Аннотация. В статье рассматриваются вопросы организации специального курса по методике преподавания уравнений и неравенств с параметрами в педагогическом вузе. Проводимый по специальным программам спецкурсы значительно углубляют отдельные теоретические разделы курсов математики. Успешное решение задач, стоящих перед преподаванием математики в современных условиях, невозможно лишь на уроках. К лучшим результатам приводит использование различных форм учебной и воспитательной работы, в том числе и спецкурсы, которые позволяют решать отдельные задачи методики преподавания математики. Предложенное нами введение данного спецкурса в учебный блок по дисциплинам по выбору программы педагогического института по направлению методика преподавания математики обусловлена тем, что уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами входят в варианты заданий на выпускных школьных экзаменах, абитуриенты сталкиваются с заданиями такого рода на вступительных тестовых испытаниях в ВУЗы, изучение уравнений и задач с параметрами рассматривается только на факультативных занятиях.

Abstract. In article are considered questions of the organization of a special course on teaching equations and inequalities with parameters in the pedagogical University. Conducted by the special programs special courses to significantly deepen individual theoretical sections of mathematics courses. The successful solution of the tasks facing the teaching of mathematics in modern conditions, it is impossible only in the classroom. For best results, the use of various forms of academic and educational work, including courses that allow you to solve separate tasks of mathematics teaching methods. We proposed the introduction of this course in the academic unit in the disciplines at the choice of the program of the pedagogical Institute in methods of teaching mathematics due to the fact that equations, inequalities and system of equations with parameters included in the options of jobs in final school exams, students are faced with tasks of this kind on entrance tests to Universities, the study of equations and tasks parameters considered only as an optional subject.

Аннотация. Широко известно признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, 11 в десятичной системе счисления. А также в книгах встречаются признаки делимости на другие числа, например на числа вида 10n±1. В этих признаках делимости для каждого делителя определятся специальное число. И делимость некоторого числа на данное число связывается с этим специальным числом. Например, для числа 19 специальным числом может быть число 2. Чтобы проверить делится ли данное число N на 19, 1) отбрасывается последняя цифра у числа N; 2) прибавляется к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;3) с полученным числом проделывается операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19; 4) если останется 19 то число делится на 19, в противном случае число не делится на 19.В данной статье обобщается этот результат. А именно, если d=(10,n)  и d?10 , то число a=asas-1…a1a0  делится на число n  тогда и только тогда, когда для любого числа x, удовлетворяющего сравнению 10?x?d(modn) имеет место сравнение d•asas-1…a1+a0x?0modn,  т.е. число d•asas-1…a1+a0x  делится на n. Аналогичный результат верен  во всех позиционных системах счисления. В статье также показано, что из этих признаков можно получить некоторые известные признаки.

Abstract. The features of divisibility by 2, 3, 5, 9, 10, 11 in the decimal calculation system are known very widely. And, also in some books there are the signs of divisibility by other numbers, for example, the numbers in the form 10n ± 1. In these divisibility tests, a special number is determined for each divisor. And, the divisibility of a number by a given number is associated with this special number. For example, for number 19, number 2 can be a special number. In order to check whether the given number N is divided by 19,  1) the last digit of the number N is discarded; 2) the product of the discarded digit and 2 is added to the resulted number, 3) with the resulting number, operations 1) and 2) are performed until a number less than or equal to 19 remains; 4) if 19 remains, that number is divided by 19, otherwise the number is not divisible by 19. In this article this result is generalized. Namely, if d=(10,n)  and d?10 , then a number a=asas-1…a1a0  is divided by a number n  if and only if for any number  x, satisfying the comparison 10?x?d(modn)  there is a comparison d•asas-1…a1+a0x?0modn,  i.е. the number d•asas-1…a1+a0x  is divided by  number n. A similar result is true in all positional number systems. In this article it is also shown that some of  these famous signs can be obtained from these signs.

Аннотация. Сегодня все больше и больше реальных технических задач сводится к решению задачи поиска оптимального пути (задача коммивояжера). Как известно, эта задача относится к классу NP-полных задач. В данной работе рассматривается классическая задача коммивояжера. Решение задачи проводится алгоритмом «стаи волков» и его модификацией. Произведен сравнительный анализ рассмотренных алгоритмов с разными эффективными алгоритмами решения данного типа задач.
К сожалению, не существует универсальных алгоритмов решения задач оптимизации [2]. Практика показывает, что градиентные численные методы не могут быть применимы к данной задаче ввиду ряда причин [3]. Основная причина – это время работы этих алгоритмов на рассматриваемой задаче и их вычислительная сложность.
В статье предложена модификация классического метода поиска глобального оптимума целевой функции стаей волков.

Abstract. Today, more and more real technical problems is reduced to solving the problem of finding the optimal path (traveling salesman problem). As you know, this problem belongs to the class of NP-complete problems. In this paper we consider the classical traveling salesman problem. The decision problem is an algorithm "pack of wolves" and its modification. Comparative analysis of the considered algorithms with different efficient algorithms for solving problems of this type.
Unfortunately, there is no universal algorithms for solving optimization problems [2]. Practice shows that the gradient of the numerical methods may not be applicable to this task for a number of reasons [3]. The main reason is the operating time of these algorithms on the considered task and their computational complexity.
The paper proposes a modification of the classical method of finding the global optimum of the objective function by a pack of wolves.

