Анотація. У роботі виведено нові теореми про періодичність сум Фібоначчі, зведених за модулем, що рівний кількості доданків у кожній сумі з елементів послідовності Фібоначчі. У статті запропоновано нові властивості лінійних рекурсивних послідовностей, пов’язані з їх сумами. Зокрема у нашій статті вивчаються теоретико-числові характеристики чисел Фібоначчі та пов’язаних з нею послідовностей. Вперше досліджено необхідні і достатні умови періодичності сум Фібоначчі і умови кратності суми будь-яких  послiдовних чисел Фiбоначчi числу її доданків  . Наукова робота виникла навколо пошуку розв’язання однієї авторської задачі, яку було запропоновано на заключному етапі XIX Всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М.Й. Ядренка, що проходив у жовтні 2016 року в місті Чернівці, після цього автором було узагальнено умови турнірної задачі. За допомогою комп’ютерних обчислень було перевірено відповідні значення, які задовольняють умову доведеної нами теореми. Актуальність вибраної теми дослідження обумовлена численними застосуваннями послідовності чисел Фібоначчі та їх узагальнень у найрізноманітніших напрямках наукових досліджень, зокрема, вони широко використовуються у математиці, криптографії, кодуванні інформації, фізиці, філософії, ботаніці, біології, геології, кристалографії, медицині, психології, астрономії, економіці, комп’ютерних науках, мистецтві тощо.  Досліджені нами послiдовностi мають не лише теоретичне, а й прикладне значення, так досліджена нами послідовність Люка застосовується у кодуванні та криптографії. Крім того нами розглянуто нові послідовності скінченних сум послідовних елементів, що взагалі являють собою нову послідовність. Як і класична послідовність Фіббоначчі наші лінійні рекурентні послідовності знайдуть застосування в самій математиці, наприклад, Ю. Матiясевич з використанням чисел Фiбоначчi розв’язує вiдому 10-у проблему Гiльберта. Інша з обраних нами для узагальнення послідовностей а саме послідовність чисел  Люка досліджується і в наш час [10]. Досліджено закономірність зміни періоду послідовності введених нами сум послідовних елементів в залежності від того чи є  5   квадратичним лишком  в . Наведено строге обґрунтування за допомогою теоретико-числового апарату.  Всі твердження  можуть бути включені  в спецкурси з  учбового плану, що орієнтований для підготовки магістрів-педагогів а також можуть бути використані як позакласний матеріал керівниками гуртків.

Abstract. New properties of the sums of linear recursive sequences  were proposed in this paper. Particularly, theoretical-numerical characteristics of Fibonacci,  Luka and associated with them number sequences are being researched. For the first time necessary and sufficient conditions of periodicity of Fibonacci and Luka sums were investigated. Also the conditions of the divisibility of any sum of the consecutive m Fibonacci numbers by their amount. Scientific work arose around the solution of one of the author's problem, which was offered at the final stage of XIX Ukrainian tournament  which was dedicated to professor M. Y. Yadrenko. This tournament had place during October 2015 year in Chernivcy city. The problem was generalized by the author of this paper after this tournament. Using computer calculations, we checked the corresponding values that satisfy the condition of the theorem proved by us. The relevance of the chosen topic of research is caused  by numerous applications of the sequence of Fibonacci numbers and their generalizations in a variety of scientific research areas, in particular, they are widely used in mathematics, cryptography biology, geology, crystallography, medicine, psychology, astronomy, economics, computer science, art, etc. The sequences studied by us have not only a theoretical but also an applied value, so the Luke sequence we studied in our application is used in coding and cryptography. In addition, we consider new sequences of finite sums of successive elements, which in general represent a new sequence. As well as the classical Fibonacci sequence, our linear recurrence sequences will be used in the mathematics itself, for example, Y. Matyaselevich uses the numbers of Fibonacci to solve the known 10th Hilbert problem. Another of our choices for generalization of sequences, namely the sequence of Luke's numbers, is also being investigated in our time [10]. The regularity of the change in the period of the sequence of the imposed sum of successive elements, depending on the quadraticity remainder of the number 5 in Z_p.  The rigorous argumentation is given with the help of the numbers theory theorem. All statements can be included in the special courses of the curriculum, which is aimed at preparing masters-teachers and also can be used as extracurricular material by club leaders. All statements can be included in the special courses of the curriculum, which is aimed at preparing masters-teachers and also can be used as extracurricular material by club leaders.

