Анотація. В статті піднімається питання використання динамічних моделей GeoGebra на уроках математики в контексті технологій STEM-освіти. Розглядаються функціональні можливості програмного забезпечення GeoGebra в навчанні математики; пропонується STEM-підхід до використання динамічних моделей цієї програми на уроках математики; наводиться ряд практичних прикладів. Характеризується проблема вибору відповідного програмного забезпечення, яке б задовольняло цілям навчання, було б доступним, простим у використанні і, в той же час, функціональним. На наш погляд, GeoGebra є потужним і зручним інструментом для здійснення математичних досліджень. Переваги GeoGebra такі: безкоштовність; наявність онлайнових, автономних та мобільних версій програми; простий у використанні інтерфейс з потужними функціональними можливостями; дозволяє створювати авторські інтерактивні моделі у формі веб-сторінок; доступна багатьма мовами та має величезну глобальну спільноту користувачів, де ви можете поділитися досвідом та матеріалами; код програмного забезпечення відкритий. Використання інтеграції вчителем як керівного принципу STEM-освіти дозволяє модернізувати методологічні засади, зміст, обсяг навчального матеріалу, застосовувати сучасні технології під час навчання з метою розвитку компетентностей якісно нового рівня. Ми пропонуємо залучати учнів до роботи з GeoGebra з молодших класів середньої школи. Учні 5-6 класів можуть почати працювати з динамічними моделями GeoGebra. А вже в 7-му класі, коли в навчальному матеріалі з'являються перші теореми та потреба формування в учнів вмінь доводити математичні твердження, необхідно використовувати можливості комп'ютерного експерименту та доведення. Моделювання математичних об'єктів та спостереження за процесом їх динамічних змін за допомогою інтерактивних моделей програми GeoGebra дозволяють учням розвивати здатність виділяти характерні риси, встановлювати закономірності, узагальнювати і висувати гіпотези. Ми вважаємо, що кожен сучасний учитель повинен включати у свій арсенал інструменти навчання GeoGebra або аналогічні програмні ресурси.

Abstract. With the beginning of the XXI century, in the developed countries of the world, such a trend in education as STEM (Science, Technology, Engineering, Mathematics) began to gain popularity. In Ukraine, this trend has recently become popular and began to be actively implemented.
The purpose of this article is to reveal features of the use of dynamic GeoGebra models оn mathematics lessons in the context of STEM learning. In order to achieve this goal, it is necessary to perform a number of tasks, namely to consider the functionality of the GeoGebra software in teaching mathematics, to propose a STEM approach to the use of dynamic models of this software in mathematics lessons and to provide a number of practical examples.
At the moment there is a huge number of mathematical software tools and online services that can be used in math studies. Therefore, before the teacher there is a problem of choosing the appropriate software that would satisfy the objectives of the training, was accessible, a little simple and at the same time, a functional interface. In our opinion, GeoGebra is a powerful and convenient learning tool for math studies. The advantages of GeoGebra are as follows: free; availability of online, offline and mobile versions of the program; easy-to-use interface with powerful functionality; allows you to create authored interactive tutorials in the form of web pages; available in many languages and has a huge global community of users where you can share experiences and materials; open source software code. The use of integration by the teacher as a guiding principle of STEM-education allows to modernize methodological foundations, content, volume of educational material, apply modern technologies while studying in order to develop competences of a qualitatively new level, in particular, using mathematical knowledge and scientific concepts. We suggest that students be encouraged to work with GeoGebra preferably from junior high schools. Students from grades 5-6 can start working with dynamic GeoGebra models. Already in the 7th form, when the first theorems appear in the teaching material and the need to form students' ability to prove the statement, it is necessary to use the possibilities of computer experimentation and proof. Modeling of mathematical objects and observing the process of their dynamic changes with the help of interactive drawings of the GeoGebra program allow students to develop the ability to allocate characteristic features, to establish regularities, to generalize and to put forward hypotheses. We believe that every modern teacher should include GeoGebra training tools or similar software resources in their arsenal.

