Формулировка проблемы. Статья посвящена анализу содержания и методического обеспечения курса «Математические основы криптографии» для студентов IT-специальностей.
Материалы, методы. Анализ доступных интернет-ресурсов и учебно-методических материалов с целью обобщения опыта преподавания теоретико-числовых и алгебраических основ современной криптографии, осуществлено теоретическое проектирование и моделирование учебного процесса с целью формирования у студентов современных знаний и практических навыков по математическим основам методов защиты информации.
Результаты. Подробно описана по разделам программа курса, который читается в Белорусском государственном технологическом университете для студентов специальности «Программное обеспечение информационной безопасности мобильных систем». Особое внимание уделено электронному учебно-методическому комплексу (ЭУМК) по дисциплине «Математические основы криптографии». Описана его структура и содержание, показаны примеры оформления страниц и содержания электронного документа. Обсуждается методика преподавания курса «Математические основы криптографии» с использованием ЭУМК и системы индивидуальных практических заданий по дисциплине.
Подчеркивается, что в основе современных криптографических алгоритмов лежат теоретико-числовые и алгебраические структуры, включая группы точек эллиптических кривых над конечными полями.Приведен краткий обзор существующих русскоязычных учебников и учебных пособий по математическим основам криптографии. Отмечается, что необходимыми компонентами курсов по математическим основам криптографии являются элементы теории чисел, модулярная арифметика, теория групп, колец и полей, понятие о построении и структуре конечных полей, а в последние годы также элементы теории эллиптических кривых.
Выводы. Отмечена возможность научно-исследовательской работы студентов по данной тематике, перспективы расширения программы курса с учетом новейших достижений в криптографии. Обсуждаются возможности использования системы дистанционного обучения для методического обеспечения такой динамично изменяющейся дисциплины, какой в настоящее время является курс «Математические основы криптографии».

Formulation of the problem. The article is devoted to the analysis of the content and methodological support of the course “Mathematical foundations of cryptography” for students of IT specialties. It is emphasized that the basis of modern cryptographic algorithms are number-theoretic and algebraic structures, including groups of points of elliptic curves over finite fields.
Materials, methods. Analysis of available online resources and teaching materials for the purpose of generalizing the experience of teaching the theoretical numerical and algebraic foundations of modern cryptography; theoretical designing and modeling of the educational process with the purpose of formation of modern knowledge and practical skills on the mathematical bases of methods of information protection was carried out.
Results.The sections of the program of the course, which is read at the Belarusian State Technological University for students of the specialty "Software information security of mobile systems", is described in detail. Particular attention is paid to the electronic educational and methodical complex (EEMC) on the subject "Mathematical foundations of cryptography." Its structure and content are described. The examples of the pages design and the content of the electronic document are given. The methods of teaching the course “Mathematical foundations of cryptography” using EEMC and the system of individual practical tasks in the discipline are discussed.A brief review of existing Russian-language textbooks and manuals on the mathematical foundations of cryptography is given. It is noted that the necessary components of courses on the mathematical foundations of cryptography are the elements of number theory, modular arithmetic, the theory of groups, rings and fields, the concept about construction and structure of finite fields, and in recent years also elements of the theory of elliptic curves.
Conclusions. The possibility of students' research work on this topic, the prospects for expanding the course program to reflect the latest achievements of cryptography is noted. There are discussed the possibilities of using the distance learning system for the methodical support of the course “Mathematical foundations of cryptography” which is a dynamically changing discipline currently.

Formulation of the problem. Some years ago the unique tool in hands of the scientists for handling the situations of uncertainty that frequently appear in problems of science, technology and of the everyday life, used to be the theory of Probability. However, nowadays the theory of Fuzzy Sets initiated by Zadeh in 1965 and its extensions and generalizations followed in the recent years have given a new dynamic to this field.
Materials and methods. Mathematical methods of analysis are used.
Results. In the present work a model is developed for handling the fuzzy data appearing in the field of Education. The model is based on the calculation of the possibilities of the profiles involved in the corresponding situations, which, according to the British economist Schackle and many other researchers, are more suitable than the fuzzy probabilities for studying the human behaviour. A classroom application to learning mathematics is also presented illustrating the importance of the model in practice. The general model is extended for studying the combined results of the evaluation of fuzzy data obtained from two (or more) different sources and an example is provided to emphasize the usefulness of this extension for real situations in education.
Conclusions. The management and evaluation of the fuzzy data obtained by the operation mechanisms of large and complex systems is very important for real life and science applications. A developed model evaluates such kind of data in terms of the corresponding membership degrees and possibilities. The examples for the process of learning a subject-matter in the classroom and the example for a market’s research illustrate the applicability and usefulness of the model to practical problems. The general character of the proposed model enables its application to a variety of other human and machine activities for a description of such kind of activities and this is one of main targets for future research.

