Головна » Статті » АКТУАЛЬНІ ПРОБЛЕМИ МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

У категорії матеріалів: 135
Показано матеріалів: 6-10
Сторінки: « 1 2 3 4 ... 26 27 »

Сортувати за: Даті · Назві · Рейтингу · Коментарям · Переглядам

Анотація. У статті розглянуто проблему формування в учнів старшої школи ймовірнісного мислення. Необхідність цілеспрямованої роботи вчителя математики по вирішенню даної проблеми зумовлена тим, що сучасне життя вимагає від людини вміння орієнтуватися в невизначених ситуаціях, зважувати ризики та обирати найбільш ефективний з різних варіантів. У світі «його величність випадок» відіграє значну роль. Імовірнісні закони універсальні, і саме вони лежать в основі розуміння наукової картини світу. Збільшуються сфери застосування ймовірнісно-статистичних методів та моделей в різних областях науки і техніки. Все більшого значення набувають стохастичні поняття і факти в системі знань сучасного фахівця, більш вагомою стає їх прикладна та практична значущість. В умовах сучасної дійсності стають актуальними такі якості мислення, як гнучкість, критичність, глибина, адаптивність, динамізм, здатність діяти в умовах конкуренції і ситуаціях невизначеності. Отже, сучасній людині необхідний стиль мислення, який деякі дослідники називають «ймовірнісно-статистичним».
Головна роль у формуванні, вдосконаленні та розвитку імовірнісного стилю мислення в шкільному курсі математики відводиться елементам комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики. Вивчення елементів теорії ймовірностей і математичної статистики відносять до числа основних засобів реалізації прикладної спрямованості навчання математики. Прикладна спрямованість навчання стохастики полягає в організації навчальної діяльності учнів щодо застосування стохастичних ідей і методів до опису процесів реальної дійсності. Прикладні задачі виступають в якості основного компонента реалізації прикладної спрямованості навчання стохастики в школі і сприяють розвитку ймовірнісного мислення учнів старшої школи.
У статті запропоновано три варіанта однієї з класичних прикладних ймовірнісних задач, яка відома як «Задача про парні дні народження». Всі три варіанта задачі подано з розв’язанням, зроблено порівняльний аналіз умов і відповідних розв’язків.

Abstract. The article deals with the problem of formation of probabilistic thinking among high school students. The purposeful work of a teacher of mathematics to solve this problem is needed because our modern life requires from a person the ability to navigate in uncertain situations, weigh risks and choose the most effective variant from different ones. "His Majesty Case" plays a significant role in the life. Probabilistic laws are universal and they are the basis of an understanding of the scientific picture of the world. Spheres of use of probabilistic-statistical methods and models are increasing in various fields of science and technology. Stochastic concepts and facts are becoming more important in the system of knowledge of modern specialists, their applicable and practical significance is becoming more crucial. Qualities of thinking such as flexibility, criticality, depth, adaptability, dynamism, ability to act in conditions of competition and situations of uncertainty are becoming relevant in today's reality. Consequently, a modern person needs a style of thinking called by some researches as "probabilistic-statistical".
Elements of combinatorics, probability theory and mathematical statistics play the main role in shaping, improving and developing the probabilistic thinking style in the mathematical course at school. The study of the elements of the theory of probabilities and mathematical statistics are among the main means of realisation of the practical side of teaching mathematics. The practical orientation of stochastics’ teaching is in organizing students' learning activities to use stochastic ideas and methods in order to describe the processes of reality. Practical tasks are the main component of the implementation of the practical orientation of stochastic learning at school and contribute to the development of probabilistic thinking of high school students.
Three variants of one of the classical practical probabilistic problems, which is known as "The Problem of Paired Days of Birth," are proposed in the article. All three variants of the problem are shown with solution, the comparative analysis of conditions and corresponding solutions is made.

АКТУАЛЬНІ ПРОБЛЕМИ МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ | Переглядів: 37 | Author: Розуменко А.О., Розуменко А.М. | Download in PDF |

Анотація. У багатьох задачах теорії чисел та дискретної математики доводиться виконувати арифметичні дії над цілими числами за певним модулем. При такому підході кожне ціле число можна ототожнити з остачею за цим модулем та розглядати множину лишків як нову, модульну арифметику.
Зазначимо, що арифметичні операції над елементами утвореної таким способом алгебраїчної структури вводяться подібно до того, як вони визначені для цілих чисел, і визначаються відповідними остачами від ділення на модуль. Проте, залежно від модуля, деякі особливості можуть виникати при множенні класів лишків та похідних від нього операцій – піднесенні до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем.
В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами цих арифметик. Тому в них можна обійтись без від’ємних та дробових числових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля.
Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичних дій, розв’язуванню рівнянь та їх систем присвячено лише окремі публікації.
У даній статті розглядаються особливості розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем у модульних арифметиках. Досліджено питання розв’язності окремих типів алгебраїчних рівнянь (зокрема, лінійних та квадратних) та систем лінійних рівнянь у арифметиках за простим модулем, наведено відповідні алгоритми і приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.

