Анотація. У статті проведений аналіз і узагальнення різних підходів у визначенні основних ознак експериментальної візуалізації у фізиці. Розглянуті і проаналізовані традиційні методи дослідження ходу променів в геометричній оптиці. Визначається відношення традиційних методів до експериментальної візуалізації у фізиці.
Обґрунтовано і описано новий метод експериментальної візуалізації ходу світлових променів в оптичних деталях для вивчення геометричної оптики. Розроблений метод графічної візуалізації ліній в геометричній оптиці полягає в уведенні до поля зору вже нанесених графічних ліній на площину плоскої паперової поверхні для спостереження (візуалізації) у оптичних деталях. Метод передбачає експериментальне позначення (фіксацію) на папері та дослідження продовження зображень графічних ліній (ходу променів) у прозорих пластинах, призмах, фрагментах циліндричних дзеркал, циліндричних лінз та їх системах. Визначено прототип методу та його історія розробки і застосування на ілюстрованих прикладах. Моделями світлових променів виступають графічні прямі лінії, які наносяться на папері. Оптичні деталі і графічні прямі лінії на аркуші паперу розташовуються на горизонтальній поверхні. Обґрунтовано нові можливості методу у експериментальному дослідженні. А саме: отримання нової метричної інформації, розширення застосування для різних оптичних елементів, спостереження відразу кількох променів, поетапна візуалізація для складних моделей оптичних приладів (редукція побудови).
Розглянуті нові освітні можливості постановки фронтального фізичного експерименту з геометричної оптики на базі розглянутого методу візуалізації у процесі фахової підготовки студентів фізичних, фізико-технічних і інженерних спеціальностей у вищій школі. Зокрема: експериментальне визначення ходу променів і видимого збільшення у моделях лупи, мікроскопа та телескопа, графічна візуалізація ходу променів гомоцентричного пучка у плоско-паралельній пластинці, оборотності ходу променя, аберацій та інші.

Abstract. In the article the analysis and generalization of different approaches in defining the main features of the experimental visualization in physics. Reviewed and analyzed the traditional methods of study of the rays in geometrical optics. The ratio is determined by traditional methods to experimental visualization in physics.
Reasonable and describes a new experimental method of visualizing the stroke of light rays in optical components for the study of geometrical optics. Developed a method of graphical visualization of lines in geometrical optics is the introduction of the field of view is already done graphic lines on the plane of the flat paper surface surveillance (imaging) in the optical parts. Method involves experimental designation (fixation) on paper and study is a continuation of the pictures of graphical lines (of the rays) in transparent plates, prisms, fragments of cylindrical mirrors, cylindrical lenses and their systems. Determined the prototype of the method and its history of development and application to illustrated examples. Models of the light rays are a graphical straight lines, are applied to the paper. Optical parts and graphic straight lines on a sheet of paper placed on a horizontal surface. Proved the new capabilities of the method in a pilot study. Namely, obtaining a new metric of information, the expansion of the application for different optical elements, the observation of multiple beams, phase visualization for complex models of optical devices (reduction of construction).
Considered the new educational opportunities of setting front physical experiment of geometrical optics on the basis of the method of visualization in the process of professional training of students of physical, physical-technical and engineering courses in high school. In particular: experimental determination of the rays and the visible increase in models of magnifier, microscope and telescope, graphical visualization of the rays homocentric beam in a plane-parallel plate, the turnover of the beam, aberration and others.