Формулювання проблеми. Кілька років тому унікальним інструментом в руках вчених для обробки ситуацій невизначеності, які часто з'являються в проблемах науки, техніки і повсякденного життя, була теорія ймовірності. Однак тепер теорія нечітких множин, ініційована Заде в 1965 році, а також її розширення та узагальнення дали нову динаміку цій галузі.
Матеріали і методи. Використано математичні методи аналізу.
Результати. У даній роботі розроблена модель для обробки нечітких даних, що з'являються в галузі освіти. Модель базується на розрахунках можливостей профілів, що беруть участь у відповідних ситуаціях, які, на думку британського економіста Шеккла і багатьох інших дослідників, є більш придатними, ніж нечіткі ймовірності для вивчення поведінки людини. Також в роботі представлено застосування навчального класу для вивчення математики, що ілюструє важливість моделі на практиці. В подальших дослідженнях загальна модель розширена для вивчення об'єднаних результатів оцінки нечітких даних, отриманих з двох (або більше) різних джерел, і наведено приклад, який підкреслює корисність цього розширення для реальних ситуацій в освіті.
Висновки. Управління та оцінка нечітких даних, отриманих механізмами експлуатації великих і складних систем, дуже важлива для реального життя та наукових застосувань. Розроблена модель дозволяє оцінити такого роду дані з точки зору відповідних ступенів та можливостей участі. Приклад процесу вивчення предмета в навчальному класі та приклад дослідження ринку ілюструють застосовність і корисність моделі в практичній площині. Загальний характер запропонованої моделі дає змогу застосовувати його до інших людських та машинних дій, що і є однією з головних цілей для подальших досліджень.

Analysis of the problems of contemporary mathematical education reveals necessity of improvements of the learning approaches. Being complicated integrative science, Mathematics nowadays tends to become a bridge between various subject areas, which causes greater importance of deep understanding of mathematical basics. On the other hand, learning Mathematics appears to be really complicated for schoolchildren, as it operates by the system of concepts with high level of abstraction.
Formulation of the problem. Thus, according to the studies, it seems to be necessary to implement holistic educational ideas into Mathematics teaching. It can help to form students’ concentrated conceptual mathematical knowledge and facilitate their using. However, in order to apply effectively holistic approach we need to arm teachers with proper didactic aids. On balance, computer models development and their implementation for holistic learning of mathematical objects seem to be vital for contemporary education. The aim of the paper is to represent the authors’ complex of computer models and their didactic facilities as for the abstract mathematical concepts mastering by schoolchildren. It is also covered the role of the models and recommendations for their classroom using in terms of holistic approach to school Mathematics learning.
Materials and methods. Analysis of the number of studies enables us to cover theoretical basics as for the peculiarities of mathematical objects mastering by students, the difficulties which might happen during their learning, and instruments that can facilitate them. During the research, the set of theoretical, empirical, and modelling methods were applied. Theoretical  background for the computer models elaboration made comprehensive analysis of the current mathematical curriculum, demands to the final requirements to the pupils’ knowledge and skiils, and learning  of related subject areas, held by the authors beforehand.   In order to meet the main principles of holistic approach to mathematical education it is also necessary to reveal key mathematical objects, establish connections between them, and build chains of proper internal and transdisciplinary links.
Results. The results of the theoretical analysis were used at the design of the authors’ complex of computer models which can be implemented in terms of the realization of holistic approach to school Mathematics learning. The complex of the computer models embraces some groups of models directed on the facilitating the mastering of a number of abstract mathematical concepts. The process of the models elaboration is covered in the paper as well as the models functionality and didactic support to them. The potential of the elaborated complex of computer models as for their implementation in terms of holistic approach to Mathematics school learning is proved and analyzed.
Conclusions. It seems to be relevant to predict positive influence of the computer models implementation on the forming of trainees’ holistic system of knowledge and skills. Elaboration of proper methodology of its diagnosing and estimation might be a prospect of our further research.

