Schmelzer Nelli, Kleine Michael [nelli.schmelzer@uni-bielefeld.de]
Universität Bielefeld, Germany
Download in PDF: http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/journals/2020-v1-23/2020_1-23-Schmelzer-Kleine_FMO.pdf

BASIC EDUCATION AND FUNDAMENTAL IDEAS –
CLEAR COMBINATION OF MATHEMATICAL STRUCTURES

Formulation of the problem. At present, the focus on competence is an important part of discussions about mathematics lessons. In such discussions, particular attention is given to basic mathematical education. In this article, we substantiate the importance of mathematical competence in mathematical work and introduce mathematical work as a modeling cycle. The focus is on the processes of transforming reality into mathematics. In particular, transformational processes contribute to a better mathematical understanding of students and thus contribute to improving the quality of teaching of mathematics.
Materials and methods. In order to achieve our goals, we use in this article an empirical methods and general methods of scientific cognition: benchmarking to clarify different views on a problem and determining the direction of research, systematization and generalization to formulate conclusions and recommendations, summarize the author's pedagogical experience and observations.
Results. In Chapter 1.2, we describe the process of mathematical work at different stages, using the example of a typical problem. The above example is intended to clearly disclose the processes of thinking and work according to the theoretical model proposed in Chapter 1.1. It should also not be assumed that in a general situation, mathematical work can be comprehensively described by the example that we are studying. However, a competency-oriented teaching methodology is used to help students develop new strategies and heuristics to work with mathematics as a science. In order for students to develop their mathematical competence, mental models are called, which we call fundamental ideas. The construction of such cognitive structures is called the formation of fundamental ideas. This process is characterized by fixing the meaning of the new terms in terms of known factual connections, constructing mental objects that describe the term, and applying this objects to new contexts. Training involves both extending and changing existing foundational ideas as well as building new ideas. Accordingly, in Chapter 2.1 we use an example of probability to illustrate how various aspects of probability can be understood in terms of such a fundamental concept and how the development of fundamental ideas can occur. Significant in this article is a new approach that focuses on competence with a modeling cycle and a basic conception of foundational ideas.
Conclusions. The approach developed emphasizes the importance of considering mathematical work as a process and linking the individual levels of foundational ideas to a basic concept. The use of the proposed structure enables teachers to more effectively identify, interpret, and appropriately remove misunderstood students' basic mathematical ideas.
Key words: basic mathematical ideas, mathematical competence, modeling cycle, transformation of reality, mental objects, probability.

БАЗОВА ОСВІТА ТА ОСНОВОПОЛОЖНІ ІДЕЇ – ЗРОЗУМІЛЕ ПОЄДНАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ СТРУКТУР
Неллі Шмельцер, Міхаель Кляйне
Білефельдський університет, Німеччина