Анотація. Інтенсивний розвиток інтернет технологій і впровадження кращих практик в систему загальної середньої освіти дав можливість виокремити ефективні ІК-технології і задіяти для навчання учнів системи комп’ютерного моделювання (СКМод). У статті обґрунтовано поняття «завдання» як комплекс дій, призначених для виконання; визначено його ознаки (самостійність учнів в отриманні нових знань, взаємозв’язок проблеми з поточними і попередніми знаннями учнів, невизначеність результату при відомих способах і засобах його досягнення). Визначено і узагальнено особливості та ознаки творчих і проблемних завдань. У статті наведено результати аналізу та узагальнено поняття «дослідницьке завдання», визначено його складові (предметна область і предикати) та компоненти структури; здійснено класифікацію дослідницьких завдань з математики; визначено ознаки навчально-дослідницької діяльності учнів; окреслено п’ять рівнів розвитку мотивації учнів до здійснення навчально-дослідницької діяльності. Встановлено, що з розвитком ІКТ з’являється можливість візуалізації процесів та явищ, що дало поштовх до поширення системи комп’ютерного моделювання (СКМод). У статті виокремлено переваги застосування СКМод для проектування дослідницьких завдань; визначено етапи розробки дослідницьких завдань вчителем та хід розв’язання дослідницького завдання учнями закладів загальної середньої освіти (ЗЗСО). З’ясовано, що здійснення аналізу і відбору ефективних СКМод (тренажерів, симуляторів, інтерактивних моделей) з метою застосування в навчальному процесі ЗЗСО має підвищити цифрову та предметну компетентності вчителів та учнів. Наведено приклад дослідницького завдання з математики, що вирішується в використанням СКМод. За результатами опитування виявлено, що майже 70% вчителів не можуть використовувати СКМод у навчальному процесі через відсутність відповідних методик, але вони мають бажання підвищити свою компетентність з цього питання. Використання СКМод в закладах загальної середньої освіти набуває особливої значущості у зв'язку з формуванням Нової української школи.

Abstract. Intensive development of Internet technologies and implementation of best practices in the system of secondary education gave an opportunity to highlight effective IR technology to use for teaching students of computer simulation (Scmad). The article substantiates the concept of "task" as a set of actions designed to execute; defined by its characteristics (independence of students in acquiring new knowledge, the relationship of the problems with the current and the previous knowledge of students, the uncertainty of the result with the known methods and the means to achieve it). Identified and generalized the features and characteristics of creative and problem tasks. The article presents the results of the analysis and summarizes the concept of "research problem", identified its components (scope and predicates) and the components of structure; classification of research problems in mathematics; defined the characteristics of educational and research activity of students; outlines five levels of development of motivation of students to training and research activities. It is established that with the development of ICT appears the possibility of visualization of processes and phenomena that gave rise to the distribution system computer modeling (SMOD). The article highlights the advantages of using SMOD for the design of research problems; the stages of research tasks by the teacher and the course of solving a research problem, the students of institutions of General secondary education (SSSO). It was found that the implementation of the analysis and selection of effective Schmod (simulators, simulation, interactive models) for use in the educational process, SSSO should increase digital and subject competence of teachers and students. Given an example of research math is solved using SMOD. The results of the survey revealed that almost 70% of teachers cannot use SMOD in the educational process due to the lack of appropriate techniques, but they want to increase their competence on this issue. Use SMOD in institutions of General secondary education is of particular importance in connection with the formation of a New Ukrainian school.

Анотація. В роботі розглянуті підходи до формування навичок систематизації та узагальнення знань студентів вищих технічних навчальних закладів (ВТНЗ) на прикладі дисципліни «Вища математика». Виділено етапи, напрями і умови успішного формування даних умінь у процесі навчання. Зроблено аналіз щодо впливу на ці навички використання різних педагогічних технологій. Показано, що засвоєння матеріалу досягається за допомогою його порівняння зі знаннями, які були отримані попередньо, а ефективність вивчення матеріалу досягається у випадку комплексного підходу до розвитку навичок систематизації і узагальнення знань студентів. В статті наведено приклад подачі теоретичного матеріалу, взятого з навчального довідника «Основи математичного аналізу в схемах і таблицях. Частина 3», який було розроблено автором і викладачами кафедри вищої математики ХНУМГ ім. О. М. Бекетова.
 Розглядається поняття «системні знання» і методи їх досягнення. Аргументовано, що, саме завдяки системному підходу, у студентів формуються прагнення до самоосвіти, стимулюється самостійність у навчанні, розуміння взаємозв’язків між поняттями і явищами. Запропонована блок-схема узагальнення теоретичних знань, в процесі вивчення дисципліни «Вища математика».
Зроблено висновок, що формування навичок систематизації та узагальнення на заняттях вищої математики допомагає трансформувати студентів вищої технічної освіти в професіоналів, здатних не тільки створювати корисні для суспільства продукти діяльності, а й активно впливати на розвиток професійної діяльності в цілому. Адже професійний розвиток студентів починається ще на перших курсах навчання під час вивчення вищої математики.

