Аннотация. Подавляющее большинство учеников общеобразовательной школы не станут математиками, следовательно, математика для них должна быть именно общеобразовательным предметом. Поэтому, акцент при обучении математике желательно делать на понятиях и методах решения задач, которые являются общенаучными и объединяют математику с другими естественными и техническими науками и даже с философией как общим подходом к познанию мира. Основные математические понятия и методы, имеющие общенаучное и философское значение, подробно рассмотрены в книгах Д. Пойя. В настоящей статье приведен более широкий перечень таких понятий (с короткими комментариями). Понятия сгруппированы в два раздела: 1) общенаучные математические понятия (аксиома, множество, функция, график, формула, постановка задачи, методы решения, алгоритм, аналогия, моделирование, модель, математическое моделирование, преобразование объекта, последовательность преобразований, инвариант преобразования, аддитивность); 2) пары противоположных (и, одновременно, взаимодополняющих друг друга) понятий (формальная логика и правдоподобные рассуждения, истинное и ложное высказывания, гипотеза и теорема, необходимые и достаточные условия, прямое, обратное и противоположное утверждения, прямая и обратная теоремы, прямая и обратная операции, прямое и обратное преобразования, прямая и обратная функции, прямая и обратная задачи, равенство, неравенство и уравнение, постоянство и изменение, постоянная и переменная величины, максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значения величины, вычисление и оценка значения величины, индукция и дедукция, анализ и синтез, обобщение и специализация, симметрия и асимметрия, непрерывность и разрыв, качество и количество, устойчивые и неустойчивые решения, устойчивость и неустойчивость объекта, непрерывное и дискретное, точное и приближённое решения, точные и приближенные методы решения, аналитические и численные методы решения). Общенаучные методы решения математических задач (31 метод) будут рассмотрены в отдельной статье автора.

Abstract. The overwhelming majority of pupils of a comprehensive school will not become mathematicians, therefore, mathematics for them should be just a general educational subject. Therefore, the emphasis in teaching mathematics is desirable to do on the concepts and methods of solving problems that are general scientific and integrate mathematics with other natural and technical sciences and even with philosophy as a general approach to cognition of the world. Basic mathematical concepts and methods, having a general scientific and philosophical significance, are considered in detail in the books of D. Polya. In this article, a broader list of such concepts is given (with short comments). The concepts are grouped into two sections: 1) general scientific mathematical concepts (axiom, set, function, graph, formula, statement of the problem, solution methods, algorithm, analogy, modeling, model, mathematical modeling, object transformation, sequence of transformations, transformation invariant, additivity) ; 2) pairs of opposing (and simultaneously complementary) concepts (formal logic and plausible reasoning, true and false statements, hypothesis and theorem, necessary and sufficient conditions, direct, inverse and opposite statements, direct and inverse theorems, direct and inverse operations, direct and inverse transformations, direct and inverse functions, direct and inverse problems, equality, inequality and equation, maximum and minimum, largest and smallest values, calculation and evaluation of the value of the quantity, and induction and deduction, analysis and synthesis, generalization and specialization, symmetry and asymmetry, continuity and discontinuity, quality and quantity, stable and unstable solutions, stability and instability of the object, continuous and discrete, exact and approximate solutions, exact and approximate solution methods, analytical and numerical methods of solution).Сommon scientific methods for solving mathematical problems (31 methods) will be considered in a separate article of the author.

