Хворостіна Ю.В., Стеценко К.М. [Khvorostina13@gmail.com]
Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2019-v3-21/2019_3-21-Khvorostina-Stetsenko_FMO.pdf

РЕКУРСИВНІ АЛГОРИТМИ РОЗКЛАДІВ ДРОБОВОЇ ЧАСТИНИ ДІЙСНОГО ЧИСЛА В ДЕЯКІ РЯДИ СПЕЦІАЛЬНИХ ВИДІВ

Анотація. Формулювання проблеми. В останні роки зростає інтерес математиків до об’єктів з нетривіальними метричними і топологічними властивостями. Одним із ефективних апаратів задання і дослідження таких об’єктів є використання систем зображення дійсних чисел. Також дійсне число є фундаментальним поняттям теорії чисел, неперервної математики та теорії ймовірностей. Сьогодні у математиці та її застосуваннях широко використовуються різні системи представлення та зображення дійсних чисел. Деякі з них мають скінченний алфавіт, а деякі – нескінченний. Але у більшості випадків дійсне число моделюється з числа натурального. Класичним підходом до зображення дробової частини дійсного числа є представлення числа у формі суми ряду з чисел, обернених до натуральних. Природньо виникає необхідність систематизувати, чітко виділити чи розробити рекурсивні алгоритми розкладів дійсного числа в ряди спеціальних видів.
Матеріали і методи. Проведено системний аналіз наукових джерел щодо представлення чисел деякими рядами спеціальних видів для визначення найбільш важливих напрямків. При дослідженні використовувались методи та засоби метричної теорії чисел, математичного аналізу та математичної логіки.
Результати. У результаті дослідження було систематизовано підхід до зображення чисел деякими рядами, чітко виділено рекурсивні кроки скінченного чи нескінченного алгоритму переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення чисел s-адичними рядами, рядом Енгеля, знакододатним та знакозмінним рядами Люрота, рядами Остроградського 1-го та 2-го видів. Дію кожного з алгоритмів було застосовано до одного і того ж самого раціонального числа з проміжку (0;1) і виявлено, що одне і те ж саме число може мати в різних системах скінченне або нескінченне періодичне зображення.
Висновки. Враховуючи самоподібну структуру деяких збіжних знакододатних чи знакозмінних рядів, вдається отримати чіткі рекурсивні кроки переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення за допомогою рядів.
Ключові слова: зображення числа, системні дроби, ряд Енгеля, знакододатній ряд Люрота, знакозмінний ряд Люрота, ряд Остроградського 1-го виду, ряд Остроградського 2-го виду.

RECURSIVE ALGORITHMS OF DECREASE OF A FRACTIONAL PART OF A REAL NUMBER

IN SOME SPECIES OF SPECIAL TYPES

 Yu. V. Khvorostina, K.M. Stetsenko

Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine

Abstract. Formulation of the problem. In recent years, mathematicians have become increasingly interested in objects with non-trivial metric and topological properties. One of the most effective tools for assigning and researching such objects is a usage of the real numbers representation system. Also, the real number is a fundamental concept of number theory, continuous mathematics, and probability theory.  Nowadays, different systems of the real numbers representation are extensively used in mathematics. Some of them have a finite alphabet and some have an infinite. But in most cases a real number is modeled from the natural number. The classical approach to the representation of the fractional part of a real number is to represent a number in the form of number series sum inverted to natural.  In this regard, there is a need to systematize, clearly distinguish, or develop recursive algorithms for the real numbers distribution into series of special types.

Materials and methods. A systematic analysis of scientific sources on the numbers representation by some series of special types to determine the most important areas is carried out. Methods and means of metric number theory, mathematical analysis, and mathematical logic were applied in the study.

Results. The study systematized the approach to the numbers representation in some series, clearly distinguished the recursive steps of a finite or infinite algorithm for the transition from a decimal image of a real number to an image of numbers with s-adic series, Engel series, positive terms and alternate series of Lurots, Ostrogradskyi series of the 1st type and of the 2nd type. The action of each algorithm was applied to the same rational number from the interval (0; 1) and it was found that the same number can have a finite or infinite periodic representation in different systems.

Conclusions. Taking into account the self-similar structure of some converging positive or alternating series, it is possible to obtain clear recursive steps of the transition from a decimal representation of a real number to a representation using the series.

Key words: number representation, system fractions, Engel series, positive terms and alternate series of Lurots, Ostrogradskyi series of the 1st type, Ostrogradskyi series of the 2nd type.

Список використаних джерел

1. Барановський О.М. Ряди Остроградского 1-го виду та їх застосування. Київ: Вид-во НПУ імені М.П. Драгоманова, 2011. 188 с.
2. Жихарева Ю.І. Зображення чисел знакододатними рядами Люрота: основи метричної теорії. Наук. час. НПУ ім. М. П. Драгоманова. Серія 1. Фіз-мат. науки. К.: НПУ ім. М. П. Драгоманова, 2008. С. 200-211.
3. Khvorostina Yu. Topological and metric properties of distributions of random variables represented by the alternating Lüroth series with independent elements. Random Operators and Stochastic Equations, 2013. Vol. 21, no. 4. P. 385–401.
4. Працьовитий М.В. Ряди Енгеля та їх застосування . Наук. часоп. НПУ iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1, Фiз.-мат. Науки, 2006. № 7. С. 105–116.
5. Працьовитий М.В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів. Київ: Вид-во НПУ імені М.П. Драгоманова, 1998. 296 с.
6. Працьовита I. М. Розклади дiйсних чисел в ряди Остроградського 2-го виду, їх геометрiя та застосування. Науковий часопис НПУ iменi М.П.Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. К.: НПУ iменi М.П.Драгоманова, 2008. № 9. С. 128–147.