Abstract. It is necessary to perform arithmetic operations for a particular module in many tasks of Theory of  Numbers, Discrete Mathematics and Cipher Theory. In this case, each integer can be identified with the remainder of this module and consider a plurality of residues as a new Modular Arithmetic.
In spite of the fact arithmetic operations over elements of an algebraic structure formed in this way are introduced in the same way as they are defined for integers, and are determined by the corresponding residues from division into a module. However, depending on the module, some features may arise when multiplying the classes of residues and derivative operations, elevation to degree and extraction of the root, when solving equations and their systems.
In Arithmetics for a simple module, the results of the operations of subtraction and division for a non-zero element also are the elements of the corresponding Arithmetics. Therefore, they can be considered without negative and fractional expressions. Moreover, in such an Arithmetics, most of well-known algorithms of solving algebraic equations and their systems are preserved. On the other hand, in the Arithmetics for the compiled module, the established rules may be violated, what is explained by the existence of dividers of zero in them.
Despite the fact that the implementation of arithmetic operations in finite Arithmetics basing mostly on the Theory of Congruences and the Theory of Rings, which are studied in the course of Algebra and Theory of Numbers, only some individual publications are devoted to the study of Modular Arithmetics, the peculiarities of the implementation of arithmetic operations and the solving algebraic equations and their systems, in them.
In this article  peculiarities algebraic equations and their systems in Modular Arithmetic. The solvability of certain types of algebraic equations (in partiqular, linear and square equations), as well as systems of linear equations in arithmetic by a simple module, is explored, and the corresponding algorithms and examples are given. The problem of solvability of certain types of algebraic equations, as well as systems of linear equations in Modular Arithmetic is explored. Corresponding algorithms and examples are given in this article. The material of the article can be used in the study of relevant topics in the Theory of Numbers and Discrete Mathematics, as well as at the lessons of the special courses and mathematical circles.

АКТУАЛЬНІ ПРОБЛЕМИ МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ | Переглядів: 36 | Author: Лукашова Т.Д., Марченко К.В. | Download in PDF |

Анотація. У статті досліджуються деякі властивості поля (Q; +, ·; 0, 1) раціональних чисел, його підкілець та підгруп адитивної групи (Q; +; 0) і мультиплікативної групи (Q \ {0}; ·; 1) цього поля.
Одним із основних підкілець поля раціональних чисел є кільце цілих чисел. Стимулом його розширення до мінімального числового поля, яким є поле раціональних чисел, є проблема розв’язності рівняння ax = b з цілими коефіцієнтами. Умова мінімальності поля, де назване рівняння має розв’язок при а ≠ 0, дає відповідь на питання про зображення довільного раціонального числа часткою двох цілих чисел.
Отже, множина раціональних чисел Q = Z È Q \ Z, де Z– множина цілих чисел, а Q \ Z– множина дробових чисел. Загальновідомим є однозначне подання будь-якого раціонального числа q ≠ 0 нескоротним дробом. Проте, однозначних записів ненульових раціональних чисел існує нескінченна кількість. Наприклад, цікавим і корисним у багатьох задачах є однозначне подання раціонального числа q > 0 у вигляді:  , де р – просте натуральне число, n Î Z, a і b – натуральні числа, причому (a,b) = (a, p) = (b, p) = 1. Для q< 0 відповідно матимемо:   .
Стосовно кілець раціональних чисел, розглянуто питання їх дискретності та щільності. Доведено, зокрема, що щільним буде кожне підкільце поля раціональних чисел, яке містить дробове число.
При дослідженні властивостей числових полів, яких не має поле раціональних чисел, продемонстровано доведення його неповноти без використання ірраціональних чисел.
При розгляді адитивних і мультиплікативних груп раціональних чисел запропоновано одне з можливих доведень того, що група автоморфізмів групи (Q; +; 0) ізоморфна групі (Q \ {0}; ·; 1), а група автоморфізмів підгруп групи (Q; +; 0) ізоморфна підгрупам групи (Q \ {0}; ·; 1). Цей факт проілюстровано на прикладі групи (Z ; + ; 0) цілих чисел та групи (Qp; +; 0) р­-ових дробів для довільного простого числа р.
Знання цих фактів допоможе вчителю математики поглибити та осучаснити знання учнів про систему раціональних чисел.

