Анотація. У статті розглянуто проблему формування в учнів старшої школи ймовірнісного мислення. Необхідність цілеспрямованої роботи вчителя математики по вирішенню даної проблеми зумовлена тим, що сучасне життя вимагає від людини вміння орієнтуватися в невизначених ситуаціях, зважувати ризики та обирати найбільш ефективний з різних варіантів. У світі «його величність випадок» відіграє значну роль. Імовірнісні закони універсальні, і саме вони лежать в основі розуміння наукової картини світу. Збільшуються сфери застосування ймовірнісно-статистичних методів та моделей в різних областях науки і техніки. Все більшого значення набувають стохастичні поняття і факти в системі знань сучасного фахівця, більш вагомою стає їх прикладна та практична значущість. В умовах сучасної дійсності стають актуальними такі якості мислення, як гнучкість, критичність, глибина, адаптивність, динамізм, здатність діяти в умовах конкуренції і ситуаціях невизначеності. Отже, сучасній людині необхідний стиль мислення, який деякі дослідники називають «ймовірнісно-статистичним».
Головна роль у формуванні, вдосконаленні та розвитку імовірнісного стилю мислення в шкільному курсі математики відводиться елементам комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики. Вивчення елементів теорії ймовірностей і математичної статистики відносять до числа основних засобів реалізації прикладної спрямованості навчання математики. Прикладна спрямованість навчання стохастики полягає в організації навчальної діяльності учнів щодо застосування стохастичних ідей і методів до опису процесів реальної дійсності. Прикладні задачі виступають в якості основного компонента реалізації прикладної спрямованості навчання стохастики в школі і сприяють розвитку ймовірнісного мислення учнів старшої школи.
У статті запропоновано три варіанта однієї з класичних прикладних ймовірнісних задач, яка відома як «Задача про парні дні народження». Всі три варіанта задачі подано з розв’язанням, зроблено порівняльний аналіз умов і відповідних розв’язків.

Abstract. The article deals with the problem of formation of probabilistic thinking among high school students. The purposeful work of a teacher of mathematics to solve this problem is needed because our modern life requires from a person the ability to navigate in uncertain situations, weigh risks and choose the most effective variant from different ones. "His Majesty Case" plays a significant role in the life. Probabilistic laws are universal and they are the basis of an understanding of the scientific picture of the world. Spheres of use of probabilistic-statistical methods and models are increasing in various fields of science and technology. Stochastic concepts and facts are becoming more important in the system of knowledge of modern specialists, their applicable and practical significance is becoming more crucial. Qualities of thinking such as flexibility, criticality, depth, adaptability, dynamism, ability to act in conditions of competition and situations of uncertainty are becoming relevant in today's reality. Consequently, a modern person needs a style of thinking called by some researches as "probabilistic-statistical".
Elements of combinatorics, probability theory and mathematical statistics play the main role in shaping, improving and developing the probabilistic thinking style in the mathematical course at school. The study of the elements of the theory of probabilities and mathematical statistics are among the main means of realisation of the practical side of teaching mathematics. The practical orientation of stochastics’ teaching is in organizing students' learning activities to use stochastic ideas and methods in order to describe the processes of reality. Practical tasks are the main component of the implementation of the practical orientation of stochastic learning at school and contribute to the development of probabilistic thinking of high school students.
Three variants of one of the classical practical probabilistic problems, which is known as "The Problem of Paired Days of Birth," are proposed in the article. All three variants of the problem are shown with solution, the comparative analysis of conditions and corresponding solutions is made.

