Анотація. Проблема візуалізації абстрактних математичних понять та об’єктів, пошук їх геометричних інтерпретацій, зокрема із залученням сучасних інформаційно-комунікаційних технологій, різних Інтернет-сервісів та мобільних застосунків, набуває неабиякого поширення у різних науково-методичних колах. У нових публікаціях та навчальних посібниках з вищої математики чи математичного аналізу можна віднайти достатню кількість різноманітних прикладів унаочнення математичних абстракцій за розділами «Дослідження неперервності функції», «Диференціювання функції» чи «Інтегрування функції» тощо. При цьому приклади візуалізації числових рядів, точніше скінченної кількості їх елементів, є досить одноманітними й методично непривабливими, незважаючи на їх практичну значущість.

Саме здійснення геометричного моделювання числових рядів надає можливість будувати нові числові ряди різних видів, добирати порівнювані числові ряди, з’ясовувати їх специфічні, непомітні при використанні традиційних знакових моделей закономірності поведінки членів ряду та їх застосування в теорії і практиці.

У статті наведено всі етапи геометричного моделювання числових рядів на прикладі двох – гармонічного ряду та ряду геометричної прогресії.

Для гармонічного ряду розглянуто зразки лінійної та квадратичної інтерпретації, виведено формули загальних членів отриманих рядів. Для ряду геометричної прогресії розглянуто випадки, коли знаменник прогресії дорівнює одиниці, менше за одиницю та більше за одиницю.

Колектив авторів працює над реалізацією програмного засобу для автоматизації демонстрацій розглянутих геометричних моделей числових рядів за різних значень параметрів. В якості інструментального засобу програмної реалізації обрано хмаро орієнтоване середовище математичного призначення – CoCalc. Основним структурним компонентом середовища CoCalc є мережна система комп’ютерної математики SageMath. Режим доступу до середовища –  http://cocalc.com.

Abstract. The problem of visualizing abstract mathematical concepts and objects, searching for their geometric interpretations, in particular with the use of modern information and communication technologies, various Internet services and mobile applications, acquires an enormous spread in various scientific and methodical fields. New publications and manuals on higher mathematics or mathematical analysis show sufficient number of various examples for the description of mathematical abstractions by sections "Investigating the continuity of a function", "Differentiating a function" or "Integrating a function," etc. In this case, examples of visualization of numerical rows, more precisely the finite number of their elements, are rather monotonous and methodically unattractive, in spite of their practical significance.

The implementation of the geometric modeling of numerical series gives the opportunity to construct new numerical series of different types, to find comparable numerical series, to find out their specific, imperceptible when using traditional sign models of the regularities of the behavior of the members of a series and their application in theory and practice.

In the article all stages of geometric modeling of numerical series are shown on the two examples - harmonic series and a series of geometric progression.

For harmonic series we consider examples of linear and quadratic interpretation, and derive the formulas of the general terms of the obtained series. For a number of geometric progressions we consider cases where the progressive denominator is equal to one, less than one and more than one.

The team of authors is working on the implementation of a software tool for automating the demonstrations of the geometric models of numerical series under consideration at various parameter values. As a tool of software implementation we use CoCalc, a cloud-oriented environment for mathematical purposes. The main structural component of the CoCalc environment is SageMath's network system of computer mathematics. mode of access by environment – http://cocalc.com.

