Анотація.Безвербний І.А., Шишкіна М.П. Розгортання хмаро орієнтованого компонента навчального середовища із використанням системи Maxima. У статті обґрунтовано, що використання сервісів хмарних обчислень є актуальною тенденцією розвитку засобів ІКТ сучасних педагогічних систем. Висвітлено перспективні шляхи організації доступу до математичного програмного забезпечення в інформаційно-освітньому середовищі вищого навчального закладу. Розглянуто особливості хмаро орієнтованого рішення при проектуванні електронних освітніх ресурсів. Наведено критерії вибору математичного програмного забезпечення при встановленні його "у хмарі". Висвітлено основні риси розгортання та реалізації програмного компоненту інформаційно-технологічної інфраструктури на базі віртуального сервера з операційною системою Ubuntu. Окреслено особливості педагогічного використання програмного компоненту із застосуванням системи Maxima, реалізованого у даній конфігурації, у процесі навчання інформатичних дисциплін у педагогічному університеті. На прикладі виконання лабораторної роботи з теорії графів продемонстровано властивості розробленого компонента. Визначено перспективні напрями педагогічного застосування хмаро орієнтованих систем у процесі навчання.

Abstract. Bezverbnyi I., Shyshkina М. The cloud-based learning environment component deployment using the Maxima system. The article deals with the promising ways of access to mathematical software in the information-educational environment of higher education institution. The use of the cloud computing services as a topical trend of modern pedagogical ICT systems development is emphasized. The peculiarities of the cloud-based solutions of electronic educational resources design are revealed. The mathematical software selection criteria for the purpose of cloud-based setting design are outlined. The basic features of the deployment and implementation of the software component within the information technological infrastructure on the virtual server running Ubuntu are described. The peculiarities of the pedagogical use of the software component using Maxima system, implemented in this configuration in the process of computer science learning at the pedagogical university are revealed. The example of the laboratory work on the graphs theory is demonstrated. The perspective trends of pedagogical use of the cloud-based systems in the learning process are revealed.

Анотація. Дорошева Л. Розвиток креативності школярів та студентів при вивченні астрономії. Сучасні молоді фахівці з вищою освітою повинні бути підготовлені до вирішення нових професійних задач, пошуку нестандартних творчих рішень, і здатні до творчого саморозвитку. І якщо платформою для підготовки нового покоління компетентних фахівців стають поглиблені знання, то трампліном, що дає їм перевагу в повсякденній трудовій діяльності, є креативність мислення. Тому зараз особливої актуальності набуває необхідність розробки технології розвитку креативності студентів педагогічного вузу.У статті розглянуті проблеми розвитку креативності мислення школярів та студентів в процесі навчання, зокрема, астрономії. Наведені приклади завдань по темі "Видимий рух небесних світил" та задачі з теми "Луна", складені на основі фрагментів з художніх творів.

Abstract. Dorosheva L. The development of pupils and students' creativity in studying astronomy. Modern young specialists with higher education should be prepared to solve new professional tasks, search non-typical creative solutions, and they should be capable of creative self-development. And if profound knowledge becomes a platformto prepare new generation of competent specialists, than creative thinking is a jumping-off place , that gives them preference in day-to-day working activity. That's why the necessity of working out the technology of development the students' creative thinking in pedagogical universities takes on special urgency. The problems of development pupils and students' creative thinking during studying, particularly astronomy, have been considered in the article. The examples of the tasks on the subject "The apparent motion of celestial bodies" and the tasks on the subject "moon" have been based of the parts of fiction.

Анотація. Кузьменко О.С. Вивчення симетрії у процесі навчання з квантової механіки у вищих навчальних закладах. У статті аналізуються та розглядаються закони збереження динамічних характеристик квантової механіки, таких як енергія, момент імпульсу та імпульсу. Виявлено їх взаємозв`язок з фундаментальним поняттям симетрії, яке покладено в основу сучасних фізичних теорій. Принципи симетрії використовуються в об'єднуючих фізичних теоріях. Проте слід відзначити, що теорія великого об'єднання, заснована на принципах симетрії, знаходиться у стадії розробки. Роль принципів інваріантності у фізиці ще не вичерпана, і ми далекі від універсального закону природи.
Симетрія властивостей квантово-механічної системи щодо перестановки частинок місцями лежить в основі принципу нерозривності частинок. Для багатьох фізичних систем характерні свої особливі приховані типи симетрії. У фізиці елементарних частинок - калібрувальна інваріантність - симетрія частинок відносно певного типу перетворень, завдяки якій можна встановити внутрішню структуру у великій кількості відкритих фізиками елементарних частинок.
Симетрія виявляє взаємозв?язок фізичних законів, спрощує розуміння складних процесів, що протікають у мікросвіті та розглядаються у навчанні з фізики.