Анотація. Стаття присвячена дослідженню значення самостійної науково-дослідної роботи студентів закладів вищої освіти, де відбувається підготовка фахівців з педагогічних спеціальностей, як складової формування їх психологічної культури. Представлено теоретичний аналіз поняття «психологічна культура» та структурних компонентів цього феномену, а також значення визначених складових в процесі формування професійних компетенцій майбутніх вчителів. Проведений аналіз зв’язку загально-навчальних вмінь, що забезпечують якість навчання, і успішністю оволодіння навичками та вміннями організації та виконання самостійної науково-дослідної роботи студентів фізико-математичного факультету СумДПУ імені А.С. Макаренка, надає підстави для визначення, що формування вказаних навичок є чинником розвитку психологічної культури майбутніх вчителів інформатики, математики, фізики. Представлено, що на формування когнітивного компоненту психологічної культури впливає організація форм аудиторної та позааудиторної роботи в ході вивчення студентами вказаних педагогічних спеціальностей дисципліни «Психологія» протягом І-ІІ семестру першого року навчання, зокрема – впровадження інноваційних педагогічних технологій. Визначено, що впровадження вказаних технологій в процес вивчення складових курсу дисципліни позначається на успішності адаптації першокурсників, позитивних змінах професійної мотивації, формування самооцінки професійно важливих якостей майбутніх вчителів, оволодіння юнаками навичок та вмінь організації і проведення самостійної науково-дослідної роботи, та, загалом, – компонентів психологічної культури майбутнього педагога. Проаналізовано значення організації і проведення студентських науково-практичних конференцій в процесі формування професійних компетенцій майбутніх вчителів. Представлено, що пріоритетним завданням сучасності є забезпечення необхідних соціально-педагогічних умов у структурі системи вищої освіти.

Abstract. The article is devoted to the study of the value of students’ independent research work of higher educational establishment, where specialists in pedagogical specialties are trained, as a formation component of their psychological culture. The theoretical analysis of the concept "psychological culture" and these phenomenon structural components are presented, as well as the certain components significance in the process of forming the future teachers’ professional competences. The analysis of the connection of general educational skills that provide the quality of training and the mastering success of the skills and abilities of the organization and implementation of students’ independent research work at the Faculty of Physics and Mathematics of Sumy State Pedagogical University named after A.S. Makarenko provides grounds for determining that the formation of these skills are the factor in the development of the future teachers’ psychological culture of computer science, mathematics, physics. It is presented that the formation of the cognitive component of psychological culture is influenced by the organization of classroom forms and extra-curricular work during the students’ study of the discipline "Psychology" during the I-II semester of the first educational year, in particular - the introduction of innovative pedagogical technologies. It is determined that the introduction of the indicated technologies into the process of studying the components of the discipline course affects the success of the freshmen’s adaptation, positive changes in professional motivation, the formation of self-assessment of the future teachers’ professionally important qualities, the acquisition of young men’s skills and abilities and independent research work organization, and, in general, - components of future teacher’s psychological culture. The importance of organizing and conducting student scientific and practical conferences in the process of future teachers’ professional competences formation is analyzed. The priority task of the present day is to provide the necessary socio-pedagogical conditions in the structure of higher educational system.

Анотація. У статті висвітлено питання використання мобільного телефону у навчальному процесі при вивченні різних дисциплін на основі аналізу наукових досліджень та публікацій. Окремо зосереджено увагу на досвіді використання мобільного телефону при вивченні шкільної фізики в різних країнах.
Автор виділяє напрямки дослідження проблеми щодо використання мобільного телефону в освіті і зосереджуються на прикладах такого застосування. В статті виокремлюються загальні для всіх дисциплін приклади використання мобільного засобу навчання, які пов’язані з його функціональними можливостями (відеозйомка, звукозапис, фотозйомка, робота в Інтернеті тощо) та програмним забезпеченням. Зокрема, до таких прикладів віднесено пошукову діяльність в Інтернет-просторі, роботу з електронними словниками, проходження онлайн-тестів, роботу з фото-, аудіо- та відеоматеріалами, спілкування в соцмережах. Наводяться приклади розроблених комп’ютерних програм для мобільних телефонів, які можна використовувати при вивченні різних дисциплін (іноземні мови, біологія, географія, хімія, математика, фізика, анатомія).
Описано можливості використання датчиків мобільного телефону при вивченні фізики та інших дисциплін природничо-математичного циклу. Зокрема, виокремлено напрямки фізичних експериментів із застосуванням таких датчиків. В інших прикладах мобільний телефон виступає як засіб для введення документації щодо фізичного експерименту та для здійснення онлайн-навчання. У підсумку проведено порівняння прикладів використання мобільного телефону під час вивчення фізики у вітчизняній та закордонній освітній практиці.
Згадано такі фактори, від яких залежить ефективність та частота використання мобільних телефонів у навчанні: державна освітня політика, готовність учнів та вчителів застосовувати мобільні технології та їхня обізнаність у сфері інформаційних технологій, особливості вивчення кожної окремої дисципліни.

