Даугавпилсский пед. Инст-т, 1973. 178 с.
9. Попов Є. Д. Інтерпретація комплексних чисел у скінченних арифметиках. У світі математики. 1975. № 6. С. 110-121.
10. Хмара Т. М. Незвичайні арифметики. У світі математики. 1974. № 5. С. 7-14.
11. Окунев Л.Я. Краткий курс теории чисел. М.:Учпедгиз, 1956. 240 с.
12. Лукашова Т.Д., Марченко К.В. Модульні арифметики. Фізико-математична освіта. 2018. Випуск 1(15). С. 246-251
13. Михелович Ш. Х. Теория чисел. М.: «Высшая школа». 1967. 336 с.
14. Бородін О. І. Теорія чисел. К. : «Радянська школа», 1960. 246 с.