Abstract. Kuz`menko O.S. Study of symmetry in the process of studies from quantum mechanics in higher educational establishments. The laws of maintenance of dynamic descriptions of quantum mechanics are analysed in the article and examined, such as energy, moment of impulse and impulse. Their intercommunication is educed with the fundamental concept of symmetry, that is fixed in basis of modern physical theories. Principles of symmetry are used in unifying physical theories. However it should be noted that the theory of large association, based on principles of symmetry, is in the stage of development. The role of principles of invariance in physics is not yet outspent, and we are distant from an universal law
Symmetry of properties of the quantum mechanical system in relation to transposition of particles placed is the basis of principle of unbreak of particles. For many physical systems the special encapsulated types of symmetry are characteristic. In physics of elementary particles - a gauge invariance is symmetry of particles in relation to the certain type of transformations, due to that it is possible to set the underlying structure of in great numbers open physicists elementary particles.

Анотація. Лукашова Т.Д. Прості числа та деякі пов'язані з ними проблеми теорії чисел. Стаття присвячена огляду деяких проблем класичної теорії чисел, що пов'язані із простими числами. Зокрема, розглядається питання розподілу простих чисел у натуральному ряді та пошуку аналітичного виразу, який би генерував прості числа. Значну увагу у статті приділено огляду властивостей чисел Ферма та Мерсенна, наведено критерій Люка-Лемера перевірки чисел Мерсенна на простоту, а також вказано відомі на сьогоднішній день прості числа Мерсенна. Наприкінці розглянуто деякі властивості досконалих натуральних чисел та наведено найвідоміші із нерозв'язаних проблем теорії чисел, що пов'язані із розглянутими у статті класами чисел.

Abstract. Lukashova T.D. Primes and some other related problems of number theory. Article looks over some classical number theory problems connected with primes. In particular, under the consideration such problems like the problem of the distribution of primes in natural series, the problem of research the analytical expression that would generate primes. Special attention is paid for viewing the properties of Fermat and Mersenne numbers,is given the Lucas-Lehmer criterion for checking Mersenne numbers on simplicity, also are denoted the Mersenne primes, known nowadays. In the end considered some properties of perfect natural numbers and are given the most famous unresolved problems of number theory, connected with the classes of numbers reviewed in the article.

Анотація. Максименко Т.М., Пухно С.В. Особливості організації навчально-дослідної роботи студентів педагогічних спеціальностей ВНЗ. В статті представлені основні форми навчально-дослідної роботи студентів ВНЗ педагогічних спеціальностей та їх значення для професійного становлення майбутнього фахівця. Навчально-дослідна робота студентів ВНЗ включена до навчальних планів і є системою обов'язкових навчальних занять, всіх видів завдань різних видів практики. Різновидами навчально-дослідної роботи є індивідуально-дослідні завдання, курсова і дипломна роботи, що вимагають досить складної організації керівництва цією діяльністю студента. Методичне забезпечення навчально-дослідної роботи студентів передбачає складання методичних рекомендацій до різних видів завдань, що містять загальні положення щодо організації цієї роботи. Вирішення студентом в процесі навчання та під час проходження практики складних навчально-дослідних завдань, сприяє формуванню та виробленню навичок ефективного вирішення завдань професійної діяльності і сприяє активному формуванню професійних якостей особистості.