Аннотация. Подавляющее большинство учеников общеобразовательной школы не станут математиками, следовательно, математика для них должна быть именно общеобразовательным предметом. Поэтому, акцент при обучении математике желательно делать на понятиях и методах решения задач, которые являются общенаучными и объединяют математику с другими естественными и техническими науками и даже с философией как общим подходом к познанию мира. Основные математические понятия и методы, имеющие общенаучное и философское значение, подробно рассмотрены в книгах Д. Пойя. В настоящей статье приведен более широкий перечень таких понятий (с короткими комментариями). Понятия сгруппированы в два раздела: 1) общенаучные математические понятия (аксиома, множество, функция, график, формула, постановка задачи, методы решения, алгоритм, аналогия, моделирование, модель, математическое моделирование, преобразование объекта, последовательность преобразований, инвариант преобразования, аддитивность); 2) пары противоположных (и, одновременно, взаимодополняющих друг друга) понятий (формальная логика и правдоподобные рассуждения, истинное и ложное высказывания, гипотеза и теорема, необходимые и достаточные условия, прямое, обратное и противоположное утверждения, прямая и обратная теоремы, прямая и обратная операции, прямое и обратное преобразования, прямая и обратная функции, прямая и обратная задачи, равенство, неравенство и уравнение, постоянство и изменение, постоянная и переменная величины, максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значения величины, вычисление и оценка значения величины, индукция и дедукция, анализ и синтез, обобщение и специализация, симметрия и асимметрия, непрерывность и разрыв, качество и количество, устойчивые и неустойчивые решения, устойчивость и неустойчивость объекта, непрерывное и дискретное, точное и приближённое решения, точные и приближенные методы решения, аналитические и численные методы решения). Общенаучные методы решения математических задач (31 метод) будут рассмотрены в отдельной статье автора.

Abstract. The overwhelming majority of pupils of a comprehensive school will not become mathematicians, therefore, mathematics for them should be just a general educational subject. Therefore, the emphasis in teaching mathematics is desirable to do on the concepts and methods of solving problems that are general scientific and integrate mathematics with other natural and technical sciences and even with philosophy as a general approach to cognition of the world. Basic mathematical concepts and methods, having a general scientific and philosophical significance, are considered in detail in the books of D. Polya. In this article, a broader list of such concepts is given (with short comments). The concepts are grouped into two sections: 1) general scientific mathematical concepts (axiom, set, function, graph, formula, statement of the problem, solution methods, algorithm, analogy, modeling, model, mathematical modeling, object transformation, sequence of transformations, transformation invariant, additivity) ; 2) pairs of opposing (and simultaneously complementary) concepts (formal logic and plausible reasoning, true and false statements, hypothesis and theorem, necessary and sufficient conditions, direct, inverse and opposite statements, direct and inverse theorems, direct and inverse operations, direct and inverse transformations, direct and inverse functions, direct and inverse problems, equality, inequality and equation, maximum and minimum, largest and smallest values, calculation and evaluation of the value of the quantity, and induction and deduction, analysis and synthesis, generalization and specialization, symmetry and asymmetry, continuity and discontinuity, quality and quantity, stable and unstable solutions, stability and instability of the object, continuous and discrete, exact and approximate solutions, exact and approximate solution methods, analytical and numerical methods of solution).Сommon scientific methods for solving mathematical problems (31 methods) will be considered in a separate article of the author.

Анотація. Стаття присвячена створенню комп’ютерної лабораторії для використання складних(наприклад, до так приладів можна віднести осцилограф) або небезпечних  приладів (як варіант ядерний реактор), що необхідні при вивчені курсу фізики. Дає можливість використовувати обладнання, яке не в повному доступі для проведення занять та в наявності в лабораторіях. Також не всі приладі можна розмістити в лабораторії, внаслідок їх розмірів («бочка Паскаля»).  Запропоновано поєднати курси фізики та інформатики, даючи можливість учням дороблювати власноруч програмні блоки. Для вирішення поставленої задачі можна скористатись стандартними шаблоном для розробки веб додатків, а можна розроблювати власноруч. Другий варіант, зрозуміло, значно краще використовувати, як спосіб поглибити знання в програмуванні. Рекомендовано надавати учням можливість програмування самостійно, т.я. перед початком програмування необхідно досконало вивчити сам процес, що у свою чергу значно підвищить знання з курсу фізики. Розглянуто варіанти двох мов програмування та відповідно двох засобів реалізації. Варіант з використанням веб програмування практично дає можливість дистанційного навчання. Наведено приклад вигляду робочої сторінки вчителя без керувальних дій, тільки спостерігати перебіг роботи в різних підгрупах. Можна розширити запитом на вивід результатів в окремим вікном, засобом відповіді  навчальній групі. Інша мова програмування представляє створення локального, встановлена для кожного кожного комп’ютера окремо, програмного продукту. Всі дані про перебіг виконання лабораторної роботи можна виводити текстові поля та будувати графічно. Як мову програмування запропоновано використовувати  Object Pascal, що відповідає двом основним критеріям: легке сприйняття програмного коду (рекомендовано, як навчальний програмний продукт) та немає необхідності в ліцензій – мова програмування в загальному доступі.
 Приведена, як приклад, лабораторна робота показує можливості підходів до побудови комп’ютерної моделі лабораторної установки. Отримані моделі проходять перевірку на адекватність – порівняння результатів роботи програми  з експериментальними даними. В подальшому е можливість значно вдосконалити зображення, зробити його анімованим (в статті наводяться статичні малюнки), наприклад, рух стрілки, пересування повзунка реостата.   

