Юрій Хворостіна [y-y-y@fizmatsspu.sumy.ua]
Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2015-v2-5/2015_2-5-Khvorostina_Scientific_journal_FMO.pdf

КОНЦЕПТУАЛЬНІ ОСНОВИ ДОСЛІДЖЕННЯ РОЗПОДІЛІВ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН, ПОВ’ЯЗАНИХ ЗІ ЗНАКОЗМІННИМИ РЯДАМИ ЛЮРОТА

Анотація. Хворостіна Ю.В. Концептуальні основи дослідження розподілів випадкових величин, пов’язаних зі знакозмінними рядами Люрота. Досліджується лебегівська структура розподілу (вміст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярно неперервної компонент), спектральна структура сингулярного розподілу (належність розподілу до канторівського, салемівського чи квазіканторівського типу), тополого-метричні та фрактальні властивості спектра (мінімальної замкненої множини, на якій зосереджений розподіл) випадкових величин, які є: 1) сумою знакозмінного ряду Люрота, натуральні елементи якого є випадковими величинами з наперед заданими дискретними розподілами (вивчаються випадки незалежності та марковської залежності); 2) випадковими неповними сумами заданих знакозмінних рядів Люрота, коефіцієнти яких є незалежними випадковими величинами або випадковими величинами, які утворюють ланцюг Маркова. Для випадкової неповної суми заданого ряду з незалежними коефіцієнтами знайдено оцінку модуля характеристичної функції та досліджено його поведінку на нескінченності.
Ключові слова: знакозмінний ряд Люрота, лебегівська структура розподілу, спектральна структура сингулярного розподілу, розмірність Хаусдофа-Безиковича носія, нескінченні згортки Бернуллі, неповна сума ряду, модуль характеристичної функції випадкової величини.

Аннотация. Хворостина Ю.В. Концептуальные основы исследования распре­деления случайных величин, связанных с знакопеременными рядами Люрота. Исследуется лебеговская структура (содержание дискретной, абсолютно непрерывной и сингулярно непрерывной компонент), спектральная структура сингулярного распределения (является распределением канторовского, салемовского или квазиканторовского типа), тополого-метрические и фрактальные свойства спектра (минимальное замкнутое множество, на котором сосредоточено распределение) случайных величин, которые есть: 1) суммой знакопеременного ряда Люрота, натуральные елементы которого есть случайными величинами с наперед заданным распределением (изучаются случаи независимости и марковской зависимости); 2) случайными неполными суммами заданого знакопеременного ряда Люрота, коэффициенты которого есть независимыми случайными величинами или случайными величинами, которые образуют цепь Маркова. Для случайной неполной суммы заданого ряда с независимыми коэффициентами найдено оценку модуля характеристической функции и исследовано его поведение на бесконечности.
Ключевые слова: знакопеременный ряд Люрота, лебеговская структура распределения, спектральная структура сингулярного распределения, размерность Хаусдорфа-Безиковича носителя, бесконечные свертки Бернулли, неполная сумма ряда, модуль характеристической функции случайной величины.

Abstract. Khvorostina Yu. Conceptual framework for investigating the distribution of the random variables that are associated with alternating Lüroth series. We consider the properties of the distributions of the sums of the random alternating Lüroth series. We study four classes of random variables. In the first class the random variables are represented by the alternating Lüroth series with independent elements. The second class is the random alternating Lüroth series which elements are random variables with Markovian dependence. The third class is the random subsums of given series with the independence random coefficients. The fourth class is the random subsums of given series which coefficients form a homogeneous Markov chain. The content of discrete, absolutely continuous and singular continuous components in Lebesgue structure of distributions of these random variables is studied. In addition, the belonging of the singular distribution to Cantor, Salem or quasi-Cantor type is investigated. The topological, metric and fractal properties of the minimal closed support of the distribution of random variables are described. We proved the purity of the distribution of the first three classes of random variables. The conditions of belonging to each pure type of probability distribution are received. We give examples of the pure probability distributions and their mixtures for the fourth class. The problem of the spectral structure of the singular distribution of random variables, that represented by the alternating Luroth series with independent elements, are fully solved. The conditions, under which the distribution of other random variables, belong to the singular distribution of Cantor type are received.
Keywords: alternating Luroth series, Lebesgue structure of probability distribution, spectrums structure of singular distribution, Hausdorff-Besicovitch dimension, infinite Bernoulli convolution, subsums of the series, modulus of the characteristic function of the random variable.
 

Список використаних джерел

1. Хворостіна Ю. В. Множина неповних сум знакозмінного ряду Люрота та розподіли ймовірностей на ній / М. В. Працьовитий, Ю. В. Хворостіна // Наук. час. НПУ імені М. П. Драгоманова. Серія 1. Фіз-мат. науки. – К.: НПУ імені М. П. Драгоманова, 2009. – №10. – С.14–28.
2. Хворостіна Ю. В. Основи метричної теорії зображення дійсних чисел знакозмінними рядами Люрота та найпростіші застосування / М. В. Працьовитий, Ю. В. Хворостіна // Наук. час. НПУ імені М. П. Драгоманова. Серія 1. Фіз-мат. науки. – К.: НПУ імені М. П. Драгоманова, 2010. – №11. – С.102–118.
3. Хворостіна Ю. В. Випадкові неповні суми знакозмінного ряду Люрота, доданки якого утворюють однорідний ланцюг Маркова / Ю. В. Хворостіна // Наук. час. НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фіз-мат. науки. – К.: НПУ імені М. П. Драгоманова, 2011. – №12. – С.37–46.
4. Хворостіна Ю. В. Властивості розподілу випадкової неповної суми заданого знакозмінного ряду Люрота з незалежними коефіцієнтами / М.В. Працьовитий, Ю.В.Хворостіна // Наук. час. НПУ імені М. П. Драгоманова. Серія 1. Фіз-мат. науки. – К.: НПУ імені М. П. Драгоманова, 2013. – №15. – С.74–86.
5. Khvorostina Yu. Topological and metric properties of distributions of random variables represented by the alternating Lüroth series with independent elements / M. Pratsiovytyi, Yu. Khvorostina // Random Oper. Stoch. Equ. –  2013. –  Vol. 21, no. 4. – P. 385–401.
6. Хворостіна Ю. В. Випадкова величина, символи  -зображення якої є випадковими величинами з марковською залежністю / М. В. Працьовитий, Ю. В. Хворостіна // Теорія ймовірностей та математична статистика. – К.: Вид-во ТЙіМС. – 2014. – Випуск 91. – С.143-153.
7. Khvorostina Yu. The random incomplete sums of alternating Luroth series with elements forming a homogeneous Markov chain / Yu. Khvorostina // Fifth International Conference on Analytic Number Theory and Spatial Tessellations: Abstracts. – Kyiv: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013. – P. 100.
8. Хворостіна Ю. В. Спектральні властивості розподілу випадкових знакозмінних рядів Люрота, елементи яких утворюють однорідний ланцюг Маркова / М. В. Працьовитий, Ю. В. Хворостіна // IV міжнародна ганська конференція, присвячена 135 річниці від дня народження Ганса Гана, 30 червня – 5 липня 2014 р.: Тези доповідей. – Чернівці: Чернівецький національний університет імені Ю. Федьковича, 2014. – С.168-169.