Abstract. T.M. Maksymenko, S.V. Pukhno. Peculiarities of organization of pedagogical specialties students' research work at higher educational institutions. The main forms of pedagogical specialties students' educational-research work and their implications for professional formation of the future specialist are presented in the article. Students' educational-research work at higher educational institution is included to the curriculum and mandatory training sessions, different practices. Varieties of educational-research work are the individual research tasks, course and degree work, requiring a complex of organization of student's leadership. Methodological support of students' educational-research work involves the drafting of recommendations to different types of missions containing basic notions on the organization of this work. The student's decision in the learning process and a complex of educational research problems during the practice, promotes the formation and development of skills of effective solving of professional activity problems and contributes to the active formation of person's professional qualities.

Анотація. Петренко С.І. Про модель формування ІКТ-компетентності майбутнього учителя математики. У статті аналізуються теоретичні і практичні аспекти підготовки майбутніх учителів математики. Проводиться аналіз загальних тенденцій, які спрямовані на реалізацію процесу формування ІКТ-компетентності майбутнього учителя математики, як суттєвої складової загальної педагогічної компетентності сучасного спеціаліста. Запропонована модель формування ІКТ-компетентності ґрунтується на соціальному замовленні, яке визначає цільовий блок, на основі якого визначаються всі складові (змістова, операційна, діагностична) моделі формування ІКТ-компетентності майбутнього вчителя математики.
Розглядаючи структурні компоненти моделі формування ІКТ-компетентності майбутнього учителя математики особлива увага приділяється висвітленню теоретико-методичної основи процесу, що ґрунтується на загальнонаукових (когнітивному, системно-діяльнісному, термінологічному та технологічному), спеціально-наукових (компетентнісному, особистісно-орієнтованому, структурному, моделювання) підходах та на принципах навчання (науковості, системності та послідовності, доступності навчання, зв'язку навчання з реальним життям, свідомої активності у навчанні, наочності, міцності знань, вмінь, навичок, індивідуального підходу і емоційності навчання).
Теоретико-методична основа визначає зміст навчання у процесі формування ІКТ-компетентності майбутнього вчителя математики. Зміст навчання опосередковано впливає на компоненти операційної складової (методи, форми, засоби).
Введення у модель діагностичного компоненту забезпечує зворотний зв'язок (контроль та оцінку проміжних і кінцевих результатів) у вирішенні освітніх, розвивальних і виховних завдань: сформованості знань, вмінь, навичок, досвіду, світоглядної спрямованості особистості, її професійної мобільності та самодостатності, що складають результат.

Abstract.Petrenko S. The model of forming the ICT competence of a future teacher of mathematics. The article focuses on the analysis of theoretical and practical aspects of training future teachers of mathematics. The analysis of general trends aimed at the implementation of the process of forming the ICT competence of a future teacher of mathematics as an essential component of the overall teaching competence of the proficient specialist. The proposed model of forming the ICT competence is based on social order that determines a target block on which all components (content, operational, diagnostic) of a model of forming the ICT competence of a future teacher of mathematics are determined.
Considering the structural components of the model of forming the ICT competence of a future teacher of mathematics, much attention is paid to theoretical and methodological basics of the process, grounded on general (cognitive, systemic, terminological and technological) special scientific (competence, personality-oriented, structured, modeling) approaches and principles of teaching (systematicity and consistency, availability of study, connection of study with real life, conscious activity in education, visualization, profound knowledge, abilities, skills, individual approach and emotional learning).
Theoretical and methodological basics determine the content of education in shaping the ICT competence of a future teacher of mathematics. The curriculum indirectly affects the components of the operating issues (methods, forms, means).
Introduction of diagnostic component to the model provides feedback (monitoring and assessment of intermediate and final results) to solve educational and developmental problems: formation of knowledge, abilities, skills, experience, ideological orientation of a personality, his/her professional mobility and self-sufficiency that make up the result.