Аннотация. В статье поднимается проблема разработки инновационных образовательных ресурсов в предметной области математика — дидактических мобильных игр. Актуальность данного исследования объясняется тем, что, во-первых, в настоящий период времени в теории и методике обучения математике отсутствуют наработки по созданию образовательных мобильных приложений. Во-вторых, дидактические мобильные игры в силу своей специфики могут быть некокурентоспособными на рынке мобильных приложений. Что и осложняет технологию их создания. В статье изложены основные подходы и практические рекомендации по созданию дидактических мобильных игр и проиллюстрированы на примере разработки математической игры MiniQuali (первоклассники). Сформулированы цели и задачи этой разработки. Раскрыта организация обучения в игре MiniQuali, изложен ее сюжет, раскрыта структура игры, продемонстрирована технология обучения в игре, приведено содержание обучения одного из учебных модулей. Показано, что дидактическая математическая игра MiniQuali представляет собою интерактивное средство обучения, так как в игре обеспечивается процесс развития обучающегося, системно формируется познавательная активность и познавательная самостоятельность обучающегося, обеспечивается педагогическая поддержка процесса обучения и осуществляется его своевременная диагностика и коррекция. Игра разрабатывается для устройств на платформе android и предназначена для формирования математической культуры учащихся первых классов и детей старшего дошкольного возраста. Игра может быть использована как в процессе самообразования, так и в образовательном процессе, так как ее контент соответствует программе учебного предмета «Математика». Игра MiniQuali создается в рамках интегрированной интерактивной образовательной среды QualiMe (математика) с целью организации непрерывного и систематического процесса формирования математической культуры обучающихся (школа – вуз). Разработка игры ведется на факультете социокультурных коммуникаций Белорусского государственного университета при участии студентов кафедры информационных технологий. В настоящее время игра находится на стадии технической реализации. C пробной версией игры MiniQuali можно ознакомиться на сайте quali.me в разделе games.

Abstract. The article raises the problem of developing innovative educational resources in the subject area of mathematics - didactic mobile games. The relevance of this study is explained by the fact that, firstly, in the present time in the theory and methodology of teaching mathematics there are no developments in the creation of educational mobile applications. Secondly, didactic mobile games due to their specificity may be uneconomical in the mobile applications market. What complicates the technology of their creation. The article outlines the main approaches and practical recommendations for the creation of didactic mobile games and is illustrated by the example of the development of the mathematical game MiniQuali (first-graders). The goals and objectives of this development are formulated. The organization of training in the game MiniQuali is disclosed, its plot is described, the structure of the game is disclosed, the technology of learning in the game is demonstrated, the content of the training of one of the training modules is given. It is shown that the didactic mathematical game MiniQuali is an interactive learning tool, as the process of development of the learner is provided in the game, cognitive activity and cognitive independence of the learner are systematically formed, pedagogical support of the learning process is provided and its timely diagnosis and correction is carried out. he game is developed for devices on the android platform and is intended for the formation of the mathematical culture of pupils of the first grades and children of the senior preschool age. The game can be used both in the process of self-education and in the educational process, as its content corresponds to the program of the academic subject "Mathematics". Game MiniQuali is created within the framework of the integrated interactive educational environment QualiMe (mathematics) with the purpose of the organization of continuous and systematic process of formation of mathematical culture of students (school - high school). The game is developed at the Faculty of Socio-Cultural Communications of the Belarusian State University with the participation of students of the Department of Information Technologies. Currently, the game is at the stage of technical implementation. A trial version of MiniQuali is available on the quali.me website in the games section.

Аннотация. В статье рассматриваются особенности дифференциации содержательного аспекта авторской методики взаимосвязанного обучения математике на уроках и внеурочных занятиях. Описано распределение содержания обучения по трем информационным слоям с нарастающей степенью насыщенности на примере разработанных апплетов информационно-обучающего ресурса. Содержание первого информационного слоя направлено для изучение и закрепления основных математических объектов, их свойств, второй слой позволяет обобщить и углубить знания учащихся путем установления и исследования взаимосвязей изучаемых объектов, информационная компонента третьего слоя способствует обогащению связей между ближайшими и отдаленными математическими понятиями, а также введению понятий и связей, выходящих за пределы учебной программы. Организация учебной информации дифференцированной по степени сложности позволяет опираться на взаимное дополнение и активизацию различных аспектов мыслительной деятельности учащихся: логического, наглядно-графического, аналитического. Апплеты сконструированы с учетом требований эргономики, закономерностей визуального восприятия математических объектов и индивидуальных мыслительных особенностей учащихся. Описано содержания и особенности использования в процессе обучения математике учащихся апплетов трех видов: информационные, позволяют ввести для изучения математические объекты на основе динамических моделей, содержат краткие теоретические сведения о свойствах, признаках и взаимосвязях объектов; диагностические апплеты своей дидактической целью имеют диагностику, контроль усвоения учебного материала, а также коррекцию знаний учащихся, ликвидацию пробелов в знаниях и предотвращения типичных ошибок; комбинированные апплеты предусматривают изучение теоретического материала посредством работы с динамическими визуальными моделями объектов, выполнение учащимися тестовых заданий, получение сведений о полноте усвоенных ими знаний по данной теме. Автор уделяет особое внимание необходимости учета принципа оптимальной информационной насыщенности учебного материала при проектировании содержания апплетов с целью предотвращения избытка содержательной и визуальной емкости ресурса.