Анотація. У статті висвітлено головні тенденції розвитку уявлень про фізичну картину світу в учнів загальноосвітніх закладів. Показано, що вияви даних тенденцій є результатом складного багатоаспектного розвитку та становлення змісту теоретико-методологічного знання у фізиці. Уточнено сутність поняття «фізична картина світу» та розкрито її роль у розвитку науково-природничого світогляду учнівської молоді. Визначено зростаючу функціональну роль сучасних фізичних теорій у процесі формування фізичної картини світу і стрімкому розвитку науково-технічного прогресу. Окреслено прийоми та методи формування фізичної картини світу в учнів загальноосвітніх шкіл, зокрема, переваги та недоліки використання інформаційних технологій.
Розглянуто процес формування понять фізичної картини світу в учнів старшої школи, наголошено на послідовності дій вчителя, які повинні бути спрямовані на активізацію інтелектуальних можливостей учнів. Представлено провідні інтелектуальні операції у процесі формування фізичної картини світу на уроках повторення та узагальнення. Розглянуто основні аспекти формування переконань та світоглядних якостей, які визначають особисте ставлення учнів до оточуючої дійсності, а також проаналізовано основні  етапи формування переконань.
Удосконалення дидактичних можливостей мобільних пристроїв та будь-яких підручних ґаджетів обумовлює необхідність використання пристосованих для цих пристроїв матеріалів світоглядного характеру. Враховуючи стрімкий розвиток Інтернет технологій та велику різноманітність пропонованої інформації в мережі, ми наголошуємо на важливості формування в учнів критичного мислення задля уникнення хибних уявлень, які можуть сформуватися у свідомості учня під час опрацювання навчальних матеріалів світоглядного характеру, які пропонуються як на уроках фізики, так і мережевими ресурсами. Саме критичне мислення визначає наскільки швидко учень зможе оволодіти певними знаннями і ці знання будуть адекватними дійсності.

Abstract. The article highlights the main tendencies of the development of representations about the physical picture of the world in students of general educational institutions. It is shown that the revealing of these tendencies is the result of complex multidimensional development and formation of the content of theoretical and methodological knowledge in physics. The essence of the concept "physical picture of the world" was clarified and its role in the development of the scientific and natural worldview of the student youth was revealed. The growing functional role of modern physical theories in the process of forming the physical picture of the world and the rapid development of scientific and technological progress is determined. Methods and methods of forming the physical picture of the world in students of secondary schools are outlined, in particular, the advantages and disadvantages of using information technologies.
The process of forming the concepts of the physical picture of the world in the students of the senior school is considered, and the emphasis is on the sequence of actions of the teacher, which should be aimed at activating the intellectual capabilities of the students. The leading intellectual operations in the process of forming the physical picture of the world in the lessons of repetition and generalization are presented. The main aspects of formation of beliefs and ideological qualities that determine the personal attitude of students to the surrounding reality are considered, as well as the main stages of formation of beliefs are analyzed.
Improving the teaching capabilities of mobile devices and any gadget gadgets makes it necessary to use ideological materials adapted for these devices. Taking into account the rapid development of Internet technologies and the great variety of the offered information in the network, we emphasize the importance of forming critical thinking in students in order to avoid false representations that can be formed in the minds of the student during the development of educational materials of ideological nature, which are offered not only in physics classes, but and network resources. It is critical thinking that determines how quickly a student will be able to master certain knowledge and that this knowledge will be adequate to reality.

Анотація. Закон України «Про освіту» визначає ключові компетентності, необхідні кожній сучасній людині для успішної життєдіяльності (стаття 12). Серед них – на чільному місці математична компетентність.
Державний стандарт шкільної математичної освіти основною метою і завданням визначає формування в учнів математичної компетентності на рівні, достатньому для забезпечення життєдіяльності в сучасному світі, успішного оволодіння знаннями з інших освітніх галузей у процесі шкільного навчання, забезпечення інтелектуального розвитку учнів, розвитку їх уваги, пам’яті, логіки, культури мислення та інтуїції [1]. Зокрема, як зазначається у пояснювальній записці навчальної програми з математики для учнів 10–11 класів загальноосвітніх навчальних закладів (рівень стандарту), щоб бути успішним в сучасному суспільному житті, треба володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосування до розв’язування практичних задач. А без доброї шкільної математичної підготовки сьогодні неможливо продовжити навчання на наступних етапах в багатьох галузях, отримати якісну професійну освіту, стати фахівцем, здатним до математичного моделювання в різних сферах, щоб бути затребуваним на ринку праці [2].
У пропонованій статті розглянуто зміст математичної компетентності учня сучасної школи, висловлено і, на основі існуючих досліджень (зокрема й власних) та власного досвіду, аргументовано точку зору про провідну роль математичних задач у її формуванні. Розглянуто типи задач, які якнайкраще надаються для досягнення зазначеної мети. До них, зокрема належать: задачі на доведення; геометричні задачі на побудову; так звані «цікаві» задачі або задачі з нестандартним змістом; компетентнісно-орієнтовані задачі або задачі з практичним змістом, найчастіше, з нематематичної галузі. Наведено деякі методичні рекомендації для учителів та приклади задач.

