Формулювання проблеми. Реформування шкільної освіти в Україні, зокрема шкільної математичної, передбачає вирішення цілого ряду завдань: удосконалити зміст шкільного курсу математики; чітко описати вимоги до математичної підготовки учнів; створити нові за змістом державні навчальні програми з математики; підготувати і видати навчальні підручники і т. п. Зрозуміло, що при цьому будуть використані попередні напрацювання, які у світлі вимог реформи мають доопрацьовуватися, оновлюватися, створюватися заново. Все позитивне має зберегтися, застаріле оновитися, нове, актуальне, необхідне – створитися. Сказане стосується і навчальних програм з математики та шкільних підручників з математики. Зокрема, це стосується курсу алгебри і початків аналізу, що вивчається в старшій профільній школі.
Результати. У статті говориться про формування змісту поняття алгебраїчного виразу в курсі алгебри і початків аналізу для старшої профільної школи. З поняттям алгебраїчного виразу школярі знайомляться ще в основній школі. Вони мають уявлення про такий вираз, обізнані з деякими його видами, властивостями. Вміють використовувати отримані знання під час розв'язування рівнянь, нерівностей та їх систем, записів функціональних залежностей між величинами, розв'язування прикладних задач. Однак, знання учнів основної школи (підлітків) сформовані (в силу їх вікових можливостей) на наочно-оперативному рівні. Бракує систематичних теоретичних знань. Про це слід потурбуватись в старшій, профільній школі. Адже її вихованцями є старші учні юнацького віку, з більшими задатками і можливостями.
У статті пропонується розпочати вивчення курсу алгебри і початків аналізу з розгляду в 10 класі першої теми "Вирази, функція, рівняння і нерівності". В межах цієї теми слід сформувати в учнів (методом доцільних задач) цілком прийнятне означення поняття алгебраїчного виразу, яке буде учням зрозумілим, доступним. Заодно появляється нагода зробити ретроспективний аналіз тих виразів (числових, буквених, одночленів, многочленів, дробів і т. п.), які вивчались в основній школі і представляються в уяві учнів як розрізнені, як такі, що не мають спільних ознак. Таким чином вирішується два завдання: повторюються і систематизуються знання курсу алгебри за основну школу (часткові і з курсу математики 5-6 класів); створюється нова методологічна основа для вивчення в старшій школі інших видів виразів – ірраціональних, степеневих, показникових, тригонометричних, логарифмічних, векторних тощо.
Висновки. Такий підхід націлює учнів на подальші розвідки в математиці на заняттях факультативу, у вищих навчальних закладах, де математика вивчається одночасно на розширеному та поглибленому рівнях. Стаття містить конкретні методичні рекомендації і адресована вчителям, студентам-математикам вишів, розробникам шкільних навчальних програм з математики, підручників з курсу алгебри і початків аналізу, аспірантам, науковцям в галузі теорії та методики навчання математики.

Formulation of the problem. The reform of school education in Ukraine, particularly in school mathematics, involves the solution of a number of tasks: improving of the school mathematics course content; clear description of the requirements for mathematical preparation of students; creation of new content for the state curriculum in mathematics; preparation and publishing textbooks, etc. It is clear that this will use the previous developments, which under requirements of the reform should be refined, updated, and re-created. Everything positive must be preserved and outdated, but everything new, relevant and necessary should be created. The above can be applied to mathematics training programs and school mathematics textbooks. In particular, it is applied to the course of algebra and the beginnings of analysis, which is studied in the senior profiled school.
Results. In the article we deal with the formation of the content of the concept of algebraic expression in the course of algebra and the beginnings of analysis for the senior profiled school. Students get acquainted with the notion of algebraic expression in basic school. They have an idea of ​​such an expression, familiar with some of its types, properties. They are able to use the acquired knowledge in solving equations, inequalities and their systems, records of functional dependencies between quantities, solving applied problems. However, the knowledge of basic school students  is formed at a visual and operational level. There is a lack of systematic theoretical knowledge. This should be taken care of in the senior, specialized school. In this type of school we deal with older students with greater inclinations and opportunities.
In the article we propose to begin the study of the course of algebra and the beginnings of analysis on consideration in the 10th grade of the first topic "Expressions, Function, Equations and Inequalities". Within this topic, it is necessary to formulate a well-defined definition of algebraic expression for students (appropriate method) that will be accessible to students. At the same time, there is an opportunity to make a retrospective analysis of those expressions (numerical, alphabetic, polynomials, polynomials, fractions, etc.) that were studied in basic school and presented to the imagination of students as disparate as those without common features. Thus, two problems are solved: knowledge of the course of algebra for basic school is repeated and systematized and new methodological basis is created for studying in the high school other types of expressions - irrational, degree, exponential, trigonometric, logarithmic, vector, etc.
Conclusions. This approach encourages students to further study in mathematics in elective classes, in higher education institutions where mathematics is studied at both advanced and in-depth levels. The article contains specific methodological recommendations and is addressed to teachers, students-mathematicians, developers of school curriculum in mathematics, textbooks on the course of algebra and the beginnings of analysis, graduate students, scholars in the field of theory and methodology of teaching mathematics.

