Костевич Б.О., Хайдуров В.В. [bohdan_95@hotmail.com]
ПВНЗ «Європейський університет», Черкаська філія, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2016-v2-8/2016_2-8-KostevichHaydurov_Scientific_journal_FMO.pdf

ВАРІАЦІЙНИЙ ПІДХІД ДО ОБРОБКИ ЗОБРАЖЕНЬ
З ВИКОРИСТАННЯМ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Анотація. Костевич Б.О., Хайдуров В.В. Варіаційний підхід до обробки зображень з використанням рівнянь математичної фізики. Рівняння Пуассона використовується у багатьох напрямах науки і техніки. Не дивлячись на те, що рівняння Пуассона історично виникло в процесі розв'язання задач математичної фізики, воно знаходить все більше застосовується і в інших областях, у тому числі в області обробки зображень. За недавній час у цій сфері з'явилася досить велика кількість серйозних робіт, які пропонують алгоритми з використанням рівняння Пуассона у найрізноманітніших завданнях. У роботі були розглянуті наступні задачі: задача про відновлення зображення по полю градієнтів, задача безшовного клонування, задача клонування зі змішуванням градієнтів зображень, задача про редагування області зображення, задача про створення ефекту ночі та зміни освітлюваності. Також досліджено основний принцип переходу від варіаційної постановки задачі при обробці зображень до крайової задачі з використанням самого рівняння Пуассона. Реалізовано інші задачі обробки зображень рівнянням Пуассона у середовищі MatLab. Кожна з розглянутих задач використовує варіаційний підхід для отримання шуканого розв'язку.
Ключові слова: рівняння Пуассона, квадратичний функціонал, поле градієнтів, відновлення зображення по його полю градієнтів.

Аннотация. Костевич Б.А., Хайдуров В.В. Вариационный подход к обработке изображений с использованием уравнений математической физики. Уравнения Пуассона используется во многих направлениях науки и техники. Несмотря на то, что уравнения Пуассона исторически возникло в процессе решения задач математической физики, оно находит все большее применение и в других областях, в том числе в области обработки изображений. За недавнее время в этой сфере появилось достаточно большое количество серьезных работ, которые предлагают алгоритмы с использованием уравнения Пуассона в самых задачах. В работе были рассмотрены следующие задачи: задача о восстановлении изображения по полю градиентов, задача бесшовного клонирования, задача клонирования со смешиванием градиентов изображений, задача по редактированию области изображения, задача о создании эффекта ночи и изменения освещенности. Также исследовано основной принцип перехода от вариационной постановки задачи при обработке изображений к краевой задаче с использованием самого уравнения Пуассона. Реализовано другие задачи обработки изображений уравнением Пуассона в среде MatLab. Каждая из рассмотренных задач использует вариационный подход для получения искомого решения.
Ключевые слова: уравнение Пуассона, квадратичный функционал, поле градиентов, восстановления изображения по его полю градиентов.

Abstract. Kostevich B.O, Haydurov V.V. Variational approach to image processing using the equations of mathematical physics. Poisson's equation is used in many areas of science and technology. Despite the fact that the Poisson equation historically occurred in the solutions of mathematical physics, it is increasingly being used in other fields, including the field of image processing. During recent times in this area there was quite a lot of serious work, which offer algorithms using the Poisson equation in the most problems. The paper addressed the following problems: the problem of reconstructing the image on the gradient field, the task seamless cloning, cloning problem with mixing image gradients, the task of editing the image area, the problem of creating a night-light effect and change. Also it studied the basic principle of a transition from the variational formulation of the problem in image processing to the boundary value problem using the Poisson equation itself. Realized other Eq image processing tasks Poisson in MatLab environment. Each of the considered problems using variational approach to obtain the desired solution.
Keywords: Poisson equation, quadratic functional, field gradients, image restoration in his field gradients.

Список використаних джерел

1. Amit Agrawal, Ramesh Raskar, Shree K. Nayar, Yuanzhen Li, Removing photography artifacts using gradient projection and flash-exposure sampling, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.24 n.3, July 2005
2. Aseem Agarwala, Mira Dontcheva, Maneesh Agrawala, Steven Drucker, Alex Colburn, Brian Curless, David Salesin, Michael Cohen, Interactive digital photomontage, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.23 n.3, August 2004
3. Daniel Leventhal, Bernard Gordon, Peter G. Sibley, Poisson image editing extended, ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, July 30-August 03, 2006, Boston, Massachusetts
4. Dong Xu, Hongxin Zhang, Qing Wang, Hujun Bao, Poisson shape interpolation, Proceedings of the 2005 ACM symposium on Solid and physical modeling, p.267-274, June 13-15, 2005, Cambridge, Massachusetts
5. Graham D. Finlayson, Steven D. Hordley, Mark S. Drew, Removing Shadows from Images, Proceedings of the 7th European Conference on Computer Vision-Part IV, p.823-836, May 28-31, 2002
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Пуассона
7. J. Sun, J. Jia, C.-K. Tang, and H.-Y. Shum. Poisson matting. ACM Trans. Graph., 23(3):315-321, 2004
8. James McCann, Nancy S. Pollard, Real-time gradient-domain painting, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.27 n.3, August 2008
9. Jianbing Shen, Xiaogang Jin, Chuan Zhou, Charlie C. L. Wang, Technical Section: Gradient based image completion by solving the Poisson equation, Computers and Graphics, v.31 n.1, p.119-126, January, 2007
10. Lena Gorelick, Meirav Galun, Eitan Sharon, Ronen Basri, Achi Brandt, Shape Representation and Classification Using the Poisson Equation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, v.28 n.12, p.1991-2005, December 2006
11. Michael Kazhdan, Hugues Hoppe, Streaming multigrid for gradient-domain operations on large images, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.27 n.3, August 2008
12. Michael Kazhdan, Matthew Bolitho, Hugues Hoppe, Poisson surface reconstruction, Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing, June 26-28, 2006, Cagliari, Sardinia, Italy
13. O. Sorkine, D. Cohen-Or, Y. Lipman, M. Alexa, C. Rossl, H.-P. Seidel, Laplacian surface editing, Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing, July 08-10, 2004, Nice, France
14. Patrick Perez, Michel Gangnet, Andrew Blake, Poisson image editing, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.22 n.3, July 2003
15. Raanan Fattal, Dani Lischinski, Michael Werman, Gradient domain high dynamic range compression, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.21 n.3, July 2002
16. Ramesh Raskar, Adrian Ilie, Jingyi Yu, Image fusion for context enhancement and video surrealism, ACM SIGGRAPH 2005 Courses, July 31-August 04, 2005, Los Angeles, California
17. Seamless image stitching in the gradient domain by Anat Levin, Assaf Zomet, Shmuel Peleg, Yair Weiss — 2004 — In Eighth European Conference on Computer Vision (ECCV 2004)
18. T. Georgiev. Covariant derivatives and vision. In ECCV, pages IV: 56-69, 2006
19. Yizhou Yu, Kun Zhou, Dong Xu, Xiaohan Shi, Hujun Bao, Baining Guo, Heung-Yeung Shum, Mesh editing with poisson-based gradient field manipulation, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.23 n.3, August 2004
20. Захаров Е.В. Методическое пособие по курсу «Уравнения математической физики». Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик, М: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2003.