Abstract. There are investigated some structure properties of field (Q; +, ·; 0, 1) rational numbers, some properties of its subfields, some properties of subgroups of additive group (Q; +; 0) and multiplicative group (Q \ {0};  ·;  1) of this field in this article.
One of the basic subrings of rational numbers field is integer numbers ring. The stimulus to its extension to minimal numeral field (which are rational numbers field) is the problem of equation’s ax = b with integer coefficients soluble. When such equation has a solution with a ≠ 0, the minimal field condition gives an answer about representation any rational number as a quotient of two integer numbers.
Thus, the rational numbers set Q = Z ÈQ \ Z when Z – the integer numbers set and Q \ Z– the fraction numbers set. The uniquely representation any rational number q ≠ 0 as a two integer numbers quotient is commonly known. But uniquely representations any rational number exist infinitely a lot. For example, it’s interesting and useful for many problems next uniquely representation any rational number: if q > 0 then  when p – prime number, n ÎZ, a and b are natural numbers being (a, b) = (a, p) = (b,p) = 1; if q < 0 then  .
On subject of rings of rational numbers field it’s consider the issues about their discreteness and density. It’s proved, in particular, that every some ring of rational numbers field is density when fractional number belongs to it.
When we investigated the properties of numeral fields which rational numbers field don’t have,it’s showed the incompleteness of this field. It’s proved this fact without using the irrational numbers.
It’s  suggested the one of possible proof that the group of automorphisms of group (Q; +; 0) is isomorphic to group (Q \ {0}; ·; 1), when we consider the additive and multiplicative groups of rational numbers field. It’s proved that the group of automorphisms of group‘s (Q; +; 0) subgroups is isomorphic to subgroups of group    (Q\ {0}; ·;  1) too. The last fact is illustrated by an example of group (Z ; + ; 0) integer numbers and an example of group (Qp; +; 0) p- adic numbers for any prime number p.
The teachers of Mathematics may make the knowledge of their students more deepen and more modern with all these facts.

Анотація. Сучасні методи господарювання вимагають від фахівців уміння знаходити оптимальні рішення за обмежений термін часу в умовах, що змінюються. Зрозуміло, що вирішальну роль в умінні розв’язувати такі завдання має навчання в вищому навчальному закладі, де закладаються відповідні фундаментальні і фахові знання. Разом з цим, спостерігається тенденція зменшення уваги для здобувачів вищої освіти електричних напрямів підготовки на оволодіння вищою математикою як фундаментальною дисципліною. Більш того, недостатньо реалізуються принципи системного підходу, згідно якого при оволодінні фаховими знаннями повинні в повній мірі застосовуватися знання фундаментальних дисциплін за допомогою сучасних комп’ютерних технологій і відповідних комплексів математичних програм. Як один із можливих шляхів подолання цих труднощів, пропонується модель міждисциплінарної інтеграції при вивченні диференціальних рівнянь здобувачами вищої освіти електричних напрямів підготовки. Згідно цієї моделі вивчення фахової дисципліни «Теоретичні основи електротехніки» повинно активно спиратися на знання відповідних розділів вищої математики, зокрема курсу «Диференціальні рівняння». Більш того, обґрунтовується необхідність вивчення розділу «Операційне числення», який дозволяє не тільки спростити оволодіння фаховою дисципліною «Теоретичні основи електротехніки», але й збільшити при цьому ефективність застосування сучасних комп’ютерних технологій, зокрема, математичного пакету Mathcad. Підкреслена важливість застосування перетворень Лапласа при розв’язанні диференціальних рівнянь за допомогою математичного пакету Mathcad, що дозволяє уникнути громіздких обчислень, які вимагають значних витрат часу. Також підкреслюється можливість наочного зображення розв’язків диференціальних рівнянь за допомогою графіків у математичному пакеті Mathcad, що відкриває ще один канал зручного сприйняття інформації, який спрощує вивчення фахової дисципліни «Теоретичні основи електротехніки». На основі розробленої моделі запропоновано методичний підхід, який дозволяє не тільки поповнити здобувачами вищої освіти електричних напрямів підготовки знання по відповідним розділам вищої математики, але в режимі діалогу з комп’ютером, користуючись математичним пакетом Mathcad, виконувати типові розрахунки у вигляді прикладних задач при вивченні фахової дисципліни «Теоретичні основи електротехніки».

