Скороход Г.И. [gskorokhod@yahoo.com]
Днипровский национальный университет имени Олеся Гончара, Украина
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2018-v2-16/2018_2-16-Skorokhod_FMO.pdf

ОБЩЕНАУЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Аннотация. Подавляющее большинство учеников общеобразовательной школы не станут математиками, следовательно, математика для них должна быть именно общеобразовательным предметом. Поэтому, акцент при обучении математике желательно делать на понятиях и методах решения задач, которые являются общенаучными и объединяют математику с другими естественными и техническими науками и даже с философией как общим подходом к познанию мира. Для реализации такого подхода нужно создать набор задач разных типов, каждая из которых решается с применением нескольких приёмов, так, чтобы весь набор приёмов представлял неоднократное применение всех изучаемых методов в разных комбинациях.
Основные математические методы, имеющие общенаучное и философское значение, подробно рассмотрены в книгах Д. Пойя. В настоящей статье приведен более широкий перечень, содержащий 36 общенаучных методов решения математических задач (с короткими комментариями), а именно: исследовать особенности постановки задачи; метод проб и ошибок; перебор вариантов; направленный перебор вариантов; подобрать одно или несколько решений; дедукция; индукция; разделить целое на части; собрать целое по частям, комбинация частных решений; свести решение задачи к решению подзадач; сравнить объекты и сделать выводы из этого сравнения; сравнить два объекта через третий; вычислить величину двумя способами и сравнить полученные значения; сформировать другое множество, сравнение с которым позволяет решить задачу; установить взаимнооднозначное соответствие с другим множеством; ввести вспомогательные элементы; ввести вспомогательную функцию y=f(x) и преобразовать исходную задачу; осуществить последовательность равносильных преобразований объекта; осуществить пошаговое приближение ко всему искомому решению (метод последовательных приближений); осуществить последовательное вычисление новых компонент многокомпонентного решения; сузить область поиска; переформулировать условие задачи; заменить термин его определением или, наоборот, заменить описание объекта соответствующим термином; доказательство от противного; рекурсия; математическая индукция; указать контрпример; решить задачу «от конца к началу»; решить более общую задачу; решить более простую, родственную задачу; уменьшить размерность задачи; пересечение множеств как метод решения задачи; метод неопределённых элементов; найти и использовать инвариант задачи.
Для многих методов указан тип задач, которые решаются этим методом, и примеры задач. Приведены ссылки на статьи автора, в которых связи между типами задач и методами их решения рассмотрены более полно. Математические понятия, имеющие общенаучное значение, рассмотрены в отдельной статье автора.
Ключевые слова: математика, обучение математике, содержание школьного курса математики, математические понятия, методы решения математических задач.

COMMON SCIENTIFIC METHODS OF SOLVING PROBLEMS IN TEACHING MATHEMATICS
Georgiy Skorokhod
Oles Honchar Dnipro National University, Ukraine

Abstract. The overwhelming majority of pupils of a comprehensive school will not become mathematicians, therefore, mathematics for them should be just a general educational subject. Therefore, the emphasis in teaching mathematics is desirable to do on the concepts and methods of solving problems that are general scientific and integrate mathematics with other natural and technical sciences and even with philosophy as a general approach to cognition of the world. To implement this approach, it is necessary to create a set of problems of different types, each of which is solved using several methods, so that the entire set of techniques represents the repeated application of all the methods studied in different combinations.
Basic mathematical concepts and methods, having a general scientific and philosophical significance, are considered in detail in the books of D. Poya. In this article, a broader list of 36 general scientific methods for solving mathematical problems (with short comments) is given, namely: to investigate the specifics of the formulation of the problem; trial and error method; pick one or more solutions; deduction; induction; divide the whole into parts; collect the whole in parts a combination of particular solutions; reduce the solution of the problem to the solution of subproblems; search options; a directional search of options; compare objects and draw conclusions from this comparison; compare two objects through the third; calculate the value in two ways and compare the values obtained; form a different set, a comparison with which allows you to solve the problem; to establish one-to-one correspondence with another set; enter auxiliary elements; introduce an auxiliary function y = f (x) and transform the original problem; implement a sequence of equivalent transformations of the object; to make a step-by-step approximation to the whole sought solution (the method of successive approximations); to carry out sequential calculation of new components of a multicomponent solution; narrow your search; reformulate the condition of the problem; proof by contradiction; recursion; mathematical induction; specify a counterexample; solve the problem "from end to beginning"; solve a more general problem; solve a simpler, related problem; reduce the dimension of the problem; intersection of sets as a method of solving a problem; method of undefined elements; find and use the invariant of the problem, replace the term by its definition or, conversely, replace the description of the object with the appropriate term.
For many methods, the type of problems that are solved by this method, and examples of problems are indicated. Reference is made to the author's articles in which the connections between types of problems and methods for their solution are considered more fully. Mathematical concepts that have general scientific significance are considered in a separate article of the author.
Keywords: mathematics, teaching mathematics, the content of the school course of mathematics, mathematical concepts, methods for solving mathematical problems.

Список использованных источников

1. Скороход Г.И. Общенаучные понятия в обучении математике. Фізико-математична освіта: науковий журнал. 2018. Випуск 1(15). С. 302-304.
2. Пойя, Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз РСФСР, 1959. 208 с.
3. Пойя, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Изд-во иностранной литературы., 1957. 536 с.
4.  Пойя, Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970. 452 с.
5. Скороход, Г.І. Основні методи розв’язання нестандартних математичних задач. Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики: збірник наукових праць. Випуск X. Кривий Ріг. Видавничий відділ НМетАУ, 2012. Т. 1: Теорія та методика навчання математики. C.228-234.
6. Скороход, Г.И. Некоторые типы математических задач и методы их решения. Фізико-математична освіта: науковий журнал. 2016. Випуск 4(10). С. 126-130.
7. Скороход, Г.І. Перетворення об'єктів як тип та метод розв’язання текстових задач. Педагогічні науки: збірник наукових праць. Випуск LXXVI. Том 1. Херсон. Видавничий дім «Гельветика», 2017. С. 117-121.