Анотація. Погребний В.Д. Про обмеженість множин: різні аспекти. Поняття обмеженості множини є одним з найважливіших математичних понять. В класичній математиці розглядаються обмежені множини на прямій, на евклідовій площині, у тривимірному евклідовому просторі. У сучасній математиці це поняття узагальнюється і вивчається у різних аспектах. Сучасна математика є наукою про структури. З точки зору цих основних структур, обмеженість можна розглядати в метричному, порядковому і тополого-алгебраїчному аспектах. В деяких просторах обмеженість з метричної точки зору співпадає з обмеженістю з тополого-алгебраїчної точки зору, а в деяких не співпадає. Ці проблеми розглядаються у даній роботі. Також аналізується поняття обмеженості множин в топологічних лінійних просторах. Це поняття може бути введене через збіжність послідовностей. В той же час, як відомо, структура топологічного лінійного простору не адекватна збіжності послідовностей. Природньо, виникає проблема: якщо ввести нове поняття обмеженості, використовуючи апарат збіжності напрямленостей, що адекватний структурі топологічного лінійного простору, то чи одержимо ми нове поняття обмеженості множини? Ця проблема аналізується і доведено, що одержуємо те ж саме поняття обмеженості. З'ясовується причина такого явища з точки зору різного значення послідовностей чисел і послідовностей елементів множини в топологічному лінійному просторі.

Abstract. Pogrebnoy V. About limitation of sets: various aspects. The notion of limited sets is one of the most important mathematical concepts. In classical mathematics we consider bounded sets on the line, on Euclid's plane, in three-dimensional Euclidean space. In modern mathematics, this notion is generalized and studied in various aspects. Modern mathematics is a science of structures. From the point of view of these basic structures, the limitations can be considered in the metric, order and topology-algebraic aspects. In some limited spaces from a metric point of view coincides with the constraints on topology-algebraic point of view, and some do not match. These issues are discussed in this paper. It also analyzes the concept of limited sets in topological linear spaces. This concept may be introduced through the convergence sequences. At the same time, as we know, the structure of a topological linear space is not adequate for the convergence of sequences. Of course, there is a problem: if we introduce a new notion of boundedness, using the device for the convergence of nets, adequate to the structure of a topological linear space, we obtain a new notion of limited many? This problem is analysed and it is proved that we get the same concept of limited. It turns out the reason for this phenomenon from the point of view of different meanings of various number sequences and sequences of elements of a set in a topological linear space.

Анотація. Семеніхіна О.В., Друшляк М.Г. Практика використання параметричного кольору в програмах динамічної математики при розв'язуванні задач на ГМТ. В статті розглядається можливість використання параметричного кольору математичних об'єктів у програмах динамічної математики при розв'язуванні задач на ГМТ. Зокрема, описуються особливості задання параметричного кольору у середовищах The Geometer's Sketchpad, Математический конструктор, GeoGebra. Зазначається, що у програмі The Geometer's Sketchpad від параметра залежить не тільки колір об'єкта, а й колір сліду, який він буде залишати; у програмі GeoGebra умови відображення об'єкта можна відразу встановити залежними від параметра; для задання параметричного кольору у ПДМ Математический конструктор використовується система HSB, де сталі значення в полях H, S та B замінюють на вирази, додатково у програмі Математический конструктор передбачено можливість встановлення стилю ліній через параметр.
Наводиться приклад з різними способами розв'язування задачі на ГМТ у програмі The Geometer's Sketchpad, у тому числі з використанням параметричного кольору. Додатково пропонується перелік задач, які можна розв'язувати, використавши описаний підхід.

Abstract. Semenikhina O.V., Drushlyak M.G. Practice of the Use of Parametric Color in Dynamic Mathematics Software in Solving Locus Problems. The article discusses the use of parametric color of mathematical objects in dynamic mathematics software in solving locus problems. In particular, the features of parametric color in software The Geometer's Sketchpad, MathKit, GeoGebra are described. It is noted that in the software The Geometer's Sketchpad not only the color of the object but also the color of the trace, which this object leaves, depends on the parameter; in the software GeoGebra display conditions of the object can be set directly dependent on the parameter; in dynamic mathematics software MathKit HSB system is used to set the parametric color, constants H, S and B is replaced by the expression, also the possibility to set the line style using the parameter can be realized in software MathKit. The idea of parameterization of color in the software The Geometer's Sketchpad is in selective shading of points of the plane, which depends on the predetermined conditions.
An example of solving locus problem in the software The Geometer's Sketchpad as in the traditional way with the use of computer tools Trace and Locus, and using parametric color, is given. It is noted that the idea of parameterization of color is better applied when solving problems where the evaluation of a particular dependency between the elements of the given locus is compared with a constant. A list of tasks that can be solved by using the described approach is offered.

