Тургунбаев Р.М. [musamat1@yandex.ru]
Ташкентский государственный педагогический университет имени Низами, Узбекистан
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2017-v2-12/2017_2-12-Turgunbaev_Scientific_journal_FMO.pdf

О ПРИЗНАКАХ ДЕЛИМОСТИ

Аннотация. Широко известно признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, 11 в десятичной системе счисления. А также в книгах встречаются признаки делимости на другие числа, например на числа вида 10n±1. В этих признаках делимости для каждого делителя определятся специальное число. И делимость некоторого числа на данное число связывается с этим специальным числом. Например, для числа 19 специальным числом может быть число 2. Чтобы проверить делится ли данное число N на 19, 1) отбрасывается последняя цифра у числа N; 2) прибавляется к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;3) с полученным числом проделывается операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19; 4) если останется 19 то число делится на 19, в противном случае число не делится на 19.В данной статье обобщается этот результат. А именно, если d=(10,n)  и d?10 , то число a=asas-1…a1a0  делится на число n  тогда и только тогда, когда для любого числа x, удовлетворяющего сравнению 10?x?d(modn) имеет место сравнение d•asas-1…a1+a0x?0modn,  т.е. число d•asas-1…a1+a0x  делится на n. Аналогичный результат верен  во всех позиционных системах счисления. В статье также показано, что из этих признаков можно получить некоторые известные признаки.

ABOUT TESTS FOR DIVISIBILITY
Riskeldi Turgunbaev
Tashkent State Pedagogical University named after Nizami, Uzbekistan

Abstract. The features of divisibility by 2, 3, 5, 9, 10, 11 in the decimal calculation system are known very widely. And, also in some books there are the signs of divisibility by other numbers, for example, the numbers in the form 10n ± 1. In these divisibility tests, a special number is determined for each divisor. And, the divisibility of a number by a given number is associated with this special number. For example, for number 19, number 2 can be a special number. In order to check whether the given number N is divided by 19,  1) the last digit of the number N is discarded; 2) the product of the discarded digit and 2 is added to the resulted number, 3) with the resulting number, operations 1) and 2) are performed until a number less than or equal to 19 remains; 4) if 19 remains, that number is divided by 19, otherwise the number is not divisible by 19. In this article this result is generalized. Namely, if d=(10,n)  and d?10 , then a number a=asas-1…a1a0  is divided by a number n  if and only if for any number  x, satisfying the comparison 10?x?d(modn)  there is a comparison d•asas-1…a1+a0x?0modn,  i.е. the number d•asas-1…a1+a0x  is divided by  number n. A similar result is true in all positional number systems. In this article it is also shown that some of  these famous signs can be obtained from these signs.

Список использованных источников

1. Алфутова Н.Б. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ / Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. – М.: МЦНМО, 2002. – 264 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. – М.: Просвещение, 1966. – 384с.
3. Дусумбетов А. Признаки делимости (на узбекском языке) / А. Дусумбетов, Р.М. Тургунбаев // Физика, математика и информатика. – 2003. – №4. – С. 25-33.
4. Дусумбетов А. Признаки делимости в позиционных системах счисления (на узбекском языке) / А. Дусумбетов, Р.М. Тургунбаев // Физика, математика и информатика. – 2004. – №6. – С. 22-25.