Abstract. The issue about using a mobile phone in the learning process during the studying of various subjects is highlighted on the basis of analysis of scientific research and publications. Specific attention is focused on the experience of using a mobile phone during the studying school physics in different countries.
The author highlights the research directions of the problem regarding using a mobile phone in education and focuses on examples of such applications. General mobile learning tool usage examples for all school subjects are given that are related to its functionality (video recording, audio recording, photo recording, Internet work, etc...) and software. In particular, such examples include search activity in the Internet space, work with electronic dictionaries, passing online tests, working with photo, audio and video materials, communication in social networks. Examples of developed computer programs for mobile phones are presented, which can be used for studying different disciplines (foreign languages, biology, geography, chemistry, mathematics, physics, anatomy).
The possibilities of using mobile phone sensors while studying physics and other disciplines of the natural-mathematical cycle are described. In particular, the directions of physical experiments with the use of such sensors are singled out. In other examples, the mobile phone serves as a means of documentation for a physical experiment and as a means of online learning. As a result, a comparison of examples of mobile phone usage during the study of physics in ukrainian and foreign educational practice is made.
The following factors, which determine the efficiency and frequency of using mobile phones in education, are mentioned: public education policy, readiness for students and teachers to use mobile technologies and their awareness in the field of information technology, features of studying of each subject.

Анотація. У статті визначено і розкрито сутність основних концептуальних положень продуктивного навчання фізики основної школи, що дозволяють сконструювати систему навчально-пізнавальних компетенцій учнів. Запропоновано модель продуктивного навчання фізики в основній школі, реалізація якої, забезпечує сформованість інтегрованої якості особистості, що дозволяє застосувати набуті знання і вміння в конкретних ситуація для розв’язань різних проблем, що виникають або можуть виникнути в реальному житті. Визначено основні структурні компоненти авторської моделі: мотиваційний (мотиви, потреби, інтереси), цільовий (завдання), змістовий (принципи добору інтегрованого змісту курсу фізики), організаційно-діяльнісний (основні шляхи реалізації інтеграції змісту фізики через форми, методи, дидактичні засоби навчання та діяльність учня і викладача), рефлексійно-оцінювальний (критерії досягнення мети та завдань навчання). Теоретично обґрунтовано зміст кожного блоку. Дієвість моделі забезпечується психолого-педагогічними умовами (створення позитивної навчальної мотивації до вивчення фізики; використання міжпредметних зв’язків за функціями та видами діяльності; використання інформаційних технологій у навчальному процесі) та методологічними підходами до організації продуктивного навчання (системний, гуманістичний, особистісно-орієнтований, розвивальний, діяльнісний, дослідницький, практико-орієнтований). Розроблена нами модель характеризується: цілісністю, оскільки представлена взаємопов’язаними компонентами (кожний з них впливає на наступний через розв’язання властивих йому завдань, що визначають зміст наступного компонента, тобто взаємозв’язок між ними здійснюється на змістовному й функціональному рівнях) і працюють на кінцевий результат – підвищення рівня розвитку цілісної системи навчально-пізнавальних компетенцій учнів основної школи у навчанні фізики і розвиток в них здатності здійснювати різноманітну навчально-пізнавальну діяльність.

