Купцов М.І., Яблочніков С.Л.
Академія права та управління ФСВП, Росія; Вінницький соціально-економічний інститут, Україна
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2016-v1-7/2016_1-7-Kuptsov_Yablochnikov_Journal_FMO.pdf

АСПЕКТИ ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ПЕРЕТВОРЮЮЧОЇ МАТРИЦІ

Анотація. Купцов М.І., Яблочніков С.Л. Аспекти застосування методу перетворюючої матриці. В статті розглядається вирішення задачі стосовно пошуку нетривіальних інтегральних многовидів нелінійної системи звичайних диференціальних рівнянь, що має кінцеву розмірність, права частина якої є періодичною вектор-функцією незалежної змінної та містить параметри. Передбачається, що у дослідженій системі в наявності нульова інтегральний многовид при усіх значеннях параметру, а відповідна лінійна підсистема має m-параметричну множину періодичних розв`язків. Знайдені нові достатні умови існування в околі стану рівноваги системи ненульового інтегрального різноманіття  меншого ступеня розмірності ніж того, що має вихідний фазовий простір. Під час знаходження достатніх умов формуються оператори, котрі дозволяють звести розв`язок даної задачі до пошуку їх нерухомих точок.
Ключові слова: метод інтегральних многовидів, метод перетворюючої матриці, система звичайних інтегральних рівнянь, операторне рівняння, зменшення розмірності фазового простору.

Аннотация. Купцов М.И., Яблочников С.Л. Аспекты использования метода преобразующей матрицы. Рассматривается задача нахождения нетривиальных интегральных многообразий нелинейной конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой является периодической вектор-функцией по независимой переменной и содержит параметры. Предполагается, что у изучаемой системы имеется нулевое интегральное многообразие при всех значениях параметра, а соответствующая линейная подсистема имеет m-параметрическое семейство периодических решений. Найдены новые достаточные условия существования в окрестности состояния равновесия системы ненулевого периодического интегрального многообразия меньшего числа измерений, чем исходное фазовое пространство. При выводе достаточных условий строятся операторы, позволяющие свести решение указанной задачи к поиску их неподвижных точек.
Ключевые слова: метод интегральных многообразий, метод преобразующей матрицы, система обыкновенных дифференциальных уравнений, операторное уравнение, уменьшение размерности фазового пространства.

Abstract. Kuptsov M.I., Yablochnikov S.L. Aspects of the method transforming matrix. We consider the problem of finding nontrivial integral manifolds for nonlinear nite-dimensional system of ordinary differential equations, the right side is a periodic vector-function on the independent variable and contains the parameters. It is assumed that the system under study has zero integral manifold for all values of the parameter, and the corresponding linear subsystem has the m-parametric family of periodic solutions. Found new sufficient conditions of existence in a neighborhood of the equilibrium systems of non-zero periodic integral manifolds of fewer dimensions than the original phase space. In the derivation of sufficient conditions are based operators, which allow to bring a solution to this problem to the search of fixed points.
Key words: method of integral manifolds, the method of transforming the matrix system of ordinary differential equations, operator equation, the reduction of dimensionality of the phase space.