Аналіз проблем сучасної математичної освіти свідчить про необхідність удосконалення підходів до навчання. Математика сьогодні, як складна інтегрована наука, прагне стати мостом між різними предметними областями, що викликає більшу важливість глибокого розуміння її основ. З іншого боку, вивчення математики виявляється  дуже складним для школярів, оскільки вона оперує системою понять з високим рівнем абстракції. Таким чином, згідно з дослідженнями, уявляється необхідним впровадження холістичних освітніх ідей у викладання математики в школі. Це може допомогти сформувати у школярів концентровані  концептуальні математичні знання та полегшити їх використання.
Формулювання проблеми. Однак, щоб ефективно застосовувати цілісний підхід, ми повинні озброїти вчителів належними дидактичними засобами. Зважаючи на вищевикладене, розробка комп'ютерних моделей та їх впровадження для цілісного вивчення математичних об'єктів стають актуальними для сучасної освіти. Метою статті є представлення авторського комплексу комп'ютерних моделей та їх дидактичної підтримки щодо опанування школярами абстрактних математичних понять. Висвітлюється також роль моделей та рекомендацій для їх використання  з точки зору цілісного підходу до вивчення математики в школі.
Матеріали і методи. Аналіз низки досліджень дає змогу сформулювати теоретичні основи щодо особливостей оволодіння студентами математичними об'єктами, а також з’ясувати труднощі, які можуть виникнути під час навчання, та запропонувати інструменти для їх подолання. У ході дослідження застосовано набір теоретичних, емпіричних та моделюючих методів. Теоретичним підгрунтям розробки комп'ютерних моделей є комплексний аналіз чинної навчальної програми з математики, вимоги до кінцевих вимог до знань учнів, а також вивчення відповідних предметних областей, які автори провели заздалегідь. Для того, щоб вдовольнити основні принципи цілісного підходу до математичної освіти, необхідно також виявити ключові математичні об'єкти, встановити зв'язки між ними, побудувати ланцюги належних внутрішніх і трансдисциплінарних зв'язків.
Результати. Результати теоретичного аналізу були використані при розробці авторського комплексу комп'ютерних моделей, які доцільно застосовувати в умовах реалізації цілісного підходу до навчання математики в школі. Комплекс охоплює кілька груп моделей, спрямованих на полегшення освоєння ряду абстрактних математичних понять. Висвітлено процес розробки моделей, їх функціонал та дидактичну підтримку. Обгрунтовано та проаналізовано потенціал розробленого комплексу комп'ютерних моделей щодо їх реалізації в умовах цілісного підходу до вивчення математики в школі.
Висновки та перспективи подальшого дослідження. Уявляється можним очікувати позитивний вплив впровадження комп'ютерних моделей на формування цілісної системи знань і навичок учнів. Розробку належної методики її діагностування та оцінки слід віднести до перспектив подальшого дослідження.

Анотація. У статті розглянуто проблему підвищення якості підготовки майбутнього вчителя математики. Виділено три основні складові професійної підготовки майбутніх учителів математики: змістову (оволодіння спеціальними математичними знаннями, формування математичної компетенції);  технологічну (оволодіння знаннями з методики навчання математики, формування вмінь застосовувати ці знання на практиці); особистісну (наявність особистісних якостей, які є необхідними для майбутнього вчителя). Проаналізовано результати досліджень щодо особливостей навчання фундаментальних математичних дисциплін студентів педагогічних спеціальностей. Зроблено висновок про те, що навчання математичних дисциплін студентів педагогічних спеціальностей суттєво відрізняється від навчання математичних дисциплін студентів класичних та технічних університетів. Специфіка полягає в тому, що майбутній учитель математики повинен отримати фундаментальну математичну підготовку, яка забезпечить йому формування знань, що виходять за межі курсу шкільної математики, та разом з тим ця підготовка має бути тісно пов’язана з професійною діяльністю майбутнього вчителя математики.
У статті зазначено, що  вивчення теорії ймовірностей є важливим як для майбутніх учителів математики, так і для учнів середніх загальноосвітніх шкіл. Деякі теми цього курсу, що вивчають студенти вищих навчальних закладів, входять до змісту програми шкільного курсу математики. 
Запропоновано методичні рекомендації щодо вивчення курсу теорії ймовірностей, спрямованого на фахову підготовку майбутніх учителів математики. Зроблено висновок про те, що фахове спрямування курсу теорії ймовірностей може бути реалізовано при вивченні основних понять стохастики, що входять до змісту шкільного курсу математики; використанні базових знань з елементарної математики, яка є одним з основних фахових курсів у підготовці  студентів математичних спеціальностей педагогічних університетів; виконанні спеціальних індивідуальних завдань, що тісно пов’язані з курсом «Методика навчання математики». Наведено приклади таких завдань з теми «Геометрична ймовірність».

