Анотація. У статті здійснено аналіз психолого-педагогічної літератури щодо типових змін у психічному та розумовому розвитку старшокласників, а також прослідковано вікові зміни в їхніх пізнавальних процесах (увага, пам'ять, мислення, уява, мовлення та інше). Зауважено, що розумовий розвиток старшокласників полягає не стільки у зміні окремих властивостей інтелекту, скільки у формуванні індивідуального стилю розумової діяльності. Наголошено, що центром навчання в старшій школі має бути учень зі своїми потребами, цілями, інтересами, тобто зі своєю неповторністю. Всі вчительські впливи через зміст, форму і методи навчання мають стимулювати особистісну та інтелектуальну активність. Розглянуто прийоми, яких слід дотримуватись у навчанні математики, щоб учні поступово переходили від неусвідомлених форм діяльності до свідомих та самоуправлінських. Зазначено, що грамотно побудоване навчання старшокласників у школі полягає в науково обґрунтованій організації діяльності учнів, що здійснюється з врахуванням психолого-педагогічних основ формування та розвитку в старшокласників мислення та інших особистісних якостей. Вказано, що перед старшокласником постає необхідність самовизначення, вибору життєвого шляху та професії і це стає психологічним центром розвитку старшокласника. Формування компетентності учнів в математичному моделюванні визначено одним із основних завдань вчителя математики, оскільки математичне моделювання є важливим засобом реалізації прикладної спрямованості навчання.
Виокремлено чинники, врахування яких позитивно впливає на ефективність навчання математики старшокласників: вікові психологічні особливості учня, мотивація навчальної діяльності, сформованість уміння вчитися, спеціальний відбір засобів, методів та прийомів навчання, здійснення диференціації та індивідуалізації навчання, а також, розуміння вчителем математики місця і ролі та можливостей математичного моделювання в системі інтелектуального розвитку учня.
В статті зазначено як окреслена проблема розкрита в дослідженнях психологів з одного боку, та педагогів, з іншого. Зроблено висновок, що має відбуватися певна перебудова методів навчання, максимальне врахування вікових особливостей та інтересів учнів старшої школи і, як наслідок, має з’явитися простір для якісного розвитку їхнього мислення засобами навчання математики. Таке удосконалення методичної діяльності вчителя має відбуватися з врахуванням психолого-педагогічних аспектів вікового розвитку старшокласників. Запропоновано певні методичні рекомендації щодо психолого-педагогічних аспектів формування умінь учнів математичного моделювання.

Abstract. The article analyzes psychological and pedagogical literature on typical changes in the psychic and mental development of senior pupils, as well as age-related changes in their cognitive processes (attention, memory, thinking, imagination, speech, etc.). It is noted that the mental development of senior pupils is not so much in the change of individual properties of intelligence, but in the formation of the individual style of mental activity. It is stressed that the center of studying in the senior school should be a student with his needs, goals and interests, that is, with his uniqueness. All teaching influences through content, form and methods of teaching should stimulate personal and intellectual activity. The techniques that should be followed in mathematics education are considered, so that students gradually move from unconscious forms of activity to conscious and self-governing. It is noted that competently constructed teaching of senior pupils in the school is based on the scientifically grounded organization of the activity of pupils, which is carried out taking into account the psychological and pedagogical foundations of formation and development in senior pupils of thinking and other personal qualities. It is indicated that before the senior pupil appears the need for self-determination, the choice of life path and profession, and this becomes a psychological center for the development of senior pupil. Formation of students' competence in mathematical modeling is one of the main tasks of the mathematics teacher, since mathematical modeling is an important means of implementing the applied orientation of training.
The factors which take into account positively influence the efficiency of teaching mathematics of senior pupils: the psychological features of the student, the motivation of educational activity, the formation of the ability to study, the special selection of means, methods and modes of teaching, the implementation of differentiation and individualization of training, as well as the mathematics teacher understanding of the place and role mathematics teacher and role and possibilities of mathematical modeling in the system of intellectual development of the pupil.
The article mentions the problem outlined in the studies of psychologists on the one hand, and the teachers on the other. It is concluded that there should be some improvement of teaching methods, maximum consideration of age features and interests of senior pupils, and as a result there should be space for the qualitative development of their thinking by means of mathematics teaching. Such improvement of the methodological activity of the teacher should take place taking into account psychological and pedagogical aspects of age development of senior pupils. Some methodical recommendations for psychological and pedagogical aspects of students' skills formation in mathematical modeling are offered.

