Анотація. Актуальність матеріалу, викладена у статті, обумовлена використанням ефективних методів візуалізації навчального матеріалу з метою формування математичної компетентності студентів економічних спеціальностей.
Метою статті є розробка методики формування математичної компетентності студентів економічних спеціальностей, яка базується на використанні інформаційних технологій (ІТ) і сприяє інтеграції математичних знань у майбутню професійну діяльність.
Запропоновано методичний супровід використання сучасних ІТ під час розв’язування окремих задач з теорії ймовірностей, з використанням демонстраційних комп’ютерних моделей (ДКМ), як засобу візуалізації понять випадкових подій та величин.
Серед ДКМ виокремлено професійно-орієнтовані задачі спрямовані на встановлення взаємного зв'язку математичних та економічних понять, що в цілому позитивно сприяє розумінню і готовності застосування базових понять і методів теорії ймовірностей у майбутній професійній діяльності. У середовищі для графічного аналізу функцій запропоновано ДКМ вивчення властивостей випадкової величини на основі їх геометричної інтерпретації. З метою демонстрації процесів моделювання з випадковими подіями і величинами у динамічному середовищі GeoGebra запропоновано ДКМ проведення та опрацювання віртуального експерименту.
Формування математичної компетентності студентів економічних спеціальностей відбувається за рахунок впровадження у навчальний процес науково-обґрунтованого методичного супроводу навчального матеріалу, який базується на використанні ІТ. В його основу покладено візуалізацію математичних знань з урахуванням взаємного зв’язку математичних та економічних понять, що сприяє усвідомленню здатності синтезувати отриманні знання для розв’язування професійно-орієнтованих задач.

Abstract. This article presents an effective approach to formation of mathematical competence of economics students. The purpose of this article is to suggest a new pedagogical approach in teaching mathematics with the use of information technologies (IT) which would allow students of economic specialties to achieve mathematical competence and enable them to proceed to a successful career in future.
This article offers a methodological strategy for teaching mathematics with the use of IT, particularly demonstrational computer models (DCM) to visualize the concepts of probability theory: events and random variables in order to solve mathematical tasks in the theory of probability.
There are a number of professionally relevant tasks among DCM, which are essential in studying both mathematical and economic concepts to establish a coherence between mathematical and economic concepts (expected rate of profit - execrated value, standard deviation - variance), which are a helpful basis for students to develop understanding of mathematical concepts and methods of probability theory in relevance to economics and enables students to apply this acquired knowledge in the future career.
In the field of the graph of a function there is a common way to study mathematical functions of a random variable on graph-based representation. This article offers DCM as a method of visualization of the process of modeling events and relative quantity in the interactive application GeoGebra with the use of DCM as the main technique to conduct and process this virtual experiment.
The author found that mathematical competence of students of economic specialties would form properly due to the introduction of a science based methodical support for teaching material for implementation of IT in education. The offered approach is based on the visualization of mathematical knowledge in connection with mathematical and economic concepts to increase understanding of mathematical concepts and synthesize acquired mathematical knowledge to solve professionally-oriented tasks.

