Анотація. Історико-генетичний підхід розглядається як один з методів навчання. Цей метод передбачає, що навчання повинно повторювати історичний шлях виникнення понять, математичних теорій, методів доведення тверджень.
На практичних заняттях з алгебри цей підхід може бути представлений через історичні задачі. Такий підхід не лише сприяє підвищенню інтересу студентів до вивчення курсу алгебри, а й дає можливість більш ґрунтовно та свідомо засвоювати математику, тобто вдосконалювати фахову підготовку майбутнього вчителя математики до професійної діяльності.
Виокремлено деякі розділи курсу алгебри та до них запропоновано історичні задачі. Зокрема, запропоновано задачі, в розв’язанні яких з’являються та використовуються комплексні числа. До розділу про застосування результанту для розв’язування систем нелінійних рівнянь підібрано системи та розв’язано їх авторськими і сучасними способами. У темі про розв’язування алгебраїчних рівнянь у радикалах послідовність визначних задач дає можливість пройти історичний шлях розв’язування рівнянь другого і третього степеня від геометричного методу до словесного, який привів до відкриття формул.
При цьому рекомендується знайти доцільне співвідношення історичного і логічного підходу при вивченні різних розділів курсу "Алгебри і теорії чисел".

Abstract. Historical-genetic approach is considered as one of teaching methods. This method assumes that training should replicate the historical path of emergence of concepts, mathematical theories, methods of proof of claims.
In practical classes in algebra, this approach can be represented through the historic task. This approach not only promotes increase of interest of students to studying algebra, but also gives the opportunity to more thoroughly and consciously learn mathematics, that is, to improve training of future teachers of mathematics to professional activities.
Highlighted certain sections of the algebra course and the proposed historic task. In particular, the proposed problems, whose solution appears and uses complex numbers. In the section on the use of resultants to solve systems of nonlinear equations matched system and back to their author and modern ways. The topic of solving algebraic equations by radicals a sequence of outstanding tasks gives the opportunity to the historical way of solving equations of the second and third degree by geometrical method to the verbal, which led to the discovery of formulas.
It is recommended to find a suitable ratio of the historical and logical approach in studying various sections of the course "algebra and number theory".

Анотація. При дослідженні різних наукових аспектів можна отримати одну й ту ж саму математичну модель, яка відповідає певній математичній задачі, якщо розглядати її з точки зору формальної постановки. Не менш актуальним є питання відшукання різних методів її розв’язування і  вибору в певному розумінні оптимального з низки можливих.  Ця проблема завжди цікавила математиків. Однією з таких задач є задача на знаходження скінченних сум, формулювання якої зустрічається в математичному аналізі, дискретній математиці, теорії ймовірностей тощо. Завдання на підсумовування  пропонують на математичних олімпіадах різних рівнів.
У роботі розглянуто різні методи розв’язування задачі знаходження скінченних сум, а  саме: метод елементарних перетворень над виразами, методи диференціального та інтегрального числень, метод зведення до вже відомих сум, застосування скінченних різниць та різницевих рівнянь, теорії комплексних чисел.  Описано можливості й особливості їх застосування, також обґрунтувано доцільність вибору обраного методу в умовах окремої задачі.

Abstract. The research of different scientific aspects leads to the same mathematical model corresponding to a definite mathematical task if viewed from the point of its formal statement. To find different methods of calculating it, choosing the optimal one among the number of possible choices, seems to be quite acute. The problem has always been in the focus of mathematicians. One of such tasks found in mathematical analysis, discrete mathematics, probability calculus and other sciences is the calculation of the final sum. Summing tasks are offered at the mathematical Olympiads of different stages.
The research deals with different methods of calculating the final sums, namely: the method of elementary transformations over expressions, the methods of differential and integral calculus, the method of reduction to already known sums, the application of finite differences and difference equations, the theory of complex numbers. The article deals description of possibilities and peculiarities of applying them, grounding the appropriateness of a definite method according to the task.

Анотація. У статті узагальнюється досвід втілення принципу неперервної математичної підготовки майбутніх фахівців з економіки та менеджменту, що випливає з вимог реалізації стратегії інноваційного розвитку України. У рамках запровадження компетентнісного підходу розглядається доцільність формування міждисциплінарних зв’язків математичних дисциплін фундаментального циклу з дисциплінами фахового спрямування, що забезпечує не тільки більш високу якість засвоєння теоретичних знань з математичних дисциплін, але і дає можливість набуття досвіду їх практичного застосування при розв’язанні реальних завдань економіки. Наведені приклади взаємодії студентів і педагогічного складу університету щодо обрання форм і методів навчання, методів активізації навчального процесу й оцінювання ефективності їх застосування. Значна увага приділяється досвіду використанню ігрових механік як методу активізації навчального процесу. Розглянуто можливості, які надають інтерактивні технології для залучення математичного інструментарію до розв’язання реальних проблем економіки. Показано, що активізація навчального процесу завдяки застосуванню ігрових механік допомагає засвоєнню більшого обсягу знань, умінь та навичок, а також поліпшує якість командної взаємодії, підвищує ефективність спільної праці студентів при виконанні комплексних завдань, сприяє розвитку лідерських якостей, формує навички самостійного пошуку інформації та забезпечує більш ефективне її засвоєння.

