ЗАСТОСУВАННЯ АПРОКСИМАЦІЙНО-ІТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ
ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ,
ЗАДАНИХ НЕЯВНО

Анотація. Василенко Я.П. Застосування апроксимаційно-ітеративного методу до розв’язування звичайних диференціальних рівнянь, заданих неявно. В статті розглянуто використання апроксимаційно-ітеративного методу для наближення розв’язку та його похідної задачі Коші для рівняння F(x, y, y′) = 0. При звичайних щодо функції F(x, y, y′) припущеннях за допомогою ітераційного процесу Пікара описується область існування розв’язку поставленої задачі. Наведені оцінки відхилень отриманих за допомогою апроксимаційно-ітеративного алгоритму наближень від точного розв’язку та його похідної в аналітичному випадку і у випадку скінченої гладкості функції F(x, y, y′).
Ключові слова: задача Коші для звичайних диференціальних рівнянь, нерозв’язних відносно похідної, апроксимаційно-ітеративний метод, ітераційний процес Пікара, поліноміальне наближення, величина найкращого наближення.

Аннотация. Василенко Я.П. Применение аппроксимационно-итеративного метода к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных неявно. В статье рассмотрено использование аппроксимационно-итеративного метода для приближения решения и его производной задачи Коши для уравнения F (x, y, y ') = 0. При обычных относительно функции F (x, y, y') предположениях с помощью итерационного процесса Пикара описывается область существования решения поставленной задачи. Приведены оценки отклонений полученных с помощью аппроксимационно-итеративного алгоритма приближений от точного решения и его производной в аналитическом случае и в случае конечной гладкости функции F (x, y, y ').
Ключевые слова: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной, аппроксимационно-итеративный метод, итерационный процесс Пикара, полиномиальное приближение, величина наилучшего приближения.

Abstract. Vasylenko Y.P. Applіcatіon approxіmal-іteratіve method to the solutіon of ordіnary dіfferentіal equatіons defіned іmplіcіtly. The artіcle examіnes the use approxіmal-іteratіve method to approxіmate the solutіon and іts derіvatіve of the Cauchy problem for the equatіon F(x, y, y′) = 0. Under normal on the functіon F(x, y, y′) assumptіons through an іteratіve process by Pіcard descrіbed regіon of exіstence of the solutіon of the problem. The estіmates devіatіons obtaіned by approxіmatіon-іteratіve algorіthm for the approxіmatіon of the exact solutіon and іts derіvatіve іn the analytіc case and іn the case of fіnіte smoothness functіons F(x, y, y′) presented hereіn.
Keywords: Cauchy problem for ordіnary dіfferentіal equatіon unsolved relatіve to derіvatіve approxіmal-іteratіve method, іteratіve process Pіcard, polynomіal approxіmatіon, the value of the best approxіmatіon.

Список використаних джерел

1. Дзядык В.К. Аппроксимационно-итеративный метод приближения полиномами решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. – Киев, 1984. – 25 с. – (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 84.27).
2. Дзядык В.К. Аппроксимационно-итеративный метод приближения полиномами решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1986. – 26, № 3. – С. 357–372.
3. Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1988. – 304 с.
4. Новиков Е.А., Юматова Л.А. Некоторые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной // Докл. АН СССР. – 1987. – 295, № 4. – С. 809–812.
5. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М: Наука, 1970. – 279 с.
6. Зубов В.И. К вопросу существования и приближенного представления неявных функций // Вестн. Ленинград. ун-та. Сер. математики, механіки и астрономии. – 1956. – № 19, вып.4. – С. 48. – 54.
7. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. – М: Изд-во иностр. лит., 1957. – 443 с.
8. Dzjadik V.K., Ivanov V.V. On some asymptotics and estimates for the uniform norms of the Lagrange interpolation polynomials corresponding to Chebyshev nodal points // Analysis Math. – 1983. – № 9. – P. 85-97.