Формулювання проблеми. BYOD (Bring your own devices) – це технологія, при якій на заняттях використовується обладнання, яке є «в кармані» сучасного студента: власні смартфони, планшети тощо. Це дає змогу розв’язати декілька важливих освітніх проблем, зокрема – проблему забезпечення закладів освіти сучасним вимірювальним обладнанням, яке, за рахунок постійного розвитку мобільних додатків, значно розширює межі освітнього процесу. Ця технологія стає максимально ефективною, якщо всі студенти забезпечені дослідницькими установками. Для розв’язання цієї проблеми необхідно розробити лабораторні установки, які кожен студент може самотужки виготовити.
Матеріали і методи. Поставлена мета вирішувалася за допомогою розроблених мініатюрних дослідницьких установок. Методологічно дослідження базувалися на відомих законах гідродинаміки, а її основні науково-практичні результати отримані з використанням відео- та фотореєстрації, цифрових технологій оброблення результатів експериментів. Для реєстрації зміни з часом рівня рідини та гранульованих матеріалів, довжини важеля, діаметра крапель використовувалися смартфони в режимі відео «slow motion» та «секундомір».
Результати. Розроблено фізичні установки для перевірки рівняння Бернуллі і визначення коефіцієнту поверхневого натягу рідини. Залежність швидкості витікання рідини з отвору від часу є квадратичною, що підтверджує справедливість рівняння Бернуллі. Швидкість висипання піску з отвору, на відміну від рідини, не залежить від його рівня в посудині, що пояснює принцип дії пісочного годинника.
Висновки. На прикладі лабораторних робіт «Перевірка рівняння Бернуллі» і «Визначення коефіцієнту поверхневого натягу рідини» доведено, що використання технології BYOD у поєднанні з розробленими установками дозволяє кожному студентові проводити повноцінні досліди як в аудиторії, так і дистанційно, вдома. Точність вимірювань кінематичних параметрів і часу за допомогою сучасних девайсів дозволяє розрізнити навіть невелику відмінність законів течії скрізь отвір рідини від гранульованих матеріалів.

Formulation of the problem. BYOD (Bring your own devices) - learning technology in which classes use equipment that is "in the pocket" of the modern student: own smartphones, tablets, and more. BYOD allows us to solve several important educational problems, in particular - the problem of providing educational institutions with modern measuring equipment, which, due to the constant development of mobile applications, significantly expands the boundaries of the educational process. This technology becomes most effective if all students are equipped with research facilities. Solving this problem requires the development of laboratory facilities that each student can make on their own.
Materials and methods. This goal was achieved with the help of developed miniature research facilities. Methodologically, the research was based on the known laws of hydrodynamics, and its main scientific and practical results were obtained using video and photo recording, digital technologies for processing the results of experiments. Slow-motion and stopwatch smartphones were used to register changes in the level of liquid and granular materials, lever length, and droplet diameter over time.
Results. Physical settings have been developed to test the Bernoulli equation and determine the coefficient of surface tension of a liquid. The dependence of the velocity of fluid flow from the hole on time is quadratic, which confirms the validity of the Bernoulli equation. The rate of pouring sand from the hole, in contrast to the liquid, does not depend on its level in the vessel, which explains the principle of operation of the hourglass.
Conclusions. On the example of laboratory works "Checking the Bernoulli equation", "Determination of the coefficient of surface tension of the liquid" it is proved that the use of BYOD technology in combination with the developed installations allows each student to conduct full experiments both within the classroom and remotely at home. The accuracy of measurements of kinematic parameters and time with the help of modern devices allows distinguishing even a small difference between the laws of flow everywhere the hole of the liquid from the granular materials.

Формулювання проблеми. Задача класифікації математичних структур (об’єктів) за деякою властивістю або ознакою є однією з класичних проблем у математиці. Класифікацію структур здійснюють зазвичай з урахуванням деяких спеціальних властивостей заданих структур. Вказати в точності клас з певною ознакою, до якого відноситься досліджуваний об’єкт, і означає – класифікувати даний об’єкт. Ідея, що покладена в основу задачі класифікації, якнайкраще розкривається на прикладі конкретних математичних об’єктів, у даному випадку алгебраїчних систем з двома операціями – так званих допельнапівгруп, які є природнім узагальненням відомого поняття напівгрупи.
Методи. Для проведення даного дослідження було застосовано в комплексі наступні методи: аналіз наукової літератури, систематизація та узагальнення різних поглядів при вивченні напівгруп та допельнапівгруп, а також загально алгебраїчні методи із використанням основних методів теорії напівгруп.
Результати. Напівгрупою називається непорожня множина із заданою на нiй бінарною асоціативною операцією. Під допельнапівгрупою, яка розширює поняття напівгрупи, розуміють непорожню множину D з двома бінарними асоціативними операціями ...., для яких виконуються такі дві умови: .... Найпростішими нетривіальними об’єктами дослідження у класі допельнапівгруп є структури, що складаються з двох елементів, тому увагу акцентовано на задачі класифікації саме двоелементних допельнапівгруп. У якості властивості, за якою здійснюється класифікація допельнапівгруп, обрано абстрактну властивість ізоморфності. Показано, що існує всього сім попарно неізоморфних двоелементних допельнапівгруп.
Висновки. Розкрито сутність задачі класифікації на прикладі двоелементних допельнапівгруп. Відкритими в цьому напрямі досліджень залишаються задачі класифікації допельнапівгруп вищих порядків з точністю до ізоморфізму.