Анотація. У статті розглянуто питання узагальнення та систематизації знань студентів при вивченні курсу «Теорія ймовірностей та математична статистика». Обґрунтовано ефективність використання прийомів узагальнення та систематизації знань студентів у процесі засвоєння навчального матеріалу з математичної статистики. Розглянуто різні підходи щодо трактування поняття узагальнення, дано характеристику різним етапам узагальнення і систематизація знань. Розкрито специфіку теми «Статистична перевірка статистичних гіпотез», яка є однією з основних тем математичної статистики. Автор пропонує ознайомити студентів із загальним алгоритмом статистичної перевірки параметричних гіпотез та загальним правилом прийняття гіпотез в залежності від виду критичної області, яку вибирає дослідник відповідно до виду альтернативної гіпотези. В статті запропоновано таблицю, в якій систематизовано способи розв’язування задач на перевірку статистичних гіпотез різних типів (порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей; порівняння виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною генеральною дисперсією нормальної сукупності; порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, дисперсії яких відомі; порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, дисперсії яких невідомі та співпадають (малі незалежні вибірки); порівняння вибіркової середньої з гіпотетичної генеральною середньою нормального розподілу; порівняння відносної частоти з гіпотетичною ймовірністю появи події.

Abstract. In the article the questions of generalization and systematization of knowledge of students when studying the course "Theory of probability and mathematical statistics". Proved the efficiency of using techniques of generalization and systematization of knowledge of students in the process of learning mathematical statistics. It examines different approaches to the interpretation of the concept of generalization, given the characteristics of the different stages of the generalization and systematization of knowledge. The specifics of the topic "Statistical tests of statistical hypotheses", which is one of the main topics of mathematical statistics. The author proposes to acquaint students with the General algorithm of statistical testing parametric hypotheses and General rule-making hypotheses, depending on the form of the critical region, chosen by the researcher in accordance with the type of alternative hypothesis. The paper proposed a table in which systematic methods of problem solving for the verification of statistical hypotheses of different types (comparing two normal variances variances; comparison of the corrected sample variance with the hypothetical variance of the General normal population; a comparison of two medium-normal variances, the variance of which is known; compare middle two normal variances, variance unknown and equal (small independent samples) comparisons sample Aug, enjoy with a hypothetical General average of the normal distribution; compare relative frequencies with the theoretical probability of the event.

Анотація. В роботі обговорюються деякі проблеми узагальнення одного з найголовніших понять не тільки математичного аналізу, а і всієї математики – поняття похідної. Це поняття дуже важливе не лише в математиці, а і в багатьох інших науках, оскільки характеризує швидкість зміни різноманітних величин. А така характеристика величин є дуже суттєвою в багатьох процесах. При введенні похідної традиційним способом у студентів з’являється деяка неясність: звідки ж з’являється похідна як функція? Цей етап введення похідної в статті детально роз’яснений. Традиційно спочатку вводиться поняття похідної, а потім поняття диференційовності функції, і то не завжди для функцій однієї змінної. Часто функцію просто називають диференційовною, якщо вона має скінченну похідну. Але при переході до функцій кількох змінних, поняття диференційовності вже обійти ніяк неможливо. Краще проводити цю лінію починаючи з функцій однієї змінної. Оскільки уже для функцій двох змінних єдиного поняття похідної не існує, а поняття диференційовності продовжується далеко у сучасний аналіз, то ми вважаємо більш обґрунтованим починати виклад диференціального числення з поняття диференційовності, а поняття похідної вводити потім, спочатку похідне число, потім похідну функцію. В роботі досліджуються проблеми означення поняття похідної функції кількох змінних, пояснюється причина неможливості введення єдиного поняття похідної і пропонується метод введення частинних похідних, який показує їх необхідність і їх роль.

Abstract. This paper discusses some problems of generalization one of the main concepts not only of mathematical analysis, but of the whole of mathematics - the notion of derivative. This concept is very important not only in mathematics but also in many other Sciences as a measure of the rate of change of various quantities. Such feature sizes is very essential in many processes. With the introduction of the derivative in the traditional way students have some uncertainty: where does the derivative as a function? This stage is the introduction of the derivative in the article explained in detail. Traditionally, first introduced the concept of the derivative, and then the concept of differentiability of a function, and not always for functions of one variable. Often the function is called differentiable if it has a finite derivative. But during the transition to functions of several variables, the notion of differentiability have to circumvent in any way possible. Better to pursue that line since functions of one variable. As for functions of two variables one of the concept of the derivative does not exist, and the notion of differentiability extends far in modern analysis, we believe it is more reasonable to begin the presentation of differential calculus from the concept of differentiability and the derivative notion to enter then, the derived number, then the derivative function. This paper investigates the problem of definition of derivative of function of several variables, explains the reason for the impossibility of introducing a single concept of the derivative and the method of introduction of the partial derivatives, which shows their need and their role.