Abstract. The article describes the problem of improving the training quality of future mathematics teachers. Three main components of professional trainings of future teachers of mathematics are identified: substantive (getting special mathematical knowledge, forming mathematical competence); technological (getting knowledge of teaching methods in mathematics, developing the ability to use this knowledge in practice); personal (personal qualities necessary for the future teacher). Researches results about different features of teaching students of pedagogical specialties the fundamental mathematical disciplines are analyzed. It was concluded that teaching students of pedagogical specialties mathematical subjects differs significantly from teaching students of classical and technical universities mathematical subjects. The main difference is in the fact that the future teacher of mathematics should receive fundamental mathematical training, which will help him getting knowledge that goes beyond the limits of the school mathematics course, and, at the same time, this training should be closely connected with the professional activity of the future teacher of mathematics.
The article tells that the study of the theory of probability is important not only for future teachers of mathematics, but for the students of secondary schools as well. Some topics of this course, which are studied by students of higher educational institutions, are included in the content of the school mathematical program.
Methodical recommendations for studying probability theory course for the professional training of future teachers of mathematics are proposed. It was concluded that the professional orientation of the probability theory course can be distinguished when studying the basic concepts of stochastics, which are included in the content of the school mathematics course; while the use of basic knowledge of elementary mathematics, which is one of the main professional courses in preparation students of mathematical specialties of pedagogical universities; when doing special individual tasks, which are closely related to the course "Methods of teaching mathematics." Examples of such tasks on the topic "Geometric probability" are given.

Анотація. Впровадження сучасних інформаційних комп’ютерних технологій в освіті характеризується величезним потенціалом і різноманітністю напрямків. Одним з найбільш нагальних і найбільш розвинених на даний момент є напрямок, пов’язаний із застосуванням у навчальному процесі закладів вищої та середньої освіти засобів динамічної геометрії – програмних середовищ, які дозволяють відтворити геометричні об’єкти у віртуальному просторі і надати їм динамічну репрезентацію.
Довгий час подібні засоби виконували здебільшого демонстраційні функції, дозволяючи викладачу ілюструвати навчальний матеріал у більш наочний і доступний для розуміння спосіб. Однак сьогодні вони дедалі більше використовуються для організації виконання учнями та студентами практичних завдань та контролю засвоєних ними знань. Із розповсюдженням хмарних технологій з’явились можливості організації електронного середовища взаємодії педагогів та студентів, що дозволяє проводити контроль знань в автономному режимі із використанням засобів динамічної геометрії. Це ставить перед академічною спільнотою завдання пошуку оптимальних шляхів використання засобів динамічної геометрії на всіх стадіях навчального процесу.
У даній статті проаналізовані можливості та особливості використання програмних засобів динамічної геометрії та комп’ютерно-орієнтованих методичних систем як засобів комп’ютерної візуалізації геометричного і математичного навчального матеріалу в процесі підготовки майбутніх фахівців. Досліджені методичні прийоми для оптимального поєднання класичних методів розв’язування геометричних задач із застосуванням засобів динамічної геометрії та інформаційних технологій в навчальному процесі закладів вищої освіти.
Автори доводять, що органічне поєднання і взаємозв’язок математичного, комп’ютерного моделювання та засобів динамічної геометрії в підготовці студентів є необхідним елементом навчального процесу і дослідницької діяльності. Використання мультимедійних технологій під час вивчення навчального матеріалу, а також візуалізація наданої інформації дозволяє точним наукам повернути притаманну їм наочність, яка приховується за абстрактністю і складністю понятійного та формульного апарату. Зважаючи на це, автори вважають за доцільне включення базових навичок роботи із засобами динамічної геометрії до переліку основних професійних компетентностей майбутніх вчителів математики.

Abstract. Applying modern IT technologies in education is featured by great potential and diversity of dimensions. One of the most imminent and most sophisticated among them is a dimension developed around applying in the studying process in middle and high school of dynamic geometry tools – special software allowing to reconstruct geometric objects in virtual environment and provide them with dynamic representation.
For a long time, such tools performed mainly demonstrative functions enabling teacher to illustrate data in more visual and comprehensible mode. However, today they are broadly applied for organization of solving practical problems by students and for controlling their learning progress. Growing popularity gain special electronic supplements to existing handbooks or fully electronic handbooks where examples of solving geometric problems are given and tasks for solving are formulated in specific programme environment. With cloud technologies spreading in society, new opportunities for organizing electronic environment of interaction between tutors and students emerged allowing for autonomous control of learning progress employing dynamic geometry software. Such developments pose before the academic community a challenge of finding optimal ways of using dynamic geometry software at all stages of studying process.
This article analyzes opportunities and peculiarities of employing dynamic geometry software and computer-oriented methodic systems for visualization of geometric and, more broadly, mathematical studying material in the process of educating future specialists. It researches methodic techniques for optimal combination of classic methods of problem solving with applying dynamic geometry tools and other IT technologies in studying process of high school.
The authors argue that organic combination and interrelation of mathematic, computer modelling with dynamic geometry tools in learning mathematics is an indispensable element of studying process and research activity. Employing multimedia technologies and visualization of the learned data makes it possible to re-imbue “exact” sciences with demonstrativeness often eclipsed by abstract and complex nature of their categorial and formula apparatus.
Proceeding from these arguments the authors deem appropriate inclusion of basic skills of working with dynamic geometry software into the list of main professional competences of future mathematic teachers.