Abstract. The article is devoted to the creation of a computer laboratory for the use of complex (for example, such devices may include an oscilloscope) or dangerous devices (as a variant of the nuclear reactor), which are necessary for the study of the physics course. Provides the ability to use equipment that is not fully accessible for occupations and available in laboratories. Also, not all devices can be placed in the laboratory, due to their size ("barrel of Pascal"). It is suggested to combine the courses of physics and informatics, giving students the opportunity to work out their own software blocks. To solve this problem, you can use a standard template to develop Web applications, but you can develop it yourself. The second option, of course, is much better used as a way to deepen knowledge in programming. It is recommended to provide students with the possibility of programming on their own, i.e. before starting programming it is necessary to study the process thoroughly, which in turn will greatly increase the knowledge of the course of physics. Two variants of programming languages ​​and two means of implementation respectively are considered. An option using web programming practically gives you the possibility of distance learning. An example is the example of a teacher's work sheet without guiding action, only to observe the course of work in different subgroups. You can expand the query to display the results in a separate window, a means to respond to the training group. Another programming language represents the creation of a local, installed for each individual computer, a software product. All data on the progress of laboratory work can be displayed text fields and constructed graphically. As a programming language, it is suggested to use Object Pascal that meets two main criteria: easy perception of the program code (recommended as a training software product) and no need for licenses - the general-purpose programming language.
As an example, the laboratory work illustrates the possibilities of approaches to constructing a computer model of a laboratory installation. The resulting models are tested for adequacy - comparison of the results of the program with experimental data. In the future, it is possible to significantly improve the image, make it animated (static images are given in the article), for example, movement of the arrow, movement of the slider of the rheostat.

Аннотация. В статье поднимается проблема разработки инновационных образовательных ресурсов в предметной области математика — дидактических мобильных игр. Актуальность данного исследования объясняется тем, что, во-первых, в настоящий период времени в теории и методике обучения математике отсутствуют наработки по созданию образовательных мобильных приложений. Во-вторых, дидактические мобильные игры в силу своей специфики могут быть некокурентоспособными на рынке мобильных приложений. Что и осложняет технологию их создания. В статье изложены основные подходы и практические рекомендации по созданию дидактических мобильных игр и проиллюстрированы на примере разработки математической игры MiniQuali (первоклассники). Сформулированы цели и задачи этой разработки. Раскрыта организация обучения в игре MiniQuali, изложен ее сюжет, раскрыта структура игры, продемонстрирована технология обучения в игре, приведено содержание обучения одного из учебных модулей. Показано, что дидактическая математическая игра MiniQuali представляет собою интерактивное средство обучения, так как в игре обеспечивается процесс развития обучающегося, системно формируется познавательная активность и познавательная самостоятельность обучающегося, обеспечивается педагогическая поддержка процесса обучения и осуществляется его своевременная диагностика и коррекция. Игра разрабатывается для устройств на платформе android и предназначена для формирования математической культуры учащихся первых классов и детей старшего дошкольного возраста. Игра может быть использована как в процессе самообразования, так и в образовательном процессе, так как ее контент соответствует программе учебного предмета «Математика». Игра MiniQuali создается в рамках интегрированной интерактивной образовательной среды QualiMe (математика) с целью организации непрерывного и систематического процесса формирования математической культуры обучающихся (школа – вуз). Разработка игры ведется на факультете социокультурных коммуникаций Белорусского государственного университета при участии студентов кафедры информационных технологий. В настоящее время игра находится на стадии технической реализации. C пробной версией игры MiniQuali можно ознакомиться на сайте quali.me в разделе games.