Формулювання проблеми. Наразі орієнтація на компетентність є важливою частиною дискусій про уроки математики. У таких дискусіях особливо важлива увага приділяється базовій математичній освіті. У цій статті ми обґрунтовуємо важливість математичної компетентності щодо математичної роботи та впроваджуємо математичну роботу як цикл моделювання. Основна увага приділяється процесам трансформації реальності у математику. Зокрема, трансформаційні процеси сприяють кращому математичному розумінню учнів і тим самим сприяють покращенню якості викладання математики.
Матеріали і методи. Для досягнення наших цілей ми застосовуємо в цій статті емпіричні методи і загальні методи наукового пізнання: порівняльний аналіз для з’ясування різних поглядів на проблему та визначення напрямку дослідження, систематизація та узагальнення для формулювання висновків та рекомендацій, узагальнення авторського педагогічного досвіду та спостережень.
Результати. У главі 1.2 ми описуємо процес математичної роботи на різних етапах, використовуючи приклад типового завдання. Наведений приклад покликаний чітко розкрити процеси мислення та роботи відповідно до теоретичної моделі запропонованної у главі 1.1. Не слід також думати, що у загальній ситуації математична робота може бути вичерпно описана прикладом, який ми вивчаємо. Однак компетентнісно-орієнтована методика навчання застосовується для того, щоб студенти розробили нові стратегії та евристику для роботи з математикою як наукою. Для того, щоб учні розвивали свою математичну компетентність, потрібні ментальні моделі, які ми називаємо основоположними ідеями. Побудова таких пізнавальних структур називається формуванням основоположних ідей. Цей процес характеризується фіксацією значення нових термінів з точки зору відомих фактичних зв’язків, побудовою ментальних об'єктів, що описують цей термін, та застосуванням їх у нових контекстах. Навчання включає як розширення, так і зміну існуючих основоположних ідей, а також побудову нових ідей. Відповідно, глава 2.1 використовує приклад ймовірності, щоб проілюструвати, як різні аспекти ймовірності можна зрозуміти з точки зору такого фундаментального поняття і у який спосіб може відбуватися розбудова основоположних ідей. Суттєвим у цій статті є новий підхід, що орієнтується на компетентності з циклом моделювання та базовою концепцією основоположних ідей.
Висновки. У розробленому підході вказується на важливість розглядати математичну роботу як процес і створювати зв’язок між окремими рівнями основоположних ідей у базовій концепції. Використання запропонованної структури дає можливість вчителям більш функціональніше розпізнавати, інтерпретувати та відповідно вилучати з розгляду невірно осмислені основоположні математичні ідеї учнів.
Ключові слова: базові математичні ідеї, математична компетентість, цикл моделювання, трансформація реальності, основоположні ідеї, ментальні обʼєкти, ймовірність.

References

1. Bazerrman,  M.N.  (1986). Judgment in Managerial Decision Making. New York: Wiley.
2. Blum, W., Hofe, R. v., Jordan, A.,  Kleine, M. (2004). Grundvorstellungen als diagnostisches und aufgabenanalytisches Instrument bei PISA. In: Neubrand, M. (Hrsg.): Mathematische Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern in Deutschland. Vertiefende Analysen im Rahmen von PISA 2000. Wiesbaden: WS Verlag für Sozialwissen-schaften, 145-157.
3. Blum, W., Leiss, D. (2005). Modellieren im Unterricht mit der «Tanken» - Aufgabe. Mathematik lehren, 128, 18 - 19.
4. Freudentahl, H.  (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: Reidel.
5. Hattermann, M. (2015) Grundvorstellungsumbrüche beim Übergang zur 3D Geometrie. In: M. Ludwig, A. Filler, A. Lambert (Hrsg.): Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Jubiläumsband des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik. Wiesbaden: Springer,  75-86.
6. Hofe, R.v., (1995) Grundvorstellungen mathematischer Inhalte. Heidelberg: Specktrum.
7. Kleine, M. (2004). Quantitative Erfassung von mathematischen Leistungsverläufen in der Sekundarstufe I. Hildesheim: Franzbecker.
8. Kleine, M. (2012). Lernen fördern: Mathematik  in der Sekundarstufe I. Seelze: Friedrich Verlag.
9. Malle, G.; Malle, S. (2003). Was soll man sich unter einer Wahrscheinlichkeit vorstellen? Mathematik lehren, 118,  52-56.
10. 10. Schrage, G. (1984) Stochastische Trugschlüsse.,  in:   Mathematica Didacta (7), 3-19.
11. Vohns, A. (2005). Fundamentale Ideen und Grundvorstellungen: Versuch einer konstruktiver Zusammenführung am Beispiel der Addition von Brüchen. Journal für Mathematikdidaktik, 26,  52-79.
12. Weinert  Franz  E. (2001) Vergleichende  Leistungsmessung  in  Schulen  –  eine  umstrittene  Selbstverständ-lichkeit.,  in:  Weinert  Franz  E.  (Hrsg.),  Leistungsmessungen  in  Schulen,  Beltz,  Weinheim, 17-31.
13. Wörner, D. (2014). Grundvorstellungen zum Flächeninhaltsbegriff ausbilden – oder Wie groß ist die Antarktis? In: E.M. Plackner, D. Wörner (Hrsg.): Grundlagen fördern. Materialien für den Mathematikunterricht 2. Hildesheim: Franzbecker, 151-186.