Тургунбаев Р.М., Шарипова Л.Д.
[musamat1@yandex.ru]
ТГПУ имени Низами, ТашИИТ, Ташкент, Узбекистан
 Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2018-v2-16/2018_2-16-Turgunbaev_Sharipova_FMO.pdf
ОБ ОДНОЙ ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ НА РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ КРИВЫМИ
Аннотация. В школьном курсе геометрии расстояние от точки A до прямой l определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l . А формулы расстояния как между точкой и прямой, так и между параллельными прямыми выводятся уже в вузовском курсе аналитической геометрии. Прямая как график линейной функции определяется в школьном курсе алгебры, где общий вид линейной функции рассматривается как общее уравнение прямой. В курсе алгебры и начал анализа определяется касательная и приводится ее уравнение. Но ни уравнения прямой, проходящей через заданные две точки, ни условия перпендикулярности прямых в общеобразовательном курсе математики не изучаются. Однако эти факты можно вполне доступно изложить как учащимся старших классов средних школ, так и академических лицеев. Вместе с тем можно рассматривать задачи на расстояние между кривыми, в частности, между прямой и параболой, а также между параболами. Эти задачи можно изучать на факультативных занятиях по математике со школьниками, проявляющими повышенный интерес к изучаемому предмету.
В данной статье расстояние между точкой и кривой определяется как наименьшее расстояние от данной точки до точек кривых, а расстояние между кривыми определяется как наименьшее расстояние между точками данных кривых. В случае, когда кривые являются графиками некоторых дифференцируемых функций, используя методы дифференциального исчисления и обобщения доказаны следующие факты: расстояние между точкой и прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую; в случае параболы расстояние от точки до кривой равно длине перпендикуляра, проведенного к касательной в точке касания; расстояние между параболой и прямой равно расстоянию между прямой и касательной к параболе, параллельной данной прямой; расстояние между двумя параболами равно расстоянию между параллельными касательными к этим параболам. Приводится пример решения задачи на нахождение расстояние между параболами. При этом предварительно выводится уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, доказывается критерий перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
Ключевые слова: точка, прямая, перпендикуляр, кривая, парабола, расстояние, производная
ON AN ENTERTAINING PROBLEM OF THE DISTANCE BETWEEN THE CURVES
Riskeldi Turgunbaev
TSPU named after Nizami, Tashkent, Uzbekistan
Lola Sharipova
TIRE, Tashkent, Uzbekistan
Abstract. In the school course of geometry, the distance from the point A to the straight line l is defined as the length of the perpendicular dropped from the point A to the line l. And the formulas of the distance both between a point and a straight line, and between parallel straight lines are deduced already in a high school course of the analytical geometry. The straight line as a graph of a linear function is defined in the school course of algebra, where the general form of a linear function is considered as the general equation of a straight line. The tangent is determined and its equation is given in the course of algebra and the beginnings of analysis. But neither the equation of a straight line passing through given two points nor the conditions of perpendicularity of straight lines are studied in the school course of mathematics. However, these facts can be fully explained to both high school students of secondary schools and academic lyceums. At the same time, one can consider problems on the distance between curves, in particular, between a straight line and a parabola, and also between parabolas. These problems can be studied in facultative classes in mathematics with students who show increased interest in the subject.
In the present paper, the distance between a point and a curve is defined as the smallest distance from the given point to the points of the curves, and the distance between the curves is defined as the smallest distance between the points of these curves. In the case when the curves are graphs of certain differentiable functions, the following facts are proved with the help of the derivative: the distance between a point and a straight line is equal to the length of the perpendicular dropped from the point to the line; in the case of a parabola, the distance from a point to a curve is equal to the length of the perpendicular drawn to the tangent at the point of tangency; the distance between the parabola and the straight line is equal to the distance between the line and the tangent to the parabola parallel to this straight line; the distance between two parabolas is equal to the distance between the parallel tangents to these parabolas. An example of a solution to the problem on finding the distance between the parabolas is given. In this connection, the equation of a straight line passing through two given points is preliminarily derived, and a criterion for the perpendicularity of lines given by slope-intercept forms is proved.
Keywords: point, straight line, perpendicular, curve, parabola, distance, derivative
Список использованных источников
- Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. 15-е изд. М.: Просвещение, 2007. 384 с.
- Тракимус Ю.В. Основы вариационного исчисления. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. 73 с.
|