Анотація. Метою статті є висвітлення підходів до розробки системи завдань з навчальної дисципліни «Методика навчання інформатики» для управління самостійною роботою студентів у інформаційно-комунікаційному педагогічному середовищі та аналіз результатів апробації означеної системи. В якості бази для створення інформаційно-комунікаційного педагогічного середовища, в якому здійснюється управління самостійною позааудиторною роботою було обрано систему управління навчанням Moodle. На підставі аналізу програми навчальної дисципліни виділено елементи для самостійного позааудиторного опрацювання в інформаційно-комунікаційному педагогічному середовищі. Детально описано на конкретних прикладах застосування інструментів системи Moodle для управління самостійною роботою студентів із метою опанування певних елементів навчального матеріалу. Інструмент Вікі дає студентам можливість доповнювати текст, вносити до нього зміни. Студенти спільно створюють електронний підручник, що сприяє колективному характеру роботи, залученню всіх студентів до співуправління своєю навчальною діяльністю. Інструмент глосарій допомагає студентам опанувати основними поняттями курсу в умовах, коли в науковій літературі існують різні підходи до трактування одного і того самого поняття. Для узагальнення теоретичних знань застосовуються завдання на створення коротких текстових статей, обговоренню яких сприяють інструменти семінар або завдання. Найбільш суперечливі питання доцільно виносити на обговорення за допомогою інструменту форум. Інструмент база даних дає можливість спільно збирати навчальний матеріал із фрагментів.

Зазначену модель управління самостійною роботою в інформаційно-комунікаційному педагогічному середовищі апробовано під час навчання дисципліни «Методика навчання інформатики» в Харківському національному педагогічному університеті імені Г. С. Сковороди. За результатами можна констатувати, що студенти успішно опанували навчальний матеріал.

Abstract. The purpose of this article is to highlight the approaches of developing a system of tasks in the discipline "Methods of teaching Informatics" for the management of students' independent work in the informational and communicational pedagogical environment and to analyse the results of the approbation of this system. As the basis for creating the informational and communicational pedagogical environment, in which the management of students' independent  work is conducted, for what the Moodle Learning Management System was selected. On the basis of the analysis of the curriculum, the elements for independent study by students in the informational and communicational pedagogical environment are highlighted. The use of Moodle tools for managing individual students' work in order to master certain elements of the training material is described in detail on specific examples. The Wiki tool allows students to add text, make changes to it. Students jointly create an electronic textbook that promotes the collective work, which involves all students in co-management with their educational activities. The glossary tool helps students to master the basic concepts of the course in a context, where scientific literature has different approaches to the interpretation of the same concept. To generalize theoretical knowledge, the task and seminar tools are used to create and discuss short text articles. The most controversial issues can be discussed with the forum tool. The database tool allows students to collectively gather the tutorial from the fragments.

The said model of management of independent work in the information and communication pedagogical environment has been tested during the study of the discipline "Methods of teaching Informatics" at the H. S. Skovoroda Kharkiv National Pedagogical University. As a result, we can state that the students successfully mastered the educational material.

Анотація. Стаття присвячена характеристиці кліткових автоматів як методу моделювання складних систем. Багато складних явищ та процесів, таких як самовідтворення, ріст, розвиток тощо складно описати за допомогою диференціальних рівнянь та їх систем. Проте це вдається легко змоделювати за допомогою кліткових автоматів. Відповідно зростає популярність моделей, побудованих на їх основі. Клітковий автомат характеризується дискретним простором і часом. Така структура є зручною для моделювання різноманітних фізичних, біологічних та інформаційних процесів. Застосування кліткових автоматів дозволяє змоделювати складну поведінку об’єктів чи явищ без використання складного і громіздкого математичного опису. Популярність кліткових автоматів пояснюється їх відносною простотою у поєднанні з великими можливостями використання для моделювання сукупності однорідних взаємозв’язаних об’єктів. Поряд з цим відзначають і слабкий загальний теоретичний фундамент кліткових автоматів, недостатнє вивчення питань збіжності обчислювальних експериментів та стійкості отриманих результатів.
Для дослідження використовувались такі методи як системний науково-методологічний аналіз підручників і навчальних посібників, монографій, статей і матеріалів науково-методичних конференцій; спостереження навчального процесу; аналіз результатів навчання студентів у відповідності до проблеми дослідження; синтез, порівняння та узагальнення теоретичних положень, розкритих у науковій та навчальній літературі; узагальнення власного педагогічного досвіду та досвіду колег з інших закладів вищої освіти.
У статті наводиться історична довідка з розвитку теорії кліткових автоматів. Пропонується схема реалізації кліткових автоматів. Детальніше описується гра «Життя».
Подальші дослідження будуть зосереджені на аналізі можливостей використання кліткових автоматів для моделювання складних систем та методиці навчання моделювання на основі кліткових автоматів для студентів другого (магістерського) рівня вищої освіти педагогічного університету у межах дисципліни «Основи штучного інтелекту».