Список використаних джерел

1. Гребенников Е. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем / Е. А. Гребенников, Ю. А. Рябов. – М.: Наука, 1979. – 432 с.
2. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Либроком, 2010. – 472 с.
3. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем / Ю. А. Митропольский, Е. А. Гребенников. – М.: Наука, 1992. – 220 с.
4. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Львов: Изд-во АН УССР, 1945. – 139 с.
5. Митропольский Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова. –  М.: Наука, 1973. – 512 с.
6. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987. – 301 с.
7. Самойленко А. М. Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь / А. М. Самойленко, Ю. В. Теплінський, К. В. Пасюк // Нелінійні коливання, 2010. – Т. 13, – №2. – С. 253–271.
8. Соболев В.А. Интегральные многообразия и принцип сведения / В.А. Соболев, Д.М. Щепакин // Вестник Самарского государственного ун-та, 2011. – № 5 (86). – С. 81 – 92.
9. Курбаншоев С.З. Построение оптимальных интегральных многообразий для нелинейных дифференциальных уравнений / С.З. Курбаншоев, М.А. Нусайриев  // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2014. – Т. 57. – № 11–12. – С. 807–812.
10. Щетинина Е.В. Интегральные многообразия быстро-медленных систем и затягивание потери устойчивости / Е.В. Щетинина // Вестник Самарского государственного университета, 2010. – №6 (80). – С. 93–105.
11. Бибиков Ю.Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации / Ю.Н. Бибиков. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. – 142 с.
12. Волков Д. Ю. Бифуркация инвариантных торов из состояния равновесия при наличии нулевых характеристических чисел / Д. Ю. Волков // Вестник Ленинградского университета, 1988. – Серия 1. – №2. – С. 102 – 103.
13. Кононенко Л.И. Влияние формы интегрального многообразия на возникновение релаксационных колебаний / Л.И. Кононенко  // Сибирский журнал индустриальной математики, 2006. – Т. IX. – №2. – С. 75 – 80.
14. Гашененко И.Н. Бифуркации интегральных многообразий в задаче о движении тяжелого гиростата / И.Н. Гашененко  // Нелинейная динамика, 2005. – Т.1. – № 1. – С. 33–52.
15. Макеев Н.Н. Интегральные многообразия уравнений динамики сложных механических систем: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. СПб: Изд-во СПбГУ, 1992. – 28 с.
16. Макеев Н.Н. Приведённая система геометрической динамики твёрдого тела / Н.Н. Макеев // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика, 2013. – №2 (21). – С. 51 – 58.
17. Заболотнов Ю.М. Применение метода интегральных многообразий для построения резонансных кривых в задаче входа КА в атмосферу  / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов //  Космические исследования. 2003. – Т. 41. – № 5. –С. 481–487.
18. Купцов М. И. Применение теории периодических решений к нахождению орбит спутников / М. И. Купцов  // Компьютерные методы небесной механики – 95: Тез. докл. всерос. конф. с междунар. участием «Компьютерные методы небесной механики – 95». СПб: Изд-во ИТА РАН, 1995. – С. 141 – 142.
19. Соболев В.А. Метод интегральных многообразий в задачах оптимального управления сингулярно возмущенными системами  / В.А. Соболев, М.С. Осинцев  // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. – С. 769 – 779.
20. Гурман В.И. Преобразования управляемых систем для исследования импульсных режимов / В.И. Гурман // Автоматика и телемеханика, 2009. – №4. – С. 89 – 97.
21. Мухарлямов Р.Г. Управление динамикой манипулятора с программными связями / Р.Г. Мухарлямов, Н.В. Абрамов // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы, 2011. – №43. – С. 90 – 102.
22. Остапенко В.В. О разрывных решениях уравнений мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере / В.В. Остапенко, А.А. Черевко, А.П. Чупахин // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа, 2011. – №2. – С. 33 – 51.
23. Дякин В.В. Об одном подходе к решению магнитостатической задачи для тел с инородными включениями в неоднородном внешнем поле / В.В. Дякин, В.Я. Раевский, О.В. Умергалина // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009. – Т.49. – №1. – С. 178 – 188.
24. Метлицкая А. В. Моделирование процессов самоорганизации наноструктур при ионном распылении поверхности полупроводников: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ярославль: ЯГУ, 2014. – 30 с.
25. Куликов А.Н. Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке / А.Н. Куликов, Д.А. Куликов  // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012. – Т. 52. – №5. – С. 930.
26. Купцов М. И.  Существование интегральных многообразий и периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Рязань: РГПУ, 1996. – 133 с.
27. Терёхин М. Т. Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М. Т. Терёхин // Учеб. пособие к спецкурсу. – Рязань: РГПИ, 1992. – 88 с.
28. Купцов М. И. Существование интегрального многообразия системы дифференциальных уравнений / М. И. Купцов  // Дифференциальные уравнения, 1998. – Т.34. – №6.– С. 855.
29. Kuptsov M.I.  Local integral manifold of a system of differential equations // Differential equations. 1998. vol. 34, no. 7, pp. 1005–1007.
30. Купцов М. И.  Локальное интегральное многообразие систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра  / М. И. Купцов  // Дифференциальные уравнения, 1999. – Т.35. – №11. – С. 1579 – 1580.