Abstract. The article discusses the features of the differentiation of the content aspect of the author's methodology of interrelated teaching of mathematics in lessons and after-school classes. The distribution of the content of training in three information layers with an increasing degree of saturation is described using the example of developed applets of information and learning resources. The content of the first information layer is aimed at studying and fixing the basic mathematical objects, their properties, the second layer allows to generalize and deepen students' knowledge by establishing and investigating the interrelationships of the studied objects, the information component of the third layer helps enrich the links between the nearest and remote mathematical concepts, as well as the introduction of concepts and links that go beyond the curriculum. The organization of educational information, differentiated in degree of complexity, makes it possible to rely on mutual complementation and activation of various aspects of the cognitive activity of students: logical, visual-graphic, analytical. Applets are designed taking into account the requirements of ergonomics, the laws of visual perception of mathematical objects and individual mental characteristics of students. The content and peculiarities of using three types of applets in the learning process for the mathematics of pupils are described: informational, they allow us to introduce mathematical objects on the basis of dynamic models, contain brief theoretical information about the properties, attributes and interrelationships of objects; diagnostic applets for their didactic purpose have diagnostics, control of mastering of educational material, as well as correction of students' knowledge, elimination of knowledge gaps and prevention of typical mistakes; combined applets provide for the study of theoretical material by working with dynamic visual models of objects, students performing test tasks, obtaining information on the completeness of the knowledge they have learned on this topic. The author pays special attention to the need to take into account the principle of optimal information saturation of the educational material when designing the content of applets in order to prevent the excess of the content and visual capacity of the resource.

Анотація. У статті обґрунтовано значення контролю навчальної діяльності студентів, визначено його мету та принципи побудови системи контролю при вивченні математичних дисциплін у педагогічних університетах. Проаналізовано типи контролю (відстежувальний, поточний, проміжний та підсумковий) в контексті специфіки викладання математичних дисциплін та запропоновано форми його упровадження в процес підготовки майбутніх учителів фізико-математичних спеціальностей.
Організація навчального процесу при вивченні фахових математичних дисциплін  повинна забезпечуватись навчально-методичними засобами для аудиторної та самостійної позааудиторної  роботи. Нами було запропоновано для цього використовувати робочий зошит з математичних дисциплін, який є багатофункціональним дидактичним засобом. В статті описано особливості організації контролю навчальних досягнень студентів за допомогою  робочого зошиту. На нашу думку, ефективною формою перевірки виконання завдань першого блоку є проведення тестування, що дозволяє оцінити глибину, обсяг та системність знань студентів з даної теми відповідної математичної дисципліни, яке ми пропонуємо проводити на кожному практичному занятті. Про результати виконання завдань третього блоку, які виконуються  студентами індивідуально або групами, кожен студент звітує на спеціально відведеній консультації, що проводиться у формі колоквіуму.  Всі види робіт оцінюються певною кількістю балів, вносяться до звідної таблиці в кінці робочого зошиту і входять в систему рейтингового оцінювання навчальних досягнень студента. Ця таблиця містить також стовпці для самооцінки, які студенти заповнюють самостійно, керуючись власними відчуттями. Також в статті нами описано технологію проведення екзамену з математичної дисципліни, де перевірку засвоєння теоретичного матеріалу можна здійснювати за допомогою тестування.