Abstract. The Law of Ukraine "On Education" defines the key competencies that are necessary for every modern person to succeed (Article 12). Among them - at the forefront the mathematical competence.
The state standard of school mathematical education determines the formation of students' mathematical competence at a level sufficient for life in the modern world, the successful acquisition of knowledge from other educational branches in the process of school education, ensuring the intellectual development of students, the development of their attention, memory, logic, culture of thinking and intuition [1]. In particular, as stated in the explanatory memorandum of the curriculum for Maths for students of grades 10-11 of general education institutions (standard level), in order to be successful in modern social life, one must possess certain techniques of mathematical activity and skills of their application while solving practical problems. And without good school mathematical training today it is impossible to continue education in the following stages in many industries, receive high-quality professional education, become a specialist capable of mathematical modeling in various fields in order to be in demand on the labor market [2].
The article deals with the content of the mathematical competence of the student of a modern school, expressed and, on the basis of existing researches (including own ones) and own experience, the point of view on the leading role of mathematical problems in its formation is argued. The types of tasks that are best suited to achieve this goal are considered. These include, in particular, the problems for proof; geometric problems for construction; so-called "interesting" problems or problems with non-standard content; competency-oriented problems or problems with practical content, most often, from non-mathematical field. Some methodological recommendations for teachers and examples of problems are given.

Abstract. From the origin of mathematics as an autonomous science two extreme philosophies about its orientation have been tacitly emerged: Formalism, where emphasis is given to the axiomatic foundation of the mathematical content and intuitionism, which focuses on the connection of the mathematical existence of an entity with the possibility of constructing it, thus turning the attention to problem-solving   processes.  Although none of the existing schools of mathematical thought, including formalism and intuitionism, have finally succeeded to find a solid framework for mathematics, most of the recent advances of this science were obtained through their disputes about the absolute mathematical truth.  In particular, during the 19th and the beginning of the 20th century, the paradoxes of the set theory was the reason of an intense “war” between formalism and intuitionism, which however was extended much deeper into the mathematical thought. All these disputes created serious problems yo the sensitive area of mathematics education, the most characteristic being probably the failure of the introduction of the “New Mathematics” to the school curricula that distressed students and teachers for many years.  In the present work current problems of mathematics education are investigated, such as the role of computers in the process of teaching and learning mathematics, the negligence of the Euclidean Geometry in the school curricula, the excessive emphasis given sometimes by the teachers to mathematical modeling and applications with respect to the acquisition of the mathematical content by students, etc. The future perspectives of teaching and learning mathematics at school and out of it are also discussed. The article is formulated as follows: A short  introduction is attempted in the first Section to the philosophy of mathematics .The main ideas of formalism and intuitionism and their effects on the development of mathematics education are exposed in the next two Sections. The fourth Section deals with the main issues that currently occupy the interest of those working in the area of mathematics education and the article closes with the general conclusions stated in the fifth Section that mainly concern the future perspectives of mathematics education. 