Abstract. The article generalizes the experience of the realization of the principle of continuous mathematical training of future specialists in Economics and management, which flow from the requirements of the implementation of the strategy of innovative development of Ukraine. In the framework of the implementation of competence-based approach examines the feasibility of formation of interdisciplinary links of mathematical disciplines of basic cycle disciplines of professional direction, providing more high-quality mastering of theoretical knowledge in mathematical disciplines, but also provides an opportunity to gain experience of their practical application in solving actual problems of the economy. Examples of interaction between students and teaching staff of the University by election forms and methods of training, methods of enhancing the learning process and assess the effectiveness of their application. Considerable attention is paid to the experience of using game mechanics as a method of enhancing the learning process. Considered the opportunities offered by interactive technologies for bringing mathematical tools to the solution of real problems of the economy. It is shown that the intensification of the educational process through the application of game mechanics helps in the absorption of a large volume of knowledge, abilities and skills and improves team collaboration, increases efficiency and collaboration of students in the implementation of complex tasks promotes the development of leadership qualities, skills of independent search of information and provides more efficient absorption.

Анотація. У статті розглянуто зміст методологічних знань технологічного рівня майбутнього вчителя математики. З’ясовано, які знання про комп’ютерні засоби математики доцільно віднести до методологічних знань. Наведено приклади застосування комп’ютерних засобів GRAN1, GRAN-2D, Maxima на заняттях з дисциплін математичного циклу: математичний аналіз, методи обчислень, інтегральні рівняння, методи оптимізації. Показано, що під час розв’язування пропонованих прикладів відбувається формування методологічних знань про комп’ютерні засоби математики і вмінь їх застосовувати. Крім того обґрунтовано, що застосування комп’ютерних програм є ефективним засобом формування методологічних знань і вмінь майбутнього вчителя математики. Зокрема, воно сприяє розвитку вміння застосовувати різні способи і методи розв’язування задач, порівнювати їх ефективність і доцільність. Для кожного наведеного прикладу сформульовано дидактичну мету застосування комп’ютерних програм: для самоаналізу, рефлексії; як засіб розв’язання певного етапу задачі; для урізноманітнення методів і способів розв’язання задачі тощо.

Abstract. The article describes the content of the methodological knowledge of the technological level of the future teacher of mathematics. Found that the knowledge about computer tools of mathematics would be appropriate for methodological knowledge. Examples of application of computer means GRAN1, GRAN-2D, the Maxima in the classroom for mathematical cycle disciplines: mathematical analysis, methods of computation, integral equations, optimization methods. It is shown that the solution of the proposed examples is the formation of methodological knowledge about computer tools of mathematics and the skills to apply them. In addition it is proved that the use of computer programs is an effective means of formation of methodological knowledge and skills of future teachers of mathematics. In particular, it contributes to the development of the ability to apply various ways and methods of solving tasks, to compare their effectiveness and usefulness. For each example formulated didactic purpose of the application of computer programs: for introspection, reflection; as a means of solving a particular step of the task; for a variety of methods and techniques for problem solving and the like.

Анотація. Статтю присвячено аналізу практики викладання в Національному авіаційному університеті теорії звичайних диференціальних рівнянь англійською мовою. Розглянуто проблеми методичного, дидактичного та організаційного характеру, що постають перед викладачами кафедри вищої та обчислювальної математики в процесі викладання окремих питань теорії звичайних диференціальних рівнянь в англомовних групах студентам, для яких англійська мова не є рідною. Проаналізовано викладання окремих тем навчального модуля “Звичайні диференціальні рівняння” у складі дисциплін “Вища математика” та дисципліни “Математичний аналіз“ іноземним та українським студентам технічних спеціальностей різних інститутів в рамках Програми “Вища освіта іноземною мовою“ НАУ. Розглянуто особливості викладання диференціальних рівнянь першого порядку, диференціальних рівнянь вищих порядків, лінійних диференціальних рівнянь та систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. На базі проведеного аналізу викладання звичайних диференціальних рівнянь в англомовних групах надано рекомендації для покращення засвоєння студентами теоретичного матеріалу та вироблення ними навичок розв’язування задач.

Abstract. The article is devoted to analysis of teaching practices at the National aviation University the theory of ordinary differential equations in English. Considers the problems of methodological, didactic and organizational, faced by the teachers of the Department of higher and computational mathematics in teaching of certain questions in the theory of ordinary differential equations in the English-speaking groups of students for whom English is not their native language. Analyzes the teaching of individual topics of the training module "Ordinary differential equations" in the disciplines of "Higher mathematics" and the discipline "Mathematical analysis" of foreign and Ukrainian engineering students of various institutions under the Program "Higher education in a foreign language" Naw. The peculiarities of teaching of differential equations first order differential equations higher order linear differential equations and systems of linear differential equations with constant coefficients. On the basis of the analysis of the teaching of ordinary differential equations in English-speaking groups; recommendations for the improvement of student learning of theoretical material and the development of their problem-solving skills.