Abstract. The article raises the problem of developing innovative educational resources in the subject area of mathematics - didactic mobile games. The relevance of this study is explained by the fact that, firstly, in the present time in the theory and methodology of teaching mathematics there are no developments in the creation of educational mobile applications. Secondly, didactic mobile games due to their specificity may be uneconomical in the mobile applications market. What complicates the technology of their creation. The article outlines the main approaches and practical recommendations for the creation of didactic mobile games and is illustrated by the example of the development of the mathematical game MiniQuali (first-graders). The goals and objectives of this development are formulated. The organization of training in the game MiniQuali is disclosed, its plot is described, the structure of the game is disclosed, the technology of learning in the game is demonstrated, the content of the training of one of the training modules is given. It is shown that the didactic mathematical game MiniQuali is an interactive learning tool, as the process of development of the learner is provided in the game, cognitive activity and cognitive independence of the learner are systematically formed, pedagogical support of the learning process is provided and its timely diagnosis and correction is carried out. he game is developed for devices on the android platform and is intended for the formation of the mathematical culture of pupils of the first grades and children of the senior preschool age. The game can be used both in the process of self-education and in the educational process, as its content corresponds to the program of the academic subject "Mathematics". Game MiniQuali is created within the framework of the integrated interactive educational environment QualiMe (mathematics) with the purpose of the organization of continuous and systematic process of formation of mathematical culture of students (school - high school). The game is developed at the Faculty of Socio-Cultural Communications of the Belarusian State University with the participation of students of the Department of Information Technologies. Currently, the game is at the stage of technical implementation. A trial version of MiniQuali is available on the quali.me website in the games section.

Анотація.  У статті аналізується проблема професійної адаптації молодих викладачів комп’ютерних наук  у освітньому процесі в закладах вищої освіти. Інформаційні технології та якісний високопрофесійний склад викладачів стають головними стратегічними ресурсами ВНЗ, що зкмовлює актуальність підготовки фахівців.
Показано, що професійна адаптація молодого викладача до педагогічної діяльності у вищих навчальних закладах є важливим етапом його становлення як фахівця, сприяє творчій самореалізації та самовдосконаленню особистості. Професійна адаптація педагога з одного боку виступає як систематичне засвоєння професійного досвіду, а з іншого  –  як безперервний процес активної реалізації набутих професійних знань. З будь-яких позицій вона передбачає постійний професійний саморозвиток. Особлива увага приділяється виявленню причин складності адаптації педагога комп’ютерних дисциплін в умовах надлишкового інформаційного шуму, слабкої структурованості інформації та швидкого оновлення комп’ютерних технологій. У статті розглядаються переваги викладання комп’ютерних наук, до яких віднесено: вмотивованість студентів; зацікавленість та задоволення від занять; можливість застосовувати комп’ютерну техніку без обмежень; високий рівень різноманітних завдань прикладного застосування, адаптованих і зрозумілих студентам. Базою дослідження стали коледжі і ВНЗ Сумської області. Аналіз діагностичних даних, що надається у статті, дозволив виявити причини труднощів адаптації:  недостатня якість методичної літератури та електронних ресурсів;  потреба у післядипломній освіті, у допомозі досвідчених колег; відсутність часу на проведення навчальної, методичної, організаційної та науково-дослідницької робіт. Цей аналіз надає можливість сформувати шляхи усунення проблем викладання ІТ-технологій молодими педагогами на початковому етапі педагогічної діяльності.
У публікації пропонуються практичні рекомендації   з урахуванням існуючих стратегій, що відповідають запитам сучасного інформаційного суспільства.

Abstract. The article analyzes the problem of the professional adaptation young computer sciences teachers of colleges and universities. Information technology and high-quality professional staff of teachers become the main strategic resources of universities, which stipulates the importance of training specialists.

It is shown that the professional adaptation of a young teacher to a pedagogical activity in higher educational institutions is an important stage of his becoming a specialist, promotes creative self-realization and self-improvement of the individual.

The professional adaptation of the teacher serves as an assimilation of professional experience, and as a process of active realization of the acquired professional knowledge. From all positions, it involves continuous professional self-development. Emphasis is placed on the reasons for the difficulty of adapting the teacher, who studies and teaches computer science. Such reasons include information noise, poor structuring of information, rapid updating of computer technologies, and others. The article deals with the advantages of teaching computer sciences, which include: motivated students; interest, satisfaction with lessons; possibility to use computer equipment without restrictions; high level of various tasks of applied application, understandable to students. The article provides analysis of diagnostic data, conducted by the method of questioning of teachers of colleges and universities. Respondents have a work experience of no more than 7 years. Colleges and universities of the Sumy region became the basis of the study. Analysis of the diagnostic data provided in the article allowed to identify the causes of the difficulties of adaptation: insufficient quality of methodological literature and electronic resources; need for postgraduate education, with the help of experienced colleagues; lack of time for educational, methodological, organizational and research work. This analysis provides an opportunity to formulate ways to eliminate the problems of teaching IT technologies to young educators at the initial stage of teaching activity. The recommendations in the publication are important for teachers at the initial stage of teaching activity.