Abstract. The article considers the approaches to the skill building of systematization and generalization of knowledge of university students on the example of the discipline of «Higher Mathematics». The stages, directions and conditions of successful formation of these skills in the process of education are highlighted. The analysis of the influence of the usage of various pedagogical technologies on these skills is made. It is shown that material mastering is achieved by comparing it with the knowledge obtained earlier, and the effectiveness of studying the material is achieved in the case of an integrated approach to developing the skills of systematization and generalization of students knowledge. The article gives an example of the presentation of theoretical material taken from the study guide "Fundamentals of mathematical analysis in charts and tables. Part 3 ", which was developed by the author and teachers of the Department of Higher Mathematics of the Kharkiv National University of Urban Economy name of O. M. Beketov.
The conception of "system knowledge" and the methods of their achievement are considered. It is argued that, just because of the system approach, students develop their aspirations for self-education, stimulate their autonomy in learning, and understanding  the interconnections between conceptions and phenomena. The block of diagram of the generalization of theoretical knowledge is proposed, in the process of studying the discipline "Higher Mathematics"
It is concluded that the formation of the skills of systematization and generalization in higher mathematics classes helps to transform students` higher technical education into professionals who can not only create useful products for society, but also actively influence the development of professional activity in general. After all, the professional development of students begins at the first courses of study during the study of higher mathematics.

Анотація. Робота присвячена розгляду питань практичної реалізації технологій змішаного навчання («blending learning») в інформаційній системі MOODLE на прикладі організації підготовчих курсів з математики. Головним елементом навчально-методичного забезпечення змішаного навчання визначено дидактичну картку, яка формує навчальну траєкторію учня під час різних форм вивчення – на «уроках -лекціях», «уроках-практичних заняттях» і під час  «самостійного вивчення в позаурочний час». Створення дидактичної картки вимагає глибокого аналізу змісту навчального матеріалу і постійного моніторингу рівня залишкових знань у конкретній групі учнів по кожній темі. Сформульовані головні принципи її побудови: атомізація знань, розбиття і віднесення навчального матеріалу до різних форм вивчення з врахуванням складності навчального матеріалу і інформації про підготовленість учнів. Описані сценарії організації різних етапів навчального процесу з використанням модулів системи MOODLE: аудиторне on-line-викладання і навчальна діяльність навколо матеріалу, що виноситься на самостійне off-line вивчення. Показано, що запропоновані сценарії напрямлені на розв’язання різних педагогічних завдань: проведення уроку у форму бесіди, пропедевтичне навчання, унаочнення навчального матеріалу з використанням мультимедійних презентацій, повторне прослуховування записів аудиторних уроків, організація самопідготовки учнів між аудиторними уроками, відшукання «прогалин» у знаннях в усьому курсі «Математики» кожного учня. Наведені приклади технічних рішень поставлених завдань: «порізані» книги, SWF – формат документа, технологія «bring your device with you», YouTube Live. Головним в організації змішаного навчання  є постійний оперативний автоматизований контроль за роботою учня над матеріалом, що може проводитись сервісами інформаційної системи MOODLE. Показано, що для віддаленого контролю найбільш ефективні дві форми його проведення: Off-line віддалена оперативна перевірка самостійної роботи учня і оn-line модульний зріз. Описані сценарії мережевого комп’ютерного тестування.