На основі описаного зарубіжного досвіду проведено аналіз щодо забезпечення умов якісної підготовки вчителя математики в системі освіти зарубіжних країн. Окремо приділено увагу міжнародним дослідженням в галузі навчання та викладання математики: TEDS-M, TEDS-FU та COACTIV.
Формулювання проблеми. Питання якості освіти, зокрема математичної, є актуальним у всьому світі. Науковці намагаються дати відповідь на питання: Як можна вдосконалити процес навчання математики? Як підвищити рівень методичної підготовки вчителів? Як покращити відбір та утримання вчителів?
Матеріали і методи. У процесі дослідження використовувались аналіз, узагальнення, класифікація, систематизація та узагальнення досвіду зарубіжних науковців для виділення основних напрямів вдосконалення методичної підготовки вчителя математики в Україні.
Результати. У статті акцентовано увагу на результати міжнародних досліджень. Зокрема, дослідження TEDS-M спрямоване на вивчення професійної компетентності майбутніх учителів математики шляхом збору професійних знань та гносеологічних переконань; дослідження TEDS-FU аналізує вчительський розвиток у перші роки роботи; у дослідженні COACTIV розглянуто професійну компетентність вчителів математики та її вплив на навчання та успішність учнів. З’ясовано, що система підготовки вчителя математики в Україні характеризується низкою проблем, серед яких є спільні тенденції, що прослідковуються у багатьох країнах світу: низький рівень абітурієнтів; формальне забезпечення якості професійних програм підготовки вчителя математики; незначна популярність професії вчителя серед молоді.
Висновки. У результаті вивченого досвіду, немає однозначної відповіді щодо умов забезпечення якісної підготовки вчителя математики. Вважаємо, що важливо: поліпшувати зміст освітніх програм підготовки вчителя математики та освітніх програм підвищення кваліфікації вчителя математики; вдосконалювати форми підготовки вчителя математики; налагоджувати співпрацю між викладачами педагогічних університетів та працюючими вчителями; розробити освітні програми підготовки тренерів для навчання вчителів математики нової української школи; сприяти підвищенню престижності професії вчителя в Україні.

Based on the described foreign experience, and analysis of the conditions of qualitative training of the mathematics teacher in the education system of foreign countries was conducted. Particular attention is paid to international research in the field of teaching and teaching of mathematics: TEDS-M, TEDS-FU, and COACTIV.
Formulation of the problem. The issue of the quality of education, particularly mathematics, is relevant worldwide. Scientists are trying to answer the question: How can the math learning process be improved? How to increase the level of teacher training? How to improve teacher selection and retention?
Materials and methods. In the course of the research, the analysis, generalization, classification, systematization, and generalization of the experience of foreign scientists were used to identify the main directions of improving the methodological training of mathematics teachers in Ukraine.
Results. The article focuses on the results of international research. In particular, the TEDS-M study aims to examine the professional competence of future mathematics teachers through the acquisition of professional knowledge and epistemological beliefs; the TEDS-FU study examines teacher development in the early years; the COACTIV study examines the professional competence of mathematics teachers and their impact on students' learning and performance. It has been found that the mathematics teacher training system in Ukraine is characterized by several problems, among which there are common trends that are observed in many countries of the world: low level of entrants; formal quality assurance of professional mathematics teacher training programs; little popularity of the teaching profession among young people.
Conclusions. As a result of the experience learned, there is no one-to-one answer regarding the conditions for providing quality mathematics teacher training. We believe it is important to: improve the content of mathematics teacher training programs and mathematics teacher training programs; improve forms of mathematics teacher training; to establish cooperation between teachers of pedagogical universities and working teachers; to develop educational programs for training coaches to teach mathematics teachers of the new Ukrainian school; to promote the prestige of the teaching profession in Ukraine.