Анотація. Інтегрування погано зумовлених функцій, наближення неперервних недиференційовних функцій гладкими функціями вимагають нового підходу до розв’язування цих проблемних задач. У роботі пропонується загальний підхід до розв’язання цих проблемних задач на основі інтерполяційних позіномів довільної гладкості. Одній і тій же сітковій функції   ставиться сім’я позіномів за рахунок комбінації вузлів сітки і параметра  :  ,   (або   якщо множник задається у формі ),  ,  ,   многочлен Лагранжа, що дозволяє для різних досліджуваних задач, додаткових умов, класів інтерполюючих функцій вибирати найкраще  наближення (на відміну від поліноміального єдиного наближення  ). Коефіцієнти многочлена Лагранжа і параметри  ,   позіноміального доданка визначаються однозначно з умов інтерполяції на сітці з   вузлів, якщо сіткова функція належить класу   – -их різниць одного знаку. В теорії катастроф і теорії хаосу однією з основних задач є гладка заміна змінних, яка дозволяє аналізувати математичну модель на стійкість. Значення параметра   є характеристикою, яка визначає на скільки гладка функція – многочлен  , може бути прийнятливою для відображення   (якщо  відрізняється від  незначно і не прийнятливою, якщо  відрізняється на багато. Параметр   визначає ступінь ризику моделі до зовнішніх впливів). Для інтегрування гладких функцій запропонований новий підхід побудови квадратурних формул відкритого (без крайніх меж) і закритого (з межами проміжка інтегрування) типів лише на основі оптимальних пар симетричних вузлів. Це дає змогу застосувати квадратурні формули обчислення або дослідження збіжності невласних інтегралів. Вибираючи сітки з оптимальними вузлами можна будувати адаптивні квадратурні формули найвищої точності для неперервних недиференційовних функцій. Інтерполяційні позіноми на відміну від інтерполяційних поліномів можна використовувати одночасно, як коректуючі та прогнозуючі характеристики поведінки функції, що є основою розв’язання багатьох практичних задач.

Abstract. Integration of poorly conditioned functions, the approximation of continuous non-differentiable functions by smooth functions, require a new approach to solving these problem problems. The paper proposes a general approach to solving these problem problems based on interpolation polynes of arbitrary smoothness. One and the same net function   the family of poses is put at the expense of a combination of nodes of a grid and a parameter  :  ,   (or   if the multiplier is given in the form  ),  ,  , Lagrange polynomial, which allows for the various problems studied, additional conditions, classes of interpolating functions to choose the best approximation (in contrast to the polynomial uniform approximation  ). The coefficients of the Lagrangian polynomial and the parameters, of the subordinate term are determined unambiguously from the conditions of interpolation on the grid with nodes if the net function belongs to a class    –  differences of one sign. In the theory of catastrophes and the theory of chaos, one of the main tasks is the smooth replacement of variables, which allows you to analyze the mathematical model for stability. The parameter   value is a characteristic that determines how smooth the function is  the polynomial , may be acceptable to display   (if  differs from  the insignificant and not acceptable, if  different for many. The parameter   determines the degree of risk of the model to external influences). To integrate smooth functions, a new approach is proposed for constructing quadrature formulas of open (without extreme bounds) and closed (with boundaries of the integration interval) types only on the basis of optimal pairs of symmetric nodes. This enables the use of quadrature computational formulas or the study of the convergence of improper integrals. When selecting meshes with optimal nodes, we can construct adaptive quadrature formulas of the highest accuracy for continuous non-differentiable functions. Interpolation zeros, unlike interpolation polynomials, can be used simultaneously as corrective and predictive features of the behavior of the function, which is the basis of solving many practical problems.

Анотація. У статті коротко охарактеризовано основну ідею міжнародного моніторингового дослідження якості освіти PISA та здійснено порівняльний аналіз компетентністних концепцій програми PISA та Нової української школи. Представлено результати добровільного та анонімного опитування педагогів Чернівецької області (слухачів курсів підвищення кваліфікації вчителів математики, природничих та гуманітарних дисциплін Інституту післядипломної педагогічної освіти Чернівецької області) щодо їх інформаційної обізнаності про Програму міжнародного оцінювання учнів PISA, готовності брати участь у PISA-2018, ставлення до вказаного дослідження. Проаналізовано аргументи педагогів на користь участі у дослідженні PISA та міркування щодо можливих ризиків, які вони вбачають у його проведенні. У статті також презентовано результати тестування вчителів математики області за завданнями формату PISA і проаналізовано причини типових помилок. Зроблено висновки щодо акмеологічної готовності педагогів області до участі у PISA-2018 та впровадження концепції Нової української школи.

Abstract. The article briefly describes the main idea of The Program for International Student Assessment (PISA) and compares the competency concepts of the PISA and the New Ukrainian School. The results of voluntary and anonymous quiz of Chernivtsi region teachers (students of mathematics, natural and humanitarian subjects teachers training courses of Chernivtsi In-service Teacher Training Institute) about their informational awareness about the Program for International Student Assessment, readiness to participate in PISA-2018, the attitude to The Program. The educator’s arguments in favor of participation in the PISA and assestment of possible risks that they see in its conduct are analyzed. The article also presents the results of the testing of the Chernivtsi region mathematics teachers by PISA format tasks and analyzes the causes of typical mistakes. Conclusions are made regarding the acmeological readiness of Chernivtsi region teachers to participate in the PISA-2018 and to introduce the New Ukrainian School concept.