Problem formulation. The problem of mathematical structures (objects) classifying by some property or feature is one of the classic problems in mathematics. Classification of mathematical structures is usually carried out taking into account some special properties of given structures. Specify the class with a specific feature to which the object belongs, means to classify this object. The idea of the classification problem is best revealed by the example of specific mathematical objects, in this case algebraic systems with two operations – the so-called doppelsemigroups, which are a natural generalization of the known concept of a semigroup.
Methods. The following methods were used to conduct this study: analysis of the scientific literature, systematization and generalization of different views in the study of semigroups and doppelsemigroups, as well as general algebraic methods using the basic methods of semigroup theory.
Results. A semigroup is a nonempty set with a given binary associative operation. Summarizing this concept, we obtain the concept of a doppelsemigroup. A doppelsemigroup is a nonempty set D  with two binary associative operations ≺ and ≻, if the following two conditions are satisfied: ... . The simplest non-trivial objects of study in the class of doppelsemigroups are structures consisting of two elements, so the focus is on the problem of classification of two-element doppelsemigroups. The abstract property of an isomorphism is chosen as the property by which the doppelsemigroups are classified. It is shown that there are only seven pairwise non-isomorphic two-element doppelsemigroups.
Conclusions. The essence of the classification problem on the example of two-element doppelsemigroups is revealed. The problems of classification of doppelsemigroups of higher orders up to an isomorphism remain open in this direction of research.

Формулювання проблеми. В умовах ситуації, що складалася на Сході України, актуальною стає проблема організації та ефективного впровадження дистанційного навчання, зокрема математичним дисциплінам студентів закладів вищої освіти. Особливо гостро ця проблема постала перед ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка», який починаючи з 2014 року, через об’єктивні обставини було евакуйовано до м. Старобільськ і який був змушений повністю перейти на дистанційну форму навчання.
Методи дослідження. Основою дослідження стали наукові розвідки вітчизняних і закордонних учених, які займаються вивченням питань впровадження дистанційного навчання. Для досягнення мети були використані методи теоретичного рівня наукового пізнання: аналіз та узагальнення власного педагогічного досвіду та педагогічного досвіду провідних учителів та методистів України.
Результати. В статті розглянуто узагальнення набутого педагогічного досвіду у процесі створення дистанційних курсів з математичних дисциплін та особливостей їх впровадження кафедрою алгебри та системного аналізу в ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка». Зокрема, крім виявлених переваг та недоліків такої форми навчання, представлено: форми комунікації викладачів та студентів, особливості організації навчального процесу студентів спеціальності «Середня освіта (Математика)» за допомогою освітнього проталу ЛНУ імені Тараса Шевченка. Увагу акцентовано на елементах дистанційного курсу з дисципліни «Алгебра та теорія чисел», що створено на платформі Moodle, із зазначенням особливостей структурування теоретичного матеріалу, підбору завдань та зворотного зв’язку. Курс «Алгебра та теорія чисел» було розроблено з урахуванням вимог до дистанційних курсів. Він містить інформацію про викладачів цього курсу; графік навчального процесу; навчальну програму дисципліни; конспект лекцій із посиланнями для завантаження; наочні навчальні відеоматеріали до певних питань лекцій; приклади розв’язування задач; задачі для самостійного виконання; тренувальні тестові завдання; підсумкові тестові завдання; рекомендовану літературу з посиланнями для завантаження; модулі для он-лайн консультацій, форуми і чати. Для підвищення мотивації навчальної діяльності студентів, що вивчають дисципліну «Алгебра та теорія чисел», при створенні дистанційного курсу викладачами кафедри було розроблено спеціальний навчальний матеріал: базові завдання, нестандартні задачі, історичні факти тощо.
Висновки. Дистанційне навчання відкриває студентам доступ до нетрадиційних джерел інформації, підвищує ефективність самостійної роботи, дає нові можливості для творчості, закріплення різних професійних навичок, а викладачам дозволяє реалізовувати принципово нові форми і методи навчання.