Анотація. З появою математики як окремої науки з'явилися два підходи до філософії математики: формалізм, де акцентується аксіоматична основа математичного змісту, та інтуїціонізм, який зосереджується на зв'язку існування математичного об’єкту з можливістю його побудови, при цьому звертається увага на процеси розв’язування задач. Хоча жодній з існуючих математичних шкіл, включаючи формалізм та інтуїтивізм, не вдалося знайти міцну основу для математики, більшість останніх досягнень цієї науки отримано через їх суперечки про абсолютну математичну істину. Зокрема, протягом 19-го і початку 20-го століття парадокси теорії множин були причиною інтенсивної "війни" між формалізмом та інтуїтивізмом, яка, однак, була значно поглиблена в математичну думку. Всі ці суперечки створили серйозні проблеми у сфері сприйняття математичної освіти, найбільш характерною є, мабуть, невдача введення "нової математики" до шкільних навчальних програм, яка багато років турбували студентів та вчителів. У роботі досліджуються сучасні проблеми математичної освіти, такі як роль комп'ютерів у процесі навчання та вивчення математики, нестрогість евклідової геометрії у шкільних навчальних планах, надмірна увага, яку іноді приділяють вчителі математичному моделюванню та заявки стосовно набуття студентами математичних знань тощо. Також обговорюються майбутні перспективи навчання і вивчення математики в школі та поза нею. Стаття побудована наступним чином: коротке введення до філософії математики. Наводяться основні ідеї формалізму та інтуїціонізму, їх наслідки для розвитку математичної освіти. Далі висвітлюються основні питання, які наразі цікавлять тих, хто працює в галузі математичної освіти. Загальні висновки в основному стосуються майбутніх перспектив математичної освіти.

Abstract. This article presents a study of the students’ achievement in the US university course of General Physics and their background, namely experience in studying physics in school (in US school physics is commonly a section within a general Physical Science course; time interval between previous and current courses; and taking prerequisite courses required for taking physics – usually a few mathematics courses.
The study was performed at National University, San Diego, California, USA. A specifics of instruction at this university is a one-month course format, when students take a semester course within four weeks, which is achieved through concentration of class hours during this time period. A student can take only one course at a time. This format is convenient particularly for working adult students.
The difficulty of teaching physics in such course format is explained by a number of factors, among which uneven student preparation in physics, which may be connected to various time intervals between a previous and current courses which may lead to forgetting the material, some overestimation of their preparation to physics course by students, and insufficient quality of student learning outcomes in the prerequisite course to the physics course requirements.
The data presented in the article were obtained by surveying students and analyzing the results of two tests they take in the course: mid-term and final. We did a comparative investigation of two specializations, electrical engineers and biologists. This study demonstrated that students who had never taken physics earn 1.5-2 times more unsatisfactory grades than those who had taken it before. The course outcomes are also affected by the time interval between school graduation and the beginning of the physics course; especially significant is the interval of 10 years or more.
Based on the data obtained we made conclusions and developed practical recommendations for the instructors.

Анотація. В даній статті досліджується взаємозв'язок між успішністю студентів в курсі загальної фізики американського університету та їх попереднім досвідом, а саме, досвідом вивчення фізики в школі (в середній школі США фізика найчастіше вивчається в рамках загального курсу «Фізична наука»); часовим інтервалом між попереднім вивченням фізики в школі чи вузі і даними курсом; а також проходженням так званих обов'язкових попередніх (prerequisite) курсів, необхідних для запису на курс фізики - як правило, це кілька курсів математики.
Дослідження проводилося в Національному університеті (місто Сан Дієго, Каліфорнія, США). Особливість структури навчання в цьому університеті – це прискорений одномісячний формат курсів, коли за один місяць студент повинен освоїти семестровий обсяг матеріалу, що досягається концентрацією навчальних годин семестрового курсу протягом чотирьох тижнів. При цьому студент може обрати тільки один курс на місяць. Такий формат зручний перш за все для дорослих працюючих студентів.
Складність викладання фізики в таких курсах пов'язана з досить нерівномірною підготовкою студентів, що пояснюється різними проміжками часу між нинішнім курсом і попереднім вивченням фізики, що призводить до забування матеріалу, деякою переоцінкою студентами своєї підготовленості до курсу, і невідповідністю якості підготовки в обов'язкових попередніх курсах вимогам курсу фізики.
Представлені в статті дані були отримані шляхом анкетування студентів і аналізу результатів двох тестів (проміжного та фінального), які студенти виконували в рамках курсу фізики. Для порівняння ми провели дослідження в групах студентів двох спеціальностей: інженерів-електриків і біологів. Результати дослідження показали, що студенти, які не вивчали фізику в школі, незадовільні оцінки на тестах отримують в 1,5-2 рази частіше, ніж ті, хто вивчав фізику. На оцінках також позначається інтервал між закінченням школи і початком вивчення фізики в університеті; особливо показовий в цьому плані інтервал від 10 років і більше.
На підставі отриманих даних були зроблені висновки і розроблені практичні рекомендації для викладачів.