Abstract. The article defines and reveals the essence of the basic conceptual provisions of productive teaching physics in primary school, which allow to construct a system of educational and cognitive competencies of students. The model of productive teaching of physics in the basic school is proposed, the implementation of which ensures the formation of an integrated quality of the individual, which allows you to apply the acquired knowledge and skills in a specific situation to solve various problems that arise or may arise in real life. The main structural components of the author's model are defined: motivational (motives, needs, interests), target (task), content (principles of selection of the integrated content of the course of physics), organizational and activity (main ways of realization of the integration of the content of physics through forms, methods, didactic means of training and the activity of a student and a teacher), reflection-assessment (criteria for achieving the goals and objectives of training). The content of each block is theoretically substantiated. The effectiveness of the model is provided by the psychological and pedagogical conditions (creation of positive training motivation for the study of physics, the use of interdisciplinary connections according to the functions and types of activity, the use of information technologies in the educational process) and methodological approaches to the organization of productive learning (systemic, humanistic, personally oriented, developmental, activity, research, practical-oriented). The model we have developed is characterized by: integrity, since it is represented by interrelated components (each of them affects the next by solving the problems inherent to it, defining the content of the next component, that is, the interconnection between them is carried out on the content and functional levels) and work on the final result is an increase in the level of development of a holistic system of educational and cognitive competences of primary school pupils in the training of physics and the development in them of the ability to carry out a variety of educational-cognitive in activity.

Анотація. У багатьох задачах теорії чисел та дискретної математики доводиться виконувати арифметичні дії над цілими числами за певним модулем. При такому підході кожне ціле число можна ототожнити з остачею за цим модулем та розглядати множину лишків як нову, модульну арифметику.
Зазначимо, що арифметичні операції над елементами утвореної таким способом алгебраїчної структури вводяться подібно до того, як вони визначені для цілих чисел, і визначаються відповідними остачами від ділення на модуль. Проте, залежно від модуля, деякі особливості можуть виникати при множенні класів лишків та похідних від нього операцій – піднесенні до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем.
В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами цих арифметик. Тому в них можна обійтись без від’ємних та дробових числових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля.
Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичних дій, розв’язуванню рівнянь та їх систем присвячено лише окремі публікації.
У даній статті розглядаються особливості розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем у модульних арифметиках. Досліджено питання розв’язності окремих типів алгебраїчних рівнянь (зокрема, лінійних та квадратних) та систем лінійних рівнянь у арифметиках за простим модулем, наведено відповідні алгоритми і приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.

Abstract. It is necessary to perform arithmetic operations for a particular module in many tasks of Theory of  Numbers, Discrete Mathematics and Cipher Theory. In this case, each integer can be identified with the remainder of this module and consider a plurality of residues as a new Modular Arithmetic.
In spite of the fact arithmetic operations over elements of an algebraic structure formed in this way are introduced in the same way as they are defined for integers, and are determined by the corresponding residues from division into a module. However, depending on the module, some features may arise when multiplying the classes of residues and derivative operations, elevation to degree and extraction of the root, when solving equations and their systems.
In Arithmetics for a simple module, the results of the operations of subtraction and division for a non-zero element also are the elements of the corresponding Arithmetics. Therefore, they can be considered without negative and fractional expressions. Moreover, in such an Arithmetics, most of well-known algorithms of solving algebraic equations and their systems are preserved. On the other hand, in the Arithmetics for the compiled module, the established rules may be violated, what is explained by the existence of dividers of zero in them.
Despite the fact that the implementation of arithmetic operations in finite Arithmetics basing mostly on the Theory of Congruences and the Theory of Rings, which are studied in the course of Algebra and Theory of Numbers, only some individual publications are devoted to the study of Modular Arithmetics, the peculiarities of the implementation of arithmetic operations and the solving algebraic equations and their systems, in them.
In this article  peculiarities algebraic equations and their systems in Modular Arithmetic. The solvability of certain types of algebraic equations (in partiqular, linear and square equations), as well as systems of linear equations in arithmetic by a simple module, is explored, and the corresponding algorithms and examples are given. The problem of solvability of certain types of algebraic equations, as well as systems of linear equations in Modular Arithmetic is explored. Corresponding algorithms and examples are given in this article. The material of the article can be used in the study of relevant topics in the Theory of Numbers and Discrete Mathematics, as well as at the lessons of the special courses and mathematical circles.