Introduction. In the current situation in eastern Ukraine, the problem of organization and effective implementation of distance learning, in particular the mathematics disciplines for students of higher education, is in the focus. This problem was especially acute for Taras Shevchenko Luhansk National University, which was evacuated to Starobilsk due to objective circumstances in 2014 and was forced to switch to distance learning.
Research methods. The study was based on scientific research of national and foreign scientists studying the implementation of distance learning. To achieve this goal, the methods of the theoretical level of scientific knowledge were used: analysis and generalization of own pedagogical experience and pedagogical experience of leading Ukrainian teachers and methodologists.
Results. There are consider the generalization of the acquired pedagogical experience in the process of creating distance learning mathematical curricular  and the peculiarities of their implementation by the Department of Algebra and Systems Analysis of the State University "Luhansk Taras Shevchenko National University" in this article. In particular, it’s identified advantages and disadvantages of this education’s form, the following are presented: forms of communication between lectors and students, features of the educational process of students majoring in "Secondary Education (Mathematics)" with the help of Taras Shevchenko LNU. Emphasis is placed on the elements of the distance learning course in the discipline "Algebra and Number Theory", created on the Moodle platform, indicating the features of the structuring of theoretical material, task selection and feedback. The curriculum "Algebra and Number Theory" was developed corresponding into account the requirements for distance learning courses. It contains information about the teachers of this course; schedule of educational process; curriculum of the discipline; lecture notes with download links; visual educational videos on certain issues of lectures; examples of problem solving; tasks for independent performance; training test tasks; final test tasks; recommended literature with download links; modules for online consultations, forums and chats. To increase the motivation of students studying the "Algebra and Number Theory", when creating a distance course, lectures of the department developed a special educational material: basic tasks, non-standard problems, historical facts and more.
Conclusions. Distance learning opens student’s access to non-traditional sources of information, increases the efficiency of independent work, provides new opportunities for creativity, consolidation of various professional skills, and allows lectures to implement fundamentally new forms and methods of teaching.

Формулювання проблеми. У покоління сучасних студентів, майбутніх учителів математики та інформатики, переважно візуальне сприймання інформації, але при цьому більшість з них лише «проглядає» візуальну інформацію, не заглиблюючись у зміст та не оцінюючи її критично. Нівелювати даний недолік можна за умови цілеспрямованого та системного формування візуально-інформаційної культури майбутніх учителів математики і інформатики у закладах вищої освіти, що можливо реалізувати у межах педагогічної системи, теоретичне обґрунтування якої передбачає уточнення методологічних засад, що характеризуються системою принципів і підходів до такого формування.
Матеріали і методи. Основою дослідження стали наукові розвідки вітчизняних і закордонних учених, які займаються вивченням питань підготовки майбутніх вчителів, формування інформаційної та візуальної культури. Для досягнення мети були використані методи теоретичного рівня наукового пізнання: аналіз наукової літератури, синтез, формалізація наукових джерел, опис, зіставлення.
Результати. У визначенні методологічних засад процесу формування візуально-інформаційної культури майбутніх учителів математики і інформатики у закладах вищої освіти потрібно виходити з чотирьох рівнів методології: філософського, загально наукового, конкретно наукового та технологічного. На філософському рівні основою формування візуально-інформаційної культури майбутніх учителів математики та інформатики є діалектичний підхід, який дозволяє вивчати процеси і явища у їх взаємозв’язках, динаміці, розвитку; спостерігати перехід кількісних змін у якісні; виявляти внутрішні суперечності, єдність протилежностей, базуючись на цьому, визначати рушійні сили пізнання; керуватися законом заперечення заперечень, аналізуючи в єдності теорію і практику явищ, що вивчаються.
Висновки. Вибір філософського рівня надає можливість дослідження професійної підготовки майбутніх учителів математики та інформатики з точки зору загально наукового, світоглядного розуміння, системи загальних теоретичних поглядів на всесвіт, місця людини в ньому, з’ясування різних форм її ставлення до світу, що розглядається в пізнавальному, практичному й ціннісному аспектах. Філософські засади формування візуально-інформаційної культури майбутніх учителів математики та інформатики надають можливість отримати загальні орієнтири для нового пізнання й відкриття нових знань, обґрунтувати взаємозв’язки її теоретичної та практичної методології, окреслити основу для осмислення теоретико-методологічних основ дослідження.