Формулювання проблеми. Оскільки англійська мова є однією з офіційних мов ІСАО, отримання професійної освіти англійською є дуже важливим для майбутніх фахівців в галузі авіації. При викладанні в англомовних групах математичних дисциплін перед викладачами постає проблема викладу навчального матеріалу студентам, для яких англійська мова не є рідною. Метою даної роботи є дослідження специфіки викладання в англомовних групах окремих розділів аналітичної геометрії українським та іноземним студентам.
Результати. В Національному авіаційному університеті більшість іноземних студентів обирає навчання англійською мовою. Оскільки частина українських студентів також обирає навчання англійською, на багатьох спеціальностях утворюються мультинаціональні англомовні академічні групи. Викладання математичних дисциплін, зокрема аналітичної геометрії в таких групах вимагає модифікації стандартних методик та підходів.
Проведений аналіз практики викладання англійською мовою окремих розділів аналітичної геометрії показує, що рівень знань і обсяг інформації, набуті іноземними студентами в шкільні роки, за багатьма параметрами відрізняється від рівня і обсягу знань випускників середніх шкіл України, має певну відмінність в підходах до оцінки значущості різних тем та їх взаємозв’язків.
Висновки. Для покращення засвоєння англомовними студентами аналітичної геометрії рекомендується детальна алгоритмізація процесу розпізнавання основних форм рівнянь геометричних об’єктів. Бажано також приділяти достатню увагу використанню різноманітних опорних матеріалів, адаптованих для студентів різних спеціальностей. Важливим є приділення достатньої уваги доведенню до студентів особливостей використання термінології і надання студентам методик застосування систем комп’ютерної математики та інтернет-ресурсів.

 

The article is devoted to the analysis of the practice of teaching analytic geometry in English to Ukrainian and foreign students at the National Aviation University. The problems of methodical and organizational nature that arise in the process of teaching particular topics of analytic geometry in English-speaking groups are considered.

Formulation of the problem. Since English is one of the official languages of ICAO, obtaining professional education in English is very important for future aviation professionals. When teaching in English-speaking groups to mathematical disciplines, teachers face the problem of teaching to students who are not English native speakers. The purpose of this paper is to investigate the specifics of teaching in English-speaking groups of particular topics of analytical geometry to Ukrainian and foreign students.

Results. At the National Aviation University, most foreign students choose to study in English. Since part of the Ukrainian students also elects to study in English, on many specialties multinational English-speaking academic groups are formed. Teaching mathematical disciplines, in particular analytic geometry, in such groups requires modifications to standard techniques and approaches.

In English-speaking academic groups, into the teaching of Ukrainian and foreign students to analytic geometry a project approach for the in-depth study of curves and surfaces of the second order was introduced, so that for joint solving of complex problems, mutual verification of assimilation of material and preparation of presentations the students are divided into several multinational teams.

The conducted analysis of the practice of teaching in English to particular topics of analytic geometry shows that the level of knowledge and the amount of information acquired by foreign students in school years, in many aspects differs from the level and amount of knowledge of graduates of secondary schools in Ukraine, and has certain difference in the approaches to the assessment of importance of different topics and their interconnections.

Conclusions. To improve the learning of analytic geometry by English-speaking students, a detailed algorithmization of the process of recognizing the basic forms of the equations of geometric objects is recommended. It is also desirable to pay sufficient attention to the use of different supporting materials adapted for students of different specialties. It is important to pay sufficient attention to the peculiarities of terminology and to provide students with techniques for applying computer mathematics systems and online resources.