Анотація. У статті проводиться аналіз результатів тестування рівня просторового мислення учнів 8-11 класів на основі методики І. С. Якиманської. Виявлено, що відсоток учнів, які легко  оперують величинами фігур становить 44% від усіх опитаних. Він суттєво нижчий за результати аналогічного тестуванням, яке проводилося 25 років тому, - 61%. Успішно створюють образи і виконують дії з формою – 83%, успішно змінюють: положення уявного об’єкта – 54%, структуру уявного об’єкта – 62%, а виконують обидві операції – 39%. У 18% учнів виявлено високий рівень створення та оперування образами, а в 1% учнів завершується формування всіх видів створення і оперування просторових образів. У цілому рівень оперування просторовими образами за останні 25 років покращився, проте відсоток із найвищим рівнем просторового мислення учнів залишився співмірним із попередніми результатами. Проаналізовано систему задач підручників з геометрії 7 класу, за якими найбільше навчається опитаних учнів. Низький рівень оперування величинами фігур можна пояснити малою кількістю завдань на вимірювання в геометрії та відсутність курсу креслення в шкільних навчальних планах. Запропоновано зразок завдань, який сприятиме розв’язанню даної проблеми.

Abstract. The article analyzes the results of testing the level of spatial thinking of students in grades 8-11 based on the methodology I. S. Yakimanskaya. Revealed that the percentage of students who easily use the value of the figures is 44% of all respondents. It is significantly below the results of similar testing that was conducted 25 years ago, 61%. Successfully create images and perform actions in form 83% successfully changing: the position of the imaginary object is 54%, the structure of an imaginary object - 62%, and perform both operations - 39%. 18% of students revealed a high level of creating and operating images, and in 1% of the students completed the formation of all types of creation and management of spatial images. In General, the level of operation by spatial images for the past 25 years has improved, but the percentage with a high level of spatial thinking of students remained commensurate with the previous results. The system tasks of the textbooks on geometry grade 7, for which most studies surveyed students. Low level operating values of the figures can be explained by a small number of problems on the measurement geometry and the absence of the course of drawing in the school curriculum. The proposed sample tasks, which will contribute to the solution of this problem.

Анотація. У роботі розглядається один тип задач, а також пропонується структура база даних для допомоги у розв’язанні навчальних задач, основана на визначенні типу задачі, та методика користування цією базою.
Тип задач: дані два різних представлення одного й того самого об’єкту, одне з представлень (або обидва) містить невідомий елемент, який і треба визначити.
Методи розв’язання такої задач такого типу: метод 1. Звести одну з форм до іншої і шляхом зіставлення визначити невідомий елемент, метод 2. Визначити властивість тієї форми запису числа, яка не має невідомого елементу, і перенести цю властивість на другу форму. На базі того, що друга форма має таку властивість, визначити невідомий елемент, метод 3. Виходячи з того, що рівність  f(a)=g(a; А,В) є тотожністю одержати при будь-яких обраних значеннях a₁,  a₂  систему рівнянь водносно А та В та розв’язати її.
Розглянуті кілька прикладів задач такого типу та кілька питань, пов’язаних з таким типом задач та методами їх розв’язання.
Для допомоги учневі у пошуку методу розв’язання задачі пропонується створити програмне забезпечення у вигляді бази даних, яка включає наступні взаємопов'язані поля: 1) типи задач, 2) методи розв’язання задач кожного типу, 3) база знань для задач даного типу, 4) приклади задач, розв’язаних кожним методом, 5) математичні об'єкти і властивості кожного об'єкта, 6) особливості постановок задач, які використовуються в методах їх розв’язання.
Запропонована методика використання такої бази даних.

Abstract. This paper considers one type of task, and proposes the structure of a database to aid in solving educational problems based on the definition of the type of task and method of use of this database.
Type of problems: given two different views of the same object, one of the views (or both) includes an unknown element, which must be determined.
Methods of solving such a problem of this type:  method 1. To reduce one form to the other and by matching to identify the unknown element, method 2. To define a property of the form record number, has no unknown elements, and to transfer this property on the second form. On the basis that the second form has the ability to identify the unknown element, method 3. Based on the fact that the equality f (a) = g (a, A, b) is the identity to any selected values of a1, a2 the system of equations odnosno A and b and solve it.
Several examples of such tasks and some of the issues associated with this type of tasks and methods of their solution.
To assist the student in finding a method of solving the problem is proposed to create software in the form of a database that includes the following interrelated fields: 1) the types of tasks 2) problem-solving methods of each type, 3) knowledge base for problems of this type 4) examples of tasks solved by each method, 5) mathematical objects and properties of each object, 6) the features of the formulation used in the methods of their solution.
The technique of use of such a database.