Анотація. Помилково було б вважати, що важливість задач з параметром обумовлена лише підготовкою учнів до успішного проходження державної підсумкової атестації (у класах з поглибленим вивченням математики) і зовнішнього незалежного оцінювання і тому доцільно починати вчитись розв’язувати задачі з параметром безпосередньо на завершальному етапі до їх підготовки. Але ж загально визнано, що саме задачі з параметром є досить потужним засобом систематизації знань учнів, активізації їх пізнавальної активності. Вони сприяють підвищенню рівня математичної культури учнів. Саме тому задачі з параметрами є важливою складовою шкільного курсу математики поглибленого рівня. Їм присвячені окремі пункти підручників, значна кількість задачного матеріалу.
При розв’язуванні навіть цілих раціональних рівнянь та нерівностей (відносно незалежної змінної ) з параметром , не дивлячись на поради-застереження щодо «необхідності врахування області допустимих значень параметра », досить поширеними помилками серед учнів та майбутніх вчителів математики є: «сприймання» виразів, що виступають «коефіцієнтами» многочлену стандартного вигляду (у лівій частині рівняння / нерівності) як незалежних одна від іншої «величин-параметрів» та відсутність аналізу на предмет області їх визначення.
В статті висвітлюється авторський досвід застосування алгоритмічного підходу під час навчання методам розв’язання рівнянь та нерівностей (з однією змінною) другого степеня з параметром. В термінах, що не виходять за межі програмного змістового модуля «Множини та операції над ними» для учнів 8 класу з поглибленим вивченням математики, в статті запропоновано дві граф-схеми та два алгоритми до розв’язання рівнянь та нерівностей другого степеня з параметром.
Маємо надію, що наведені в роботі алгоритми не призведуть до «формалізму» під час розв’язування рівнянь та нерівностей другого степеня з параметром, а навпаки – доповнять граф-схеми добре відомих відповідних алгоритмів супровідним типом задач та забезпечуватимуть дотримання належного рівня математичної строгості.

Abstract. It is a mistake to assume that the importance of a sum with a parameter is determined just by the preparation of schoolchildren for the successful passing of final certification (in classes with intensive study of mathematics) and external testing; therefore it is reasonable to begin learning of solving sums with a parameter directly in the final stage of their preparation. But it is generally recognized that sums with a parameter is rather a powerful tool for systematization of knowledge of schoolchildren and activization of their cognitive activity. They contribute to promote the level of mathematical culture of schoolchildren. That is why tasks with parameters are the important part of the advanced school math course. Separate items of textbooks, a significant amount of the didactic material are devoted to them.
When solving even of entire rational equations and inequalities (relatively to a independent variable ) with the parameter , despite the advice and warnings about the "need of incorporatation of permissible area of values ", quite a common mistakes among schoolchildren and future teachers of mathematics is a "perception" of expressions which are "coefficients" of a standard polynomial form (in the left side of the equation / inequality) as independent from each other "values-parameters" and the lack of analysis on the subject area of their definition.
The article covers the author’s experience in applying of the algorithmic approach during learning of methods for solving equations and inequalities of the second degree with the parameter. In terms which are beyond the scope of the program content module "Sets and operations on them" for the schoolchildren of the 8th form with advanced study of mathematics; two graph schemes and two algorithms for the solution of equations and inequalities of the second degree with the parameter are proposed.
We hope that the algorithms given in the work will not lead to "formalism" when solving the equations and inequalities of the second degree with the parameter, on the contrary, the algorithms will broaden graph schemes of well-known corresponding algorithms with the accompanying type of tasks and will ensure the required level of mathematical rigor.

Анотація. У статті виділено та теоретично обґрунтовано дидактичні принципи формування ІКТ-компетентностей майбутніх учителів математики у процесі фахової підготовки. Проведений аналіз основних закономірностей навчання та дидактичних принципів формування ІКТ-компетентностей фахівців різних спеціальностей. До дидактичних принципів формування ІКТ-компетентностей віднесено такі: науковості, систематичності і послідовності навчання, доступності, свідомості і активності, наочності, гуманізації, міцності засвоєння знань, відкритості і варіативності. Розкрито суть кожного з виділених принципів.

Abstract. In the article the didactic principles of formation of ICT competences of future mathematics teachers in the process of professional preparation are substantiated and theoretically substantiated. The analysis of the basic regularities of teaching and didactic principles of formation of ICT competencies of specialists of different specialties is carried out. The didactic principles of the formation of ICT competencies include the following: scientific, systematic and consistent learning, accessibility, consciousness and activity, visibility, humanization, the strength of knowledge acquisition, openness and variability. The essence of each of the highlighted principles is revealed.