Формулювання проблеми. У зв’язку з переорієнтуванням напряму освіти зі знаннєвого до компетентнісного, вміння розв’язувати математичні задачі практичного змісту є актуальним та необхідним для учнів. Представлені завдання охоплюють теми всього шкільного курсу математики, тому, для вдалої здачі ЗНО, роботі над розв’язанням завдань практичного змісту варто приділяти постійну увагу протягом всього періоду навчання. Виникла необхідність системного аналізу завдань практичного змісту ЗНО з математики 2017-2019 років та доведення важливості систематичного включення в уроки математики завдань практичного змісту для розвитку здатності учнів застосовувати свої знання в навчальних і реальних життєвих ситуаціях, поліпшення результатів зовнішнього незалежного оцінювання та інших видів тестування.

Матеріали і методи. Для вирішення поставленої проблеми застосовувався системно-структурний підхід: проведено статистичну обробку сертифікаційних робіт основних та додаткових сесій ЗНО з математики 2017, 2018, 2019 років на предмет знаходження в них завдань практичного змісту; проаналізовано психометричні таблиці результатів ЗНО, надані Українським центром оцінювання якості освіти; запропоновано класифікацію завдань практичного змісту ЗНО з математики; виявлено складову завдань практичного змісту в навчальних програмах з математики для 5-11 класів.

Результати. Після проведення системного аналізу складової завдань практичного змісту ЗНО 2017, 2018, 2019 років, було зазначено, що в сертифікаційних роботах завдань практичного змісту містилося 15-18% від загальної кількості завдань ЗНО з математики, і цей відсоток зросте до 22 в 2021 році. Біля 65% таких завдань стали для учасників складними і не були розв’язані. Найскладнішими виявилися завдання з комбінаторики, теорії ймовірностей, геометричні задачі та задачі на складання дробово-раціональних рівнянь.

Висновки. Автори дослідили динаміку змін завдань ЗНО практичного змісту щодо їх якості та кількості за останні роки, класифікували та проаналізували їх за формою, обсягом, складністю, темами та класами. Зроблений аналіз виявив значні проблеми щодо вмінь учнів застосовувати отримані математичні знання на практиці, хоча дослідження підручників 5-11 класів і навчальних програм з математики показало, що вони містять достатню кількість завдань практичного змісту, а опанування завдань практичного змісту передбачено у всіх класах. Задля покращення ситуації вчителеві не треба уникати роботи з цими завданнями, потрібно планувати уроки таким чином, щоб завдання практичного змісту розглядались і залучались до освітнього процесу систематично, протягом усіх років навчання математики.

 

 Formulation of the problem. Due to the reorientation of the direction of education from knowledge to competence, the ability to solve mathematical tasks of practical content is relevant and necessary for students. The presented tasks cover the topics of the whole school mathematics course, therefore, for successful passing of the ZNO, work on solving the tasks of practical content should be given constant attention throughout the study period. The need for a systematic analysis of the tasks of practical content of ZNO in mathematics 2017-2019 and to prove the importance of systematic inclusion in the lessons of mathematics practical content tasks to develop the ability of students to apply their knowledge in educational and real life situations, improve the results of external independent assessment and other types of testing.

 Materials and methods. To solve this problem, a system-structural approach was applied: statistical processing of certification works of the basic and additional sessions of ZNO in mathematics 2017, 2018, 2019 was conducted in order to find practical tasks in them; psychometric tables of ZNO results provided by the Ukrainian Center for Educational Quality Assessment were analyzed; classification of tasks of practical content of ZNO in mathematics is proposed; the component of practical content tasks in mathematics curricula for 5-11 grades is revealed.

 Results. After conducting a systematic analysis of the components of the practical content tasks of the ZNO 2017, 2018, 2019, it was noted that the certification works of the practical content contained 15-18% of the total number of ZNO tasks in mathematics, and this percentage will increase to 22 in 2021. More than 65% of these tasks became difficult for participants and were not solved. Combinatorics, probability theory, geometric problems, and fractional-rational equation problems proved to be the most difficult.