Abstract. The article is devoted to the characterization of cellular automata as a method for modeling complex systems. Many complex phenomena and processes, such as self-reproduction, growth, development, etc. are difficult to describe by using differential equations and their systems. However, this can be easily modeled by using cellular automata. Accordingly, models have become more popular built up from them. The cellular automata is characterized by discrete space and time. This structure is convenient for modeling a variety physical, biological and information processes. The use of cellular automata allows you to simulate the complex behavior of objects or phenomena without the use of complicated and cumbersome mathematical descriptions. Cellular automata is popular because of its relative simplicity in combination with the great possibilities of using for modeling a set of homogeneous interconnected objects. Along with this, we note the weak general theoretical foundation of cellular automata, the insufficient study of the problems of convergence of computational experiments and the stability of the results.
We used methods such as systematic review of textbooks and manuals, monographs, articles and materials of scientific and methodical conferences; analysis of student learning outcomes in accordance with the research problem; synthesis, comparison and synthesis of theoretical positions described in scientific and educational literature; generalization of our own pedagogical experience and experience of colleagues from other higher educational institutions.
In the article we present a historical background on the development of the cellular automata theory. We propose the implementation scheme of cellular automata and describe the Conway’s Game of life in more detail.
We will focus further research on the analysis of the possibilities of using cellular automata for the modeling of complex systems and teaching methodology of modeling based on cellular automata for students of the second (master's) level of higher education at a pedagogical university within the discipline "Fundamentals of Artificial Intelligence".

Анотація. Серед нагальних завдань вищої педагогічної освіти стрижневою є підготовка майбутніх педагогів, які володіють навичками соціальної інтеракції, співробітництва, командними якостями та здатні вільно орієнтуватися в інформаційному просторі, досконало використовувати електронні дидактичні засоби, різноманітні сервіси фахового спрямування, інформаційні ресурси тощо. Особливої актуальності зазначена проблема набуває в умовах динамічного розвитку інформаційного суспільства. У статті увага приділена розгляду проблеми впровадження до навчання візуальних способів подання інформації. Розкрито сутність понять  «колективна навчально-пізнавальна діяльність студентів», «колективні форми навчання», «електронна співпраця», «технологія MindMapping». Автором проаналізовано технологію картування мислення, яка є зручною технікою демонстрації процесу мислення та структуризації інформації у візуальній формі. Висвітлено досвід використання інтелект-карт як перспективного засобу активізації колективної навчально-пізнавальної діяльності студентів, представлено Інтернет-сервіси для їх створення, методичні прийоми та основні принципи роботи з ними. Наведено практичні завдання та зразки результатів виконаної спільної роботи студентів щодо створення інтелект-карт у межах дисципліни «Сучасні інформаційні технології». З’ясовано, що протягом активізації колективної навчально-пізнавальної діяльності майбутніх педагогів з використанням технології картування мислення відбувається систематизація та перетворення знання окремої особистості у здобутки усього колективу, що сприяє формуванню в них комунікативних здібностей, вмінь навчатися та працювати в колективі, здатності до ефективної взаємодії з іншими людьми, до партнерського обміну інформацією, злагодженої співпраці у процесі вирішення колективних навчальних завдань.