Анотація. Авторами успішно вирішено задачу пошуку локального ненульового інтегрального многовиду нелінійної (n+m) – вимірної системи звичайних диференційних рівнянь, права частина якої є періодичною вектор-функцією від незалежної змінної та містить параметр. Загальний підхід до розв’язання вказаного вище класу задач, у свій час, було розроблено Н. Боголюбовим, Ю. Мітропольским та А. Самойленко, котрий, зокрема, передбачав формування функції Гріна. Однак, автори даної публікації, під час практичного вирішення сформульованої вище задачі, прийшли до висновку, що запропонований попередниками загальний підхід, в даному випадку, фактично, реалізувати не можливо. В свою чергу, вони висунули припущення, що для системи диференційних рівнянь, котра досліджується, існує n-вимірний тривіальний інтегральний многовид при будь-яких значеннях параметру, а відповідна лінійна підсистема рівнянь також має m-параметричне сімейство періодичних розв’язків. На думку авторів, це свідчить, зокрема, про те, що лінійній підсистемі рівнянь не притаманна властивість так званої експоненційної дихотомії. Ними також висловлюється припущення стосовно того, що матриця лінійного наближення системи при нульовому значенні параметру, є певною функцією незалежної змінної. Доведення існування інтегрального многовиду авторами статті фактично зведено до пошуку роз’вязку операторних рівнянь в просторі обмежених Ліпшиц-неперервних періодичних вектор-функцій. З цією метою, вихідна система звичайних диференційних рівнянь лінеарізується і, в подальшому, до неї застосовується, розроблений, у свій час, Купцовим М. І. та Яблочніковим С. Л. й згодом модифікований ними, метод перетворючої матриці. Зазначений модифікований метод перетворюючої матриці авторами даної статті було поширено, в тому числі, й на окремий випадок відсутності лінійних за параметром членів операторних рівнянь. Крім того, визначені й достатні умови існування в околі стану рівноваги системи n-вимірного ненульового періодичного інтегрального многовиду.

Abstract. The authors successfully solved the problem of finding a local nonzero integral manifold of a nonlinear (n + m) - dimensional system of ordinary differential equations, the right part of which is a periodic vector function of an independent variable and contains a parameter. The general approach to solving the above-mentioned class of tasks, in its time, was developed by Bogolyubov N., Mitropolsky Y. and Samoilenko A., which, in particular, envisaged the formation of the Green's function. However, the authors of this publication, during the practical solution of the above problem, came to the conclusion that the general approach proposed by the predecessors, in this case, in fact, could not be realized. In turn, they suggested that for the system of differential equations under investigation there is an n-dimensional trivial integral variety for any parameter values, and the corresponding linear subsystem of equations also has an m-parametric family of periodic solutions. According to the authors, this is evidenced, in particular, by the fact that the linear subsystem of equations is not inherent in the property of the so-called exponential dichotomy. They also suggest that the matrix of the linear approximation of a system with a zero value of a parameter is a certain function of an independent variable. The proof of the existence of an integral variety by the authors of the article is actually reduced to the search for the decomposition of operator equations in the space of bounded Lipschitz-continuous periodic vector-valued functions. To this end, the original system of ordinary differential equations is linearized and subsequently applied to it, developed in its time by Kuptsov M. I. and Yablochnikov S. L., and subsequently modified by them, the method of transforming the matrix. The mentioned modified method of transforming the matrix by the authors of this article was extended, including, on a separate case, the absence of linear operator operator parameters in the parameter. In addition, sufficient and sufficient conditions for the existence of an equilibrium state of a system of n-dimensional nonzero periodic integral manifold are established.