Анотація. Хворостіна Ю.В. Концептуальні основи дослідження розподілів випадкових величин, пов'язаних зі знакозмінними рядами Люрота. Досліджується лебегівська структура розподілу (вміст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярно неперервної компонент), спектральна структура сингулярного розподілу (належність розподілу до канторівського, салемівського чи квазіканторівського типу), тополого-метричні та фрактальні властивості спектра (мінімальної замкненої множини, на якій зосереджений розподіл) випадкових величин, які є: 1) сумою знакозмінного ряду Люрота, натуральні елементи якого є випадковими величинами з наперед заданими дискретними розподілами (вивчаються випадки незалежності та марковської залежності); 2) випадковими неповними сумами заданих знакозмінних рядів Люрота, коефіцієнти яких є незалежними випадковими величинами або випадковими величинами, які утворюють ланцюг Маркова. Для випадкової неповної суми заданого ряду з незалежними коефіцієнтами знайдено оцінку модуля характеристичної функції та досліджено його поведінку на нескінченності.

Abstract. Khvorostina Yu. Conceptual framework for investigating the distribution of the random variables that are associated with alternating L?roth series. We consider the properties of the distributions of the sums of the random alternating L?roth series. We study four classes of random variables. In the first class the random variables are represented by the alternating L?roth series with independent elements. The second class is the random alternating L?roth series which elements are random variables with Markovian dependence. The third class is the random subsums of given series with the independence random coefficients. The fourth class is the random subsums of given series which coefficients form a homogeneous Markov chain. The content of discrete, absolutely continuous and singular continuous components in Lebesgue structure of distributions of these random variables is studied. In addition, the belonging of the singular distribution to Cantor, Salem or quasi-Cantor type is investigated. The topological, metric and fractal properties of the minimal closed support of the distribution of random variables are described. We proved the purity of the distribution of the first three classes of random variables. The conditions of belonging to each pure type of probability distribution are received. We give examples of the pure probability distributions and their mixtures for the fourth class. The problem of the spectral structure of the singular distribution of random variables, that represented by the alternating Luroth series with independent elements, are fully solved. The conditions, under which the distribution of other random variables, belong to the singular distribution of Cantor type are received.

Анотація. Шишенко І.В. Проблема математичної підготовки учнів-гуманітаріїв у наукових дослідженнях. Стаття присвячена аналізу наукових дослідженнь з питаннь математичної підготовки учнів-гуманітаріїв у сучасній старшій профільній школі. Відзначається, що вивчення математики у класах з гуманітарним профілем навчання регламентується передусім Державним стандартом базової та повної загальної середньої освіти, Навчальними програмами з математики для учнів 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів, а особливості математичної освіти учнів класів з гуманітарним профілем навчання висвітлено у ряді вітчизняних та зарубіжних дисертаційних досліджень останніх років. За результатами теоретичного аналізу зроблено висновки, що вивчення математики в класах з гуманітарним профілем навчання викликає у учнів значні труднощі, а для розв'язання проблем математичної освіти учнів класів з гуманітарним профілем навчання надзвичайно важливою є постійна та цілеспрямована робота з діагностування індивідуально-типових особливостей цих учнів. Також розроблені авторами методичні напрацювання лише частково торкаються проблеми активізації пізнавальної діяльності цих учнів.

Abstract. Shyshenko I.V. The problem of mathematical preparation of students from classes with humanitarian profile in scientific research. The article is devoted to research on mathematical training of students-humanists in modern senior profile school. It is noted that the study of mathematics in classes with a humanitarian profile of training is regulated primarily by the State standard of basic and complete general secondary education, curricula in mathematics for pupils of 10-11 classes of comprehensive schools, and particularly of the mathematical education of pupils of classes with a humanitarian profile of training covered in the number of domestic and foreign dissertation research of recent years. According to the results of the theoretical analysis it is concluded that learning mathematics in classes with a humanitarian profile of training causes considerable difficulties in students, and for solution problems of mathematical education of pupils of classes with a humanitarian profile of training the constant and purposeful work with the diagnosing of individual-typical characteristics of these students is extremely important. Also developed by the authors methodological practice only partially address the problem of activization of cognitive activity of these students.