 Conclusions. The authors investigated the dynamics of changes in the ZNO practical content tasks in terms of quality and quantity in recent years, classified and analyzed them by form, scope, complexity, topics and classes. The analysis revealed significant problems with students' ability to apply their mathematical knowledge in practice, although studies of 5-11 grade textbooks and mathematics training programs showed that they contained a sufficient number of practical content tasks, and mastery of practical content tasks is provided in all grades. In order to improve the situation, the teacher should not avoid working with these tasks; lessons should be planned in such a way that the problems of practical content are considered and involved in the educational process systematically, throughout the years of teaching mathematics.

Анотація. Формулювання проблеми. В останні роки зростає інтерес математиків до об’єктів з нетривіальними метричними і топологічними властивостями. Одним із ефективних апаратів задання і дослідження таких об’єктів є використання систем зображення дійсних чисел. Також дійсне число є фундаментальним поняттям теорії чисел, неперервної математики та теорії ймовірностей. Сьогодні у математиці та її застосуваннях широко використовуються різні системи представлення та зображення дійсних чисел. Деякі з них мають скінченний алфавіт, а деякі – нескінченний. Але у більшості випадків дійсне число моделюється з числа натурального. Класичним підходом до зображення дробової частини дійсного числа є представлення числа у формі суми ряду з чисел, обернених до натуральних. Природньо виникає необхідність систематизувати, чітко виділити чи розробити рекурсивні алгоритми розкладів дійсного числа в ряди спеціальних видів.
Матеріали і методи. Проведено системний аналіз наукових джерел щодо представлення чисел деякими рядами спеціальних видів для визначення найбільш важливих напрямків. При дослідженні використовувались методи та засоби метричної теорії чисел, математичного аналізу та математичної логіки.
Результати. У результаті дослідження було систематизовано підхід до зображення чисел деякими рядами, чітко виділено рекурсивні кроки скінченного чи нескінченного алгоритму переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення чисел s-адичними рядами, рядом Енгеля, знакододатним та знакозмінним рядами Люрота, рядами Остроградського 1-го та 2-го видів. Дію кожного з алгоритмів було застосовано до одного і того ж самого раціонального числа з проміжку (0;1) і виявлено, що одне і те ж саме число може мати в різних системах скінченне або нескінченне періодичне зображення.
Висновки. Враховуючи самоподібну структуру деяких збіжних знакододатних чи знакозмінних рядів, вдається отримати чіткі рекурсивні кроки переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення за допомогою рядів.

Abstract. Formulation of the problem. In recent years, mathematicians have become increasingly interested in objects with non-trivial metric and topological properties. One of the most effective tools for assigning and researching such objects is a usage of the real numbers representation system. Also, the real number is a fundamental concept of number theory, continuous mathematics, and probability theory.  Nowadays, different systems of the real numbers representation are extensively used in mathematics. Some of them have a finite alphabet and some have an infinite. But in most cases a real number is modeled from the natural number. The classical approach to the representation of the fractional part of a real number is to represent a number in the form of number series sum inverted to natural.  In this regard, there is a need to systematize, clearly distinguish, or develop recursive algorithms for the real numbers distribution into series of special types.

Materials and methods. A systematic analysis of scientific sources on the numbers representation by some series of special types to determine the most important areas is carried out. Methods and means of metric number theory, mathematical analysis, and mathematical logic were applied in the study.

Results. The study systematized the approach to the numbers representation in some series, clearly distinguished the recursive steps of a finite or infinite algorithm for the transition from a decimal image of a real number to an image of numbers with s-adic series, Engel series, positive terms and alternate series of Lurots, Ostrogradskyi series of the 1st type and of the 2nd type. The action of each algorithm was applied to the same rational number from the interval (0; 1) and it was found that the same number can have a finite or infinite periodic representation in different systems.

Conclusions. Taking into account the self-similar structure of some converging positive or alternating series, it is possible to obtain clear recursive steps of the transition from a decimal representation of a real number to a representation using the series.