Abstract. The article substantiates the importance of control of educational activity of students, defined the objectives and principles of building control systems in the study of mathematical disciplines in pedagogical universities. Analyzed the types of control (Festivalny, the current, intermediate and final) in the context of the specific teaching of mathematical disciplines and the proposed form of implementation in the process of preparation of future teachers of physical and mathematical specialties.
The organization of educational process in the study of professional mathematics should be provided with instructional resources for classroom and independent extracurricular work. We proposed to use a workbook in mathematical disciplines, which is a multifunctional teaching tool. The article describes the features of organization of knowledge control of students using the workbook. In our opinion, an effective form of test tasks of the first block is testing, allows to assess the depth, scope and consistency of students ' knowledge on the subject of the relevant mathematical discipline, we propose to perform at each practice session. The results of the execution of the tasks of the third block, which is done by students individually or in groups, each student reports to the designated consultations in the form of a Colloquium. All types of work are evaluated in a certain number of points entered in the summary table at the end of the workbook and included in the system of rating estimation of knowledges of student. This table also contains a column for self-evaluation that students fill in on their own, guided by their own feelings. Also, in the paper we described the technology of the examination to a mathematical discipline where the check of the assimilation of the theoretical material can be done through testing.

Анотація. У багатьох задачах теорії чисел, дискретної математики та теорії шифрів доводиться знаходити остачі від ділення на деяке натуральне число (модуль) та виконувати арифметичні дії над знайденими остачами. Розглядаючи сукупність остач та вводячи операції додавання, віднімання, множення та ділення на утворених множинах, приходимо до так званих модульних арифметик. Число елементів у цих арифметиках скінченне, тому іноді їх називають скінченними арифметиками.
Незважаючи на те, що арифметичні дії в модульних арифметиках вводяться аналогічно до того, як вони визначені для цілих чисел, деякі особливості виникають при множенні елементів, піднесенні їх до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем.
В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами відповідних арифметик. Тому в них можна обходитись без від’ємних та дробових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля.
Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик та особливостям виконання в них арифметичних дій присвячено лише окремі публікації.
У даній статті розглядаються особливості виконання арифметичних операцій у модульних  арифметиках, які конструюються на основі кілець класів лишків цілих чисел за заданим модулем. Значну увагу приділено питанням піднесення до степеня та добування кореня, наведено відповідні приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.

Abstract. In many problems of number theory, discrete mathematics and theory of ciphers you have to find the modulo for some positive integer (the modulus) and to perform arithmetic operations on found rest. Considering the totality of the balance and the introducing operations of addition, subtraction, multiplication and division for educated, come to the so-called modular arithmetic. The number of elements in these finite arithmetic, so sometimes called a finite arithmetic.
Despite the fact that the arithmetic operations in the comparison module are entered the same way as they are defined for integers, some peculiarities arise from the multiplication of the elements, the lifting them to a power and extracting the root, and then in the solution of equations and their systems.
In arithmetic to a Prime modulus, the results of the operations of subtraction and division by a nonzero element is also the relevant elements of arithmetic. So they can do without negative and fractional expressions. In addition, the arithmetic remains the most well-known algorithms for solving algebraic equations and their systems. On the other hand, in the arithmetic module according to the established rules can be violated, owing to the existence in them of zero divisors.
Despite the fact that the arithmetic operations in finite arithmetic relies heavily on the theory of congruences and of the theory of rings that are studied in the course algebra and number theory, the study of modular arithmetic and run them in arithmetic is concerned only separate publication.
This article discusses the features of execution of arithmetic operations in the comparison module, which are constructed on the basis of the residue class rings of integers with a given module. Considerable attention is given to issues of exponentiation, and root extraction, the appropriate examples are given. The material can be used for studying relevant topics on number theory and discrete mathematics, and discussed in the classroom courses and math.