Formulation of the problem. In the generation of modern students, pre-service mathematics, and computer science teachers, the visual type of perception of information prevails, but most of them only "view" visual information, without delving into the content and not evaluating it critically. This drawback can be eliminated by purposeful and systematic formation of visual and information culture of pre-service mathematics and computer science teachers, which can be implemented within the pedagogical system, the theoretical justification of which provides clarification of methodological principles characterized by a system of principles and approaches to such formation.
Materials and methods. The basis of the study was the scientific research of national and foreign scientists who study the training of pre-service teachers, the formation of information, and visual culture. To achieve this goal, the methods of the theoretical level of scientific knowledge were used: analysis of scientific literature, synthesis, formalization of scientific sources, description, and comparison.
Results. In determining the methodological foundations of the process of forming the visual and information culture of pre-service mathematics and computer science teachers in higher education institutions should be based on four levels of methodology: philosophical, general scientific, specifically scientific, and technological. At the philosophical level, the basis for the formation of visual and information culture of pre-service mathematics and computer science teachers is a dialectical approach, which allows studying processes and phenomena in their relationships, dynamics, development; observe the transition from quantitative to qualitative changes; identify internal contradictions, the unity of opposites, based on this, to determine the driving forces of cognition; to be guided by the law of double negation, analyzing the theory and practice of the studied phenomena in the unity.
Conclusions. The choice of philosophical level provides an opportunity to study the training of pre-service mathematics and computer science teachers in terms of general scientific, philosophical understanding, a system of general theoretical views of the universe, man's place in it, clarifying various forms of his attitude to the world considered in cognitive, practical and value aspects. Philosophical principles of formation of visual and information culture of pre-service mathematics and computer science teachers provide an opportunity to get general guidelines for new knowledge and discovery of new knowledge, to substantiate the relationship of its theoretical and practical methodology, to outline the basis for understanding the theoretical and methodological foundations of research.

Формулювання проблеми. Уміння розв’язувати задачі методом оцінки є умовою успішного складання ЗНО з математики учнями ЗЗСО. Опанування цим методом здійснюється послідовно в процесі вивчення шкільного курсу математики, що сприяє забезпеченню наступності навчання математики. Зокрема, в учнів має сформуватись вміння знаходити області визначення та значень функцій, ОДЗ рівнянь, а також оцінювати значення виразів, користуючись властивостями числових нерівностей. Аналіз сучасних підручників та програм показав, що методу оцінки достатньої уваги не приділяється. Тому вчителі, керуючись власним досвідом, вивчаючи методичну літературу та щорічно аналізуючи задачі ЗНО, мають пропонувати подібні задачі учням старших класів.
Матеріали і методи. В дослідженні використовувались теоретичні методи: аналіз навчальних програм з математики, задач сертифікаційних робіт ЗНО попередніх років, змісту сучасних шкільних підручників із алгебри; узагальнення власного та передового педагогічного досвіду; емпіричні методи: педагогічні спостереження на уроках математики та заняттях курсів підготовки до ЗНО; методи наукового пізнання: систематизація та узагальнення для формулювання методичних рекомендацій та висновків.
Результати. Автором були розглянуті теоретичні основи використання методу оцінки при розв’язуванні рівнянь та їх систем. Наведені орієнтовні алгоритми даного методу. Проаналізовані основні знання зі шкільного курсу математики, які необхідні учням для успішного опанування методом оцінки. Запропоновано деякі пропедевтичні вправи із зазначенням знань та вмінь, які необхідні учням для їх виконання. Наведено задачі із сучасних підручників алгебри, а також приклади задач із сертифікаційний робіт зовнішнього незалежного оцінювання з математики, які розв’язуються методом оцінки, зокрема задачі з параметром.
Висновки. Запропонований в статті теоретичний матеріал, сформульовані орієнтовні алгоритми використання методу оцінки, а також наведені різнопланові приклади його застосовування будуть корисними учням та вчителям у процесі підготовки до складання зовнішнього незалежного оцінювання з математики.

Formulation of the problem. The mastering assessment method is carried out consistently in the process of learning the school course of mathematics. In particular, pupils should develop the ability to find areas of definition and values of functions, areas of the definition of equations, as well as evaluate the values of expressions, using the properties of numerical inequalities. Analysis of modern textbooks and programs has shown that the assessment method is not given enough attention. Therefore, teachers, guided by their own experience and annually analyzing the tasks of external evaluation, should offer similar tasks to senior pupils.
Materials and methods. In the research we used theoretical methods: analysis of mathematics curricula, problems of certification works of external evaluation of previous years, the content of modern school textbooks on algebra; generalization of own and advanced pedagogical experience; empirical methods: pedagogical observations in mathematics lessons and external preparation courses; methods of scientific cognition: systematization and generalization for the formulation of methodological recommendations and conclusions.
Results. We consider the theoretical basis of using the assessment method in solving equations and their systems. The algorithms of this method are given. The basic knowledge from the school course of mathematics, which is necessary for students to successfully master the method of assessment, is analyzed. Some propaedeutic exercises are offered, indicating the knowledge and skills that students need to perform them. Problems from modern textbooks of algebra are given, as well as examples of problems from certification works of external independent assessment in mathematics, which are solved by the method of assessment, in particular problems with a parameter.
Conclusions. The theoretical material proposed in the article formulated algorithms for using the assessment method, as well as various examples of its application will be useful to students and teachers in the process of preparation for external independent assessment in mathematics.