Анотація. В статті розглядається можливість використання параметричного кольору математичних об’єктів у програмах динамічної математики при розв’язуванні задач на ГМТ. Зокрема, описуються особливості задання параметричного кольору у середовищах The Geometer’s Sketchpad, Математический конструктор, GeoGebra. Зазначається, що у програмі The Geometer’s Sketchpad від параметра залежить не тільки колір об’єкта, а й колір сліду, який він буде залишати; у програмі GeoGebra умови відображення об’єкта можна відразу встановити залежними від параметра; для задання параметричного кольору у ПДМ Математический конструктор використовується система HSB, де сталі значення в полях H, S та B замінюють на вирази, додатково у програмі Математический конструктор передбачено можливість встановлення стилю ліній через параметр.
Наводиться приклад з різними способами розв’язування задачі на ГМТ у програмі The Geometer’s Sketchpad, у тому числі з використанням параметричного кольору. Додатково пропонується перелік задач, які можна розв’язувати, використавши описаний підхід.

 Abstract. Semenikhina O.V., Drushlyak M.G. Practice of the Use of Parametric Color in Dynamic Mathematics Software in Solving Locus Problems. The article discusses the use of parametric color of mathematical objects in dynamic mathematics software in solving locus problems. In particular, the features of parametric color in software The Geometer's Sketchpad, MathKit, GeoGebra are described. It is noted that in the software The Geometer's Sketchpad not only the color of the object but also the color of the trace, which this object leaves, depends on the parameter; in the software GeoGebra display conditions of the object can be set directly dependent on the parameter; in dynamic mathematics software MathKit HSB system is used to set the parametric color, constants H, S and B is replaced by the expression, also the possibility to set the line style using the parameter can be realized in software MathKit. The idea of parameterization of color in the software The Geometer's Sketchpad is in selective shading of points of the plane, which depends on the predetermined conditions.
An example of solving locus problem in the software The Geometer's Sketchpad as in the traditional way with the use of computer tools Trace and Locus, and using parametric color, is given. It is noted that the idea of parameterization of color is better applied when solving problems where the evaluation of a particular dependency between the elements of the given locus is compared with a constant. A list of tasks that can be solved by using the described approach is offered.

Анотація. Поняття обмеженості множини є одним з найважливіших математичних понять. В класичній математиці розглядаються обмежені множини на прямій, на евклідовій площині, у тривимірному евклідовому просторі. У сучасній математиці це поняття узагальнюється і вивчається у різних аспектах. Сучасна математика є наукою про структури. З точки зору цих основних структур, обмеженість можна розглядати в метричному, порядковому і тополого-алгебраїчному аспектах. В деяких просторах обмеженість з метричної точки зору співпадає з обмеженістю з тополого-алгебраїчної точки зору, а в деяких не співпадає. Ці проблеми розглядаються у даній роботі. Також аналізується поняття обмеженості множин в топологічних лінійних просторах. Це поняття може бути введене через збіжність послідовностей. В той же час, як відомо, структура топологічного лінійного простору не адекватна збіжності послідовностей. Природньо, виникає проблема: якщо ввести нове поняття обмеженості, використовуючи апарат збіжності напрямленостей, що адекватний структурі топологічного лінійного простору, то чи одержимо ми нове поняття обмеженості множини? Ця проблема аналізується і доведено, що одержуємо те ж саме поняття обмеженості. З'ясовується причина такого явища з точки зору різного значення послідовностей чисел і послідовностей елементів множини в топологічному лінійному просторі.

 Abstract. Pogrebnoy V. About limitation of sets: various aspects. The notion of limited sets is one of the most important mathematical concepts. In classical mathematics we consider bounded sets on the line, on Euclid’s plane, in three-dimensional Euclidean space. In modern mathematics, this notion is generalized and studied in various aspects. Modern mathematics is a science of structures. From the point of view of these basic structures, the limitations can be considered in the metric, order and topology-algebraic aspects. In some limited spaces from a metric point of view coincides with the constraints on topology-algebraic point of view, and some do not match. These issues are discussed in this paper. It also analyzes the concept of limited sets in topological linear spaces. This concept may be introduced through the convergence sequences. At the same time, as we know, the structure of a topological linear space is not adequate for the convergence of sequences. Of course, there is a problem: if we introduce a new notion of boundedness, using the device for the convergence of nets, adequate to the structure of a topological linear space, we obtain a new notion of limited many? This problem is analysed and it is proved that we get the same concept of limited. It turns out the reason for this phenomenon from the point of view of different meanings of various number sequences and sequences of elements of a set in a topological linear space.