Abstract. Among the urgent tasks of higher pedagogical education core  is the training of future teachers who have team qualities, in social interaction and cooperation skills,  and are able to freely navigate an information space, to use electronic teaching tools, various professional services, information resources, etc. This problem becomes particularly acute in the context of the dynamic development of the information society. In the article attention is paid to the consideration of the problem of introducing visual ways of presenting information. The essence of concepts "collective learning and cognitive activity of students", "collective forms of learning", "electronic collaboration", "technology MindMapping" is revealed. The author analyzes the technology MindMapping, which is a convenient technique for demonstrating the process of thinking and structuring information in a visual form. The experience of using intelligence maps as a perspective means of activating the collective learning and cognitive activity of students is presented, Internet services for their creation, methodical techniques and basic principles of work with them are presented. The practical tasks and samples of the results of the joint work of the students on creation of intelligence-cards within the discipline "Modern Information Technologies" are given. It was found out that during the activation of the collective learning and cognitive activity of future teachers with the use of technology MindMapping, there are systematization and transformation of the individual knowledge into the achievements of the whole collective, which promotes the formation of communicative abilities, the abilities to study and work in the team, effectively interact with others people, to the partner exchange of information, co-ordinated cooperation in the process of solving collective learning tasks.

Анотація. Отримання професійної освіти англійською мовою  є дуже сприятливим для майбутніх фахівців авіаційної галузі, оскільки англійська мова є однією з офіційних мов ІСАО (Міжнародна організація цивільної авіації). Тому в  Національному авіаційному університеті іноземні студенти мають можливість навчатися англійською мовлю. Навчання англійською є популярним і серед українських студентів, орієнтованих на подальше працевлаштування в авіаційних компаніях, що здійснюють міжнародні перевезення.
Статтю присвячено аналізу практики викладання лінійної алгебри та аналітичної геометрії іноземним та українським студентам технічних спеціальностей різних інститутів у складі Національного авіаційного університету англійською мовою. Розглянуто проблеми методичного, дидактичного та організаційного характеру, що постають перед викладачами кафедри вищої та обчислювальної математики в процесі викладання лінійної алгебри та аналітичної геометрії в англомовних групах студентам, для яких англійська мова не є рідною.
Проаналізовано викладання окремих тем дисципліни “Лінійна алгебра та аналітична геометрія” та відповідних модулів у складі дисциплін “Вища математика” іноземним та українським студентам технічних спеціальностей різних інститутів в рамках Програми “Вища освіта іноземною мовою“ НАУ. Розглянуто особливості викладання векторної  алгебри, визначників, матриць, систем лінійних алгебраїчних рівнянь,  лінійних геометричних об’єктів на площині і в просторі (прямих і площин), кривих та поверхонь другого порядку. На базі проведеного аналізу надано рекомендації для покращення засвоєння студентами теоретичного матеріалу та вироблення ними навичок розв’язування задач. Рекомендується широке використання різноманітних опорних матеріалів, адаптованих для студентів різних технічних спеціальностей. Корисним для студентів всіх спеціальностей є проведення лекцій в мультимедійній аудиторії з використанням технічних засобів для візуалізації розглядуваних геометричних об’єктів.

Abstract. Professional education in English is very beneficial for future aviation specialists, since English is one of the official languages of ICAO (International Civil Aviation Organization).  This trend of education is also urgent for Ukrainian students focused at further employment in aviation companies engaged in international operations.
Article is devoted to analysis of practice of teaching linear algebra and analytical geometry to foreign and Ukrainian students of technical specialties of different institutes in the National Aviation University in English. Problems of methodical, didactic and organizational character arising before teachers of the Department of Higher and Numerical Mathematics in process of teaching certain questions of linear algebra and analytical geometry to nonnative speakers in English-speaking groups are considered. Practice of teaching certain topics of discipline "Linear algebra and analytical geometry" and corresponding modules in the disciplines "Higher mathematics" to foreign and Ukrainian students of technical specialties of different institutes within the framework of NAU program "Higher education in a foreign language" is analyzed.
Peculiarities of teaching of vector algebra, determinants, matrices, systems of linear algebraic equations, linear geometric objects on the plane and in the space (straight lines and planes), curves and surfaces of the second order are considered. Recommendations for improving the students' knowledge of theoretical material and developing their problem solving skills were formulated on the basis of analysis of teaching linear algebra and analytic geometry in English-speaking groups. We recommend the application of various reference materials adapted for students of different technical specialties. It is useful for students of all specialties to attend lectures in a multimedia class where technical means for visualizing considered geometric objects are used.