Abstract. The work deals with the implementation issues technologies for blended learning ( "blending learning") in the information system MOODLE for example, the organization of preparatory courses in mathematics. The main element of training and methodological support of blended learning defined didactic card that generates the learning trajectory of the student during various forms of learning - on "lessons, lectures, lessons, practical lessons" and during "independent study outside of school time." The creation of didactic cards requires a deep analysis of the content of educational material and constant monitoring of the level of residual knowledge of a specific group of students for each topic. The main principles of its construction: the atomization of knowledge, splitting and assigning the training material to different forms of studying given the complexity of educational material and information about the preparedness of students. The scenario described the organization of the various stages of the educational process with the use of modules of MOODLE: classroom on-line teaching and learning activities around the material is submitted for independent off-line study. It is shown that the proposed scenario is aimed at solving various pedagogical problems: the lesson is in the form of conversation, propaedeutic training, clarity of training material using multimedia presentations, repeated listening to recordings of classroom lessons, self-organization of students between classroom lessons, finding "gaps" in knowledge throughout the course in Mathematics of each student. Examples of technical solutions of the assigned tasks: "cut" of the book, the SWF document format technology "bring your device with you", YouTube Live. The main organization in blended learning is a permanent operational automated control over the work of the student on the material that may be carried out by the services information system MOODLE. It is shown that for remote control the most effective two form of the meeting: Off-line remote an operational check of the independent work of the student and on-line modular cut. The scenario described a network computer-based testing.

Анотація. У статті досліджено проблему формування математичних знань та математичної культури учнів початкової школи, пошуку шляхів її реалізації у практиці навчання; проаналізовано процес формування в учнів основних понять та базових і спеціальних предметних компетенцій під час вивчення змістових ліній освітньої галузі «Математика» у початковій школі; аргументовано необхідність сприймання учнями нової інформації та вільного відтворення здобутих математичних знань словесно, усно й письмово, графічно, схематично, за допомогою буквеної символіки; аргументовано потребу здійснення переходів від зображення до образу, від словесного опису до символу і, навпаки, від символу до поняття (терміну); описано поетапну реалізацію під час освітнього процесу стратегічних навчальних дій вчителя початкової школи для розвитку математичної культури учнів; розкрито значення формування логіки індуктивно-дедуктивних міркувань та загального математичного стилю мислення дітей молодшого шкільного віку, формування навичок оперування математичними поняттями, розуміння математичної мови; розкрито роль збагачення усного та письмового математичного мовлення учнів початкової школи, збагачення їх математичного словника, формування умінь користуватися математичною термінологією та відповідною символікою; аргументовано організацію навчально-пізнавальної діяльності учнів за різними формами роботи; розкрито методичні особливості використання вправ з термінологічним спрямуванням як окремого типу дидактичного матеріалу, які передбачають виконання арифметичних дій над натуральними числами та величинами, на читання та запис математичних виразів, рівнянь, нерівностей та інших математичних записів та дають змогу швидко і ефективно організовувати навчальну діяльність учнів на різних етапах уроку, лаконічно математичною мовою формулювати умову завдання, подавати відповідь і навчати учнів математично коректно висловлювати думку; наведено приклади вправ з термінологічним спрямуванням під час вивчення нумерації натуральних чисел та арифметичних дій над ними.

Abstract. The article examines the problem of formation of mathematical knowledge and mathematical culture of pupils in primary schools, to find ways for its implementation in the practice of teaching; analyzed the process of formation of students ' basic concepts and core and specific subject competences in the study of the meaningful lines of the educational field "Mathematics" in elementary school; argued the need for the perception of the students new information and a free playback of the received mathematical knowledge verbally, both orally and in writing, graphically, schematically, using a letter symbol; arguments need to make transitions from image to image, from verbal descriptions to the symbol and back symbol to the concept (term) is described for the phased implementation during the educational process of strategic educational activities of an elementary school teacher for the development of mathematical culture of students; reveals the significance of the logic of inductive-deductive reasoning and General mathematical way of thinking of children of primary school age, the skills of operating with mathematical concepts, understanding mathematical language; the role of enrichment of oral and written mathematical speech of elementary school students enrich their math vocabulary, skills to use mathematical terminology and appropriate symbols; reasoned organization of educational-cognitive activity of students in various forms of work; revealed methodological features of using exercise terminology direction as a separate type of didactic material that involve arithmetic on numbers and variables to read and write mathematical expressions, equations, and other mathematical records and allow you to quickly and effectively organize the learning activities of students at different stages of the lesson, simple mathematical language to formulate the problem, to file the answer and to teach students the mathematically correct to Express an opinion; the examples of exercises with terminological direction in the study of the numbering of natural numbers and arithmetic operations on them.