Анотація. У статті аналізуються теоретичні і практичні аспекти підготовки майбутніх учителів математики. Проводиться аналіз загальних тенденцій, які спрямовані на реалізацію процесу формування ІКТ-компетентності майбутнього учителя математики, як суттєвої складової загальної педагогічної компетентності сучасного спеціаліста. Запропонована модель формування ІКТ-компетентності ґрунтується на соціальному замовленні, яке визначає цільовий блок, на основі якого визначаються всі складові (змістова, операційна, діагностична) моделі формування ІКТ-компетентності майбутнього вчителя математики.
Розглядаючи структурні компоненти моделі формування ІКТ-компетентності майбутнього учителя математики особлива увага приділяється висвітленню теоретико-методичної основи процесу, що ґрунтується на загальнонаукових (когнітивному, системно-діяльнісному, термінологічному та технологічному), спеціально-наукових (компетентнісному, особистісно-орієнтованому, структурному, моделювання) підходах та на принципах навчання (науковості, системності та послідовності, доступності навчання, зв'язку навчання з реальним життям, свідомої активності у навчанні, наочності, міцності знань, вмінь, навичок, індивідуального підходу і емоційності навчання).
Теоретико-методична основа визначає зміст навчання у процесі формування ІКТ-компетентності майбутнього вчителя математики. Зміст навчання опосередковано впливає на компоненти операційної складової (методи, форми, засоби).
Введення у модель діагностичного компоненту забезпечує зворотний зв’язок (контроль та оцінку проміжних і кінцевих результатів) у вирішенні освітніх, розвивальних і виховних завдань: сформованості знань, вмінь, навичок, досвіду, світоглядної спрямованості особистості, її професійної мобільності та самодостатності, що складають результат.

Abstract. Petrenko S. The model of forming the ICT competence of a future teacher of mathematics. The article focuses on the analysis of theoretical and practical aspects of training future teachers of mathematics. The analysis of general trends aimed at the implementation of the process of forming the ICT competence of a future teacher of mathematics as an essential component of the overall teaching competence of the proficient specialist. The proposed model of forming the ICT competence is based on social order that determines a target block on which all components (content, operational, diagnostic) of a model of forming the ICT competence of a future teacher of mathematics are determined.

Considering the structural components of the model of forming the ICT competence of a future teacher of mathematics, much attention is paid to theoretical and methodological basics of the process, grounded on general (cognitive, systemic, terminological and technological) special scientific (competence, personality-oriented, structured, modeling) approaches and principles of teaching (systematicity and consistency, availability of study, connection of study with real life, conscious activity in education, visualization, profound knowledge, abilities, skills, individual approach and emotional learning).
Theoretical and methodological basics determine the content of education in shaping the ICT competence of a future teacher of mathematics. The curriculum indirectly affects the components of the operating issues (methods, forms, means).
Introduction of diagnostic component to the model provides feedback (monitoring and assessment of intermediate and final results) to solve educational and developmental problems: formation of knowledge, abilities, skills, experience, ideological orientation of a personality, his/her professional mobility and self-sufficiency that make up the result.

Анотація. В статті представлені основні форми навчально-дослідної роботи студентів ВНЗ педагогічних спеціальностей та їх значення для професійного становлення майбутнього фахівця. Навчально-дослідна робота студентів ВНЗ включена до навчальних планів і є системою обов’язкових навчальних занять, всіх видів завдань різних видів практики. Різновидами навчально-дослідної роботи є індивідуально-дослідні завдання, курсова і дипломна роботи, що вимагають досить складної організації керівництва цією діяльністю студента. Методичне забезпечення навчально-дослідної роботи студентів передбачає складання методичних рекомендацій до різних видів завдань, що містять загальні положення щодо організації цієї роботи. Вирішення студентом в процесі навчання та під час проходження практики складних навчально-дослідних завдань, сприяє формуванню та виробленню навичок ефективного вирішення завдань професійної діяльності і сприяє активному формуванню професійних якостей особистості.

Annotation. T.M. Maksymenko, S.V. Pukhno. Peculiarities of organization of pedagogical specialties students’ research work at higher educational institutions. The main forms of pedagogical specialties students’ educational-research work and their implications for professional formation of the future specialist are presented in the article. Students’ educational-research work at higher educational institution is included to the curriculum and mandatory training sessions, different practices. Varieties of educational-research work are the individual research tasks, course and degree work, requiring a complex of organization of student’s leadership. Methodological support of students’ educational-research work involves the drafting of recommendations to different types of missions containing basic notions on the organization of this work. The student’s decision in the learning process and a complex of educational research problems during the practice, promotes the formation and development of skills of effective solving of professional activity problems and contributes to the active formation of person’s professional qualities.

Анотація. Стаття присвячена огляду деяких проблем класичної теорії чисел, що пов’язані із простими числами. Зокрема,  розглядається питання розподілу простих чисел у натуральному ряді та пошуку аналітичного виразу, який би генерував прості  числа. Значну увагу у статті приділено огляду властивостей чисел Ферма та Мерсенна, наведено критерій Люка-Лемера перевірки чисел Мерсенна на простоту, а також вказано відомі на сьогоднішній день прості числа Мерсенна. Наприкінці розглянуто деякі властивості досконалих натуральних чисел та наведено найвідоміші із нерозв’язаних проблем теорії чисел, що пов’язані із розглянутими у статті класами чисел.

 Abstract. Lukashova T.D. Primes and some other related problems of number theory. Article looks over some classical number theory problems connected with primes. In particular, under the consideration such problems like the problem of the distribution of primes in natural series, the problem of research the analytical expression that would generate primes. Special attention is paid for viewing the properties of Fermat and Mersenne numbers,is given the Lucas-Lehmer criterion for checking Mersenne numbers on simplicity, also are denoted the Mersenne primes, known nowadays. In the end considered some properties of perfect natural numbers and are given the most famous unresolved problems of number theory, connected with the classes of numbers reviewed in the article.