Abstract. Modern management practices require professionals to be able to find optimal solutions for a limited time in a changing environment. It is clear that the decisive role in the ability to solve such problems is to study at a higher educational institution, where the relevant basic and professional knowledge is laid. At the same time, there is a tendency to reduce the attention of the higher education students of electrical engineering specialties for mastering higher mathematics as a fundamental discipline. Moreover, the principles of the systematic approach, under which the mastering of professional knowledge must fully apply the knowledge of fundamental disciplines with the help of modern computer technologies and corresponding complexes of mathematical programs. As one of the possible ways to overcome these difficulties, a model of interdisciplinary integration is proposed in the study of differential equations by higher education graduates of electrical engineering specialties. According to this model, the study of the professional discipline "Theoretical Foundations of Electrical Engineering" should actively rely on knowledge of the relevant sections of higher mathematics, in particular the course "Differential Equations". Moreover, the necessity of studying the section "Operational calculus" is substantiated, which allows not only to simplify the mastery of the specialized discipline "Theoretical foundations of electrical engineering," but also to increase the efficiency of the application of modern computer technologies, in particular, the mathematical package Mathcad. It is emphasized the importance of applying Laplace transformations to the solution of differential equations using the mathematical package Mathcad, which avoids cumbersome computations that require significant time expenditures. It also emphasizes the possibility of visual representation of solutions of differential equations using graphs in the mathematical package Mathcad, which opens another channel of convenient perception of information, which simplifies the study of professional discipline "Theoretical foundations of electrical engineering."A methodological approach is propose don the basis of the developed model, that allows not only to supplement the higher education curriculum with the higher education curriculum of the electrical engineering of the relevant sections of higher mathematics but in the dialogue with the computer, using the mathematical package Mathcad, to perform typical calculations in the form of applied tasks in the study of professional Disciplines "Theoretical Foundations of Electrical Engineering".

Анотація. Актуальність матеріалу, викладена у статті, обумовлена використанням ефективних методів візуалізації навчального матеріалу з метою формування математичної компетентності студентів економічних спеціальностей.
Метою статті є розробка методики формування математичної компетентності студентів економічних спеціальностей, яка базується на використанні інформаційних технологій (ІТ) і сприяє інтеграції математичних знань у майбутню професійну діяльність.
Запропоновано методичний супровід використання сучасних ІТ під час розв’язування окремих задач з теорії ймовірностей, з використанням демонстраційних комп’ютерних моделей (ДКМ), як засобу візуалізації понять випадкових подій та величин.
Серед ДКМ виокремлено професійно-орієнтовані задачі спрямовані на встановлення взаємного зв'язку математичних та економічних понять, що в цілому позитивно сприяє розумінню і готовності застосування базових понять і методів теорії ймовірностей у майбутній професійній діяльності. У середовищі для графічного аналізу функцій запропоновано ДКМ вивчення властивостей випадкової величини на основі їх геометричної інтерпретації. З метою демонстрації процесів моделювання з випадковими подіями і величинами у динамічному середовищі GeoGebra запропоновано ДКМ проведення та опрацювання віртуального експерименту.
Формування математичної компетентності студентів економічних спеціальностей відбувається за рахунок впровадження у навчальний процес науково-обґрунтованого методичного супроводу навчального матеріалу, який базується на використанні ІТ. В його основу покладено візуалізацію математичних знань з урахуванням взаємного зв’язку математичних та економічних понять, що сприяє усвідомленню здатності синтезувати отриманні знання для розв’язування професійно-орієнтованих задач.

Abstract. This article presents an effective approach to formation of mathematical competence of economics students. The purpose of this article is to suggest a new pedagogical approach in teaching mathematics with the use of information technologies (IT) which would allow students of economic specialties to achieve mathematical competence and enable them to proceed to a successful career in future.
This article offers a methodological strategy for teaching mathematics with the use of IT, particularly demonstrational computer models (DCM) to visualize the concepts of probability theory: events and random variables in order to solve mathematical tasks in the theory of probability.
There are a number of professionally relevant tasks among DCM, which are essential in studying both mathematical and economic concepts to establish a coherence between mathematical and economic concepts (expected rate of profit - execrated value, standard deviation - variance), which are a helpful basis for students to develop understanding of mathematical concepts and methods of probability theory in relevance to economics and enables students to apply this acquired knowledge in the future career.
In the field of the graph of a function there is a common way to study mathematical functions of a random variable on graph-based representation. This article offers DCM as a method of visualization of the process of modeling events and relative quantity in the interactive application GeoGebra with the use of DCM as the main technique to conduct and process this virtual experiment.
The author found that mathematical competence of students of economic specialties would form properly due to the introduction of a science based methodical support for teaching material for implementation of IT in education. The offered approach is based on the visualization of mathematical knowledge in connection with mathematical and economic concepts to increase understanding of mathematical concepts and synthesize acquired mathematical knowledge to solve professionally-oriented tasks.

« 1 2 3 4 ... 26 27 »