Анотація. У роботі виведено нові теореми про періодичність сум Фібоначчі, зведених за модулем, що рівний кількості доданків у кожній сумі з елементів послідовності Фібоначчі. У статті запропоновано нові властивості лінійних рекурсивних послідовностей, пов’язані з їх сумами. Зокрема у нашій статті вивчаються теоретико-числові характеристики чисел Фібоначчі та пов’язаних з нею послідовностей. Вперше досліджено необхідні і достатні умови періодичності сум Фібоначчі і умови кратності суми будь-яких  послiдовних чисел Фiбоначчi числу її доданків  . Наукова робота виникла навколо пошуку розв’язання однієї авторської задачі, яку було запропоновано на заключному етапі XIX Всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М.Й. Ядренка, що проходив у жовтні 2016 року в місті Чернівці, після цього автором було узагальнено умови турнірної задачі. За допомогою комп’ютерних обчислень було перевірено відповідні значення, які задовольняють умову доведеної нами теореми. Актуальність вибраної теми дослідження обумовлена численними застосуваннями послідовності чисел Фібоначчі та їх узагальнень у найрізноманітніших напрямках наукових досліджень, зокрема, вони широко використовуються у математиці, криптографії, кодуванні інформації, фізиці, філософії, ботаніці, біології, геології, кристалографії, медицині, психології, астрономії, економіці, комп’ютерних науках, мистецтві тощо.  Досліджені нами послiдовностi мають не лише теоретичне, а й прикладне значення, так досліджена нами послідовність Люка застосовується у кодуванні та криптографії. Крім того нами розглянуто нові послідовності скінченних сум послідовних елементів, що взагалі являють собою нову послідовність. Як і класична послідовність Фіббоначчі наші лінійні рекурентні послідовності знайдуть застосування в самій математиці, наприклад, Ю. Матiясевич з використанням чисел Фiбоначчi розв’язує вiдому 10-у проблему Гiльберта. Інша з обраних нами для узагальнення послідовностей а саме послідовність чисел  Люка досліджується і в наш час [10]. Досліджено закономірність зміни періоду послідовності введених нами сум послідовних елементів в залежності від того чи є  5   квадратичним лишком  в . Наведено строге обґрунтування за допомогою теоретико-числового апарату.  Всі твердження  можуть бути включені  в спецкурси з  учбового плану, що орієнтований для підготовки магістрів-педагогів а також можуть бути використані як позакласний матеріал керівниками гуртків.

Abstract. New properties of the sums of linear recursive sequences  were proposed in this paper. Particularly, theoretical-numerical characteristics of Fibonacci,  Luka and associated with them number sequences are being researched. For the first time necessary and sufficient conditions of periodicity of Fibonacci and Luka sums were investigated. Also the conditions of the divisibility of any sum of the consecutive m Fibonacci numbers by their amount. Scientific work arose around the solution of one of the author's problem, which was offered at the final stage of XIX Ukrainian tournament  which was dedicated to professor M. Y. Yadrenko. This tournament had place during October 2015 year in Chernivcy city. The problem was generalized by the author of this paper after this tournament. Using computer calculations, we checked the corresponding values that satisfy the condition of the theorem proved by us. The relevance of the chosen topic of research is caused  by numerous applications of the sequence of Fibonacci numbers and their generalizations in a variety of scientific research areas, in particular, they are widely used in mathematics, cryptography biology, geology, crystallography, medicine, psychology, astronomy, economics, computer science, art, etc. The sequences studied by us have not only a theoretical but also an applied value, so the Luke sequence we studied in our application is used in coding and cryptography. In addition, we consider new sequences of finite sums of successive elements, which in general represent a new sequence. As well as the classical Fibonacci sequence, our linear recurrence sequences will be used in the mathematics itself, for example, Y. Matyaselevich uses the numbers of Fibonacci to solve the known 10th Hilbert problem. Another of our choices for generalization of sequences, namely the sequence of Luke's numbers, is also being investigated in our time [10]. The regularity of the change in the period of the sequence of the imposed sum of successive elements, depending on the quadraticity remainder of the number 5 in Z_p.  The rigorous argumentation is given with the help of the numbers theory theorem. All statements can be included in the special courses of the curriculum, which is aimed at preparing masters-teachers and also can be used as extracurricular material by club leaders. All statements can be included in the special courses of the curriculum, which is aimed at preparing masters